Gráfico de las funciones y = |f(x)|

Consideremos el gráfico de una función \(y = f(x)\), lo que queremos hacer es dibujar la gráfica de una nueva función \(y = |f(x)|\). Podemos considerar que lo que queremos graficar es \(y=g(x)\) donde \(g\) es una transformación de \(f\) de forma que \(g(x)=|f(x)|\) para todo valor de \(x\) en el dominio de \(f(x)\). El dominio de \(g\) será el mismo dominio que \(f\). Razonemos lo que va a suceder con la gráfica al realizar esta transformación a la función:

• Si \(f(x)=0\) entonces \(g(x)=|f(x)|=0\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición. 
• Si \(f(x)=c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=|f(x)|=c\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición. 
• Si \(f(x)=-c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=|f(x)|=c\) por lo que esos puntos serán reflejados a través del eje-x. Estos puntos se cambiaran de estar abajo del eje-x a estar sobre el eje-x.

Al obtener el valor absoluto del rango de \(f\) hacemos que el rango de \(g\) sea un subconjunto de los números reales no negativos.

Veamos algunos ejemplos:
 1. \(y = \textrm{sen}(x)\)

La gráfica de y=sen(x).
Las gráficas fueron hechas usando Desmos.

La gráfica de y=|sen(x)|

2. \(y = \textrm{cos}(x)\)

y = cos(x)

y = |cos(x)|

3. \(y = \textrm{tg}(x)\)

y = tg(x)

y=|tg(x)|

4. \(y = x^2 - x - 6\)

\(y = x^2 - x - 6\)

\(y=|x^2 - x - 6|\)

5. \(y = -x^2 - x - 1\)

\(y=-x^2-x-1\)

\(y = \left |-x^2 - x - 1 \right |\)

6. \(y = x^3 - x^2 - 6x\)

\(y  = x^3 - x^2 - 6x\)

\(y = |x^3 - x^2 - 6x|\)

7. \(y = 2x-1\)

\(y=2x-1\)

\(y=|2x-1|\)

9. \(y = -x-7\)

\(y=-x-7\)

\(y=|-x-7|\)

10. \(y = \ln x\)

\(y=\ln{x}\)

\(y=|\ln{x}|\)

11. \(y = e^x\)

\(y=e^x\)

\(y=|e^x|\)

12. \(y=\frac{1}{x-1}\)

\(y=\frac{1}{x-1}\)

\(y=|\frac{1}{x-1}|\)

Límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0.

Un límite que es muy importante es el siguiente:
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sen } x}{x}=1\]
Podemos demostrarlo evaluando números en las expresiones:

\(x\)	\(\frac{\textrm{sen }x}{x}\)
-0.001	0.9999998333333
-0.0001	0.9999999983333
-0.00001	0.9999999999833
0	Indefinido
0.00001	0.9999999999833
0.0001	0.9999999983333
0.001	0.9999998333333

También podemos observar la tendencia del límite utilizando una gráfica. En el punto \(x=0\) la función \(\frac{sen(x)}{x}\) no está definida a causa de producir una división entre cero, sin embargo el límite sí existe, como lo podemos ver en la siguiente gráfica:

Esta es la gráfica de y = sen(x)/x.
Cuando x se acerca a 0 la gráfica tiende a 1 por ambos lados, por lo tanto el límite sí existe y vale 1.

El límite es usado comúnmente en física como la aproximación de seno para ángulos pequeños, es decir:
\(\textrm{sen } x\approx x\) cuando \(x\) está muy cercana a 0.

En rojo está graficado y=sen(x).
En azúl está graficado y=x.
Las gráficas se aproximan cuando x está cerca de cero.

Derivación implícita

La derivada se puede ver como una operación que se puede aplicar a ambos lados de una ecuación sin cambiar la igualdad. Es decir, podemos calcular la razón de cambio entre dos variables \(x\) y \(y\) sin necesidad que estas se encuentren despejadas. Las funciones de \(y\) quedarán con un término \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\) que podemos agrupar y después despejar.

Después de despejar nos puede quedar una expresión que dependa de \(x\) y \(y\). Si es posible podemos sustituir puntos \((x,y)\) de la función directamente en esta expresión para evaluar la derivada. También podemos decidir sustituir \(y\) por una función de \(x\), aunque esto no siempre es posible sin dejar de considerar algunos puntos, esto se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplos:

1. \[x^2+y^2=25\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 + y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (25\right ) \]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 \right) + \frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (25\right ) \]
   \[2x + 2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=0 \]
   \[2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=-2x\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=\frac{-2x}{2y}\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=-\frac{x}{y}\]
   \[y'=-\frac{x}{y}\]
   Es decir, la derivada de un círculo la podemos obtener usando las coordenadas de sus puntos \((x,y)\) en el círculo. Hay que notar si sustituimos \(y = \sqrt{25-x^2}\) donde la "raíz cuadrada" es la raíz principal entonces no nos dará el resultado correcto para un punto con coordenadas \((\frac{5\sqrt{2}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2})\), es por esto que a veces no es posible reemplazar \(y\) por una función de \(x\) y necesitamos las coordenadas para calcular el valor de la derivada, no sólo un valor de \(x\) como estábamos acostumbrados.
2. \[7x^2-2y^2=2\ln{y}\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (7x^2-2y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2\ln{y}\right )\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (7x^2\right )-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2\ln{y}\right )\]
   \[14x-4yy'=\frac{2}{y}y'\]
   \[14x=\frac{2}{y}y'+4yy'\]
   \[14x=\left (\frac{2}{y}+4y\right )y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2}{y}+4y}=y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2}{y}+4\frac{y^2}{y}}=y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2+4y^2}{y}}=y'\]
   \[\frac{14xy}{2+4y^2}=y'\]
   \[y'=\frac{14xy}{2+4y^2}\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=\frac{14xy}{2+4y^2}\]
   Habrá situaciones donde hay que despejar y agrupar las \(y'\) para poder obtener la derivada. Los problemas no serán más complicados que los mostrados aquí, es sólo aplicar la derivada a cada término utilizando las reglas y fórmulas de las derivadas conocidas. Luego hay que despejar \(y'\) y para esto podemos requerir de poner todas las \(y'\) de un lado de la ecuación y agruparlas para despejarlas dividiendo.

El procedimiento se puede usar la encontrar la pendiente de la recta tangente a una figura que no puede ser expresada de forma explícita (despejada para \(y\)), por lo que la expresión de la derivada quedará de forma implícita (en función de \(x\) y \(y\)).

Aplicar el procedimiento requiere uso de las propiedades y fórmulas de las derivadas así como habilidades algebraicas para despejar las expresiones. Es por esto que es muy común que venga un problema donde se requiera realizar este procedimiento en los exámenes.

La derivada con respecto a x de una función de y

Sea \(u = g(y)\), es decir, la cantidad \(u\) es una función de \(y\). Queremos obtener la derivada de \(u\) con respecto a \(x\). Podemos utilizar la regla de la cadena para expresar la solución en términos de la derivada de \(y\) con respecto a \(x\):
\[\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Aquí \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\) representa la razón de cambio de \(u\) con respecto a \(x\). Es decir, tenemos que multiplicar la razón de cambio de \(u\) con respecto a \(y\), que es \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}\), por la razón de cambio de \(y\) con respecto a \(x\), que es \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\).

Ejemplos:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Lo que resulta es parecido a la derivada común con respecto a \(x\), como si en vez de funciones de \(y\) fueran funciones de \(x\), multiplicada por \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\).

Usaremos este resultado más adelante para calcular derivadas de expresiones sin necesidad de despejar para la variable \(y\).

También puede resultar útil simplificar la notación de \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\) a \(y'\) para así ahorrar tiempo en el examen y facilitar procedimientos algebraicos, es decir:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2yy'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2 y'\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y y'\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2} y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y) y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y} y'\]

La derivada como una operación

Podemos interpretar el paso de obtener la derivada de una expresión como "una operación que se aplica a una expresión para convertirla en otra expresión". No es una operación binaria como la suma, ni la resta, ni la multiplicación, ni la división; porque las operaciones binarias requieren de dos cantidades para obtener una respuesta. Es más parecido a la operación de multiplicar por \(-1\) una cantidad o obtener el recíproco de una cantidad \(\frac{1}{x}\), estas son operaciones unarias, donde sólo requerimos de un valor para realizar la operación. En este caso sólo requerimos una expresión para poder realizar la operación.

El símbolo del "operador" será \(\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\) seguido por unos paréntesis que rodean la expresión que afectan. Ejemplos:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2\right) = 2x\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 + 3x - 1\right) = 2x+3\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(x)\right) = \textrm{cos}(x)\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7x+3)^3 \right)= -21(-7x+3)^2\]

Propiedades de la operación de obtener la derivada:

Si \(u\) y \(v\) son cantidades que dependen de \(x\), y además \(c\) es una constante, entonces:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u + v\right)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)+\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u - v\right)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (cu\right)=c\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (c\right)=0\]

Podemos ahorrar espacio en la notación cuando estemos obteniendo la derivada de una cantidad representada por una letra si colocamos la variable justo a lado de la \(\textrm{d}\). Ejemplos:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)=\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (y\right)=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Entonces las propiedades anteriores quedan:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u + v\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}+\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u - v\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}-\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (cu\right)=c\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\]