Matemáticas de Nivel Superior: mayo 2015

Consideremos el gráfico de una función \(y = f(x)\), nuestro objetivo es dibujar la gráfica de una nueva función \(y = f(|x|)\). Es decir, queremos graficar otra función \(y = g(x)\) donde \(g(x) = f(|x|)\). Veamos como podemos dibujar el comportamiento de \(g(x)\) a partir del comportamiento de \(f(x)\).

Si \(x=0\) entonces \(g(x)=f(|x|)=f(|0|)=f(0)\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición: \(g(0) = f(0)\).
Si \(x=c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=f(|x|)=f(|c|)=f(c)\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición para toda \(c > 0\): \(g(c) = f(c)\).
Si \(x=-c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=f(|x|)=f(|-c|)=f(c)\) por lo que los puntos de \(f(x)\) del lado izquierdo del eje-y serán borrados. La coordenadas-y serán cambiadas por las coordenadas-y de los puntos del lado derecho del eje-y.

Estos tres casos cubren todas las situaciones posibles y ninguna resultó en \(f(-c)\), es decir, la información de los puntos cuando \(x\) es negativo queda borrada: \(g(-c) \ne f(-c)\). Los puntos son cambiados por los correspondientes puntos del lado derecho del eje-x: \(g(-c) = f(c)\).

Es importante mencionar que en términos generales \(|f(x)| \ne f(|x|)\), para la gran mayoría de los casos, queda como ejercicio para el alumno construir funciones que cumplan este criterio. Mentalmente pueden parecer que son lo mismo, parece que sólo estamos cambiando el orden del valor absoluto, sin embargo, son muy diferentes. Es diferente porque \(|f(x)|\) afecta las salidas de la función después de aplicar la función, mientras que \(f(|x|)\) afecta las entradas de la función antes de aplicar la función.

El rango de \(|f(x)|\) son subconjuntos de los números no negativos, es decir, números positivos o cero. Mientras que el rango de \(f(|x|)\) puede incluir subconjuntos de todos los números reales.

En resumen, el procedimiento para dibujar \(g\) a partir de \(f\) es:

Ignorar todo punto \(x < 0\).
Poner el punto con coordenada \(x = 0\) en el mismo lugar, si lo hay.
Reflejar toda la gráfica \(x > 0\) con respecto al eje-y.

Es muy fácil demostrar que \(f(|x|)\) siempre será una función par si su dominio es simétrico.

Si \(f\) es una función par entonces \(f(|x|)\) también será una función par si el dominio es simétrico. No sólo eso, si \(f\) es una función par entonces \(f(|x|)=f(x)\) para todo valor de \(x\), esto se ve en los ejemplos.

Veamos como se comporta el dominio y el rango de \(g\) según el dominio de \(f\).

El rango de \(g\) será el rango que tiene la función \(f\) con el dominio restringido a un subconjunto de los números reales mayores a 0.
El dominio de \(g\) puede ser diferente que el dominio \(f\). Específicamente el dominio de \(g\) puede abarcar más valores posibles. Por ejemplo, si \(f\) es una función definida únicamente para entradas positivas entonces podemos extenderla a incluir entradas negativas usando el valor absoluto para "forzar" que acepte las entradas negativas.

Veamos algunos ejemplos:

1. \(y = \textrm{sen}(x)\)