Derivación implícita

La derivada se puede ver como una operación que se puede aplicar a ambos lados de una ecuación sin cambiar la igualdad. Es decir, podemos calcular la razón de cambio entre dos variables \(x\) y \(y\) sin necesidad que estas se encuentren despejadas. Las funciones de \(y\) quedarán con un término \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\) que podemos agrupar y después despejar.

Después de despejar nos puede quedar una expresión que dependa de \(x\) y \(y\). Si es posible podemos sustituir puntos \((x,y)\) de la función directamente en esta expresión para evaluar la derivada. También podemos decidir sustituir \(y\) por una función de \(x\), aunque esto no siempre es posible sin dejar de considerar algunos puntos, esto se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplos:

1. \[x^2+y^2=25\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 + y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (25\right ) \]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 \right) + \frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (25\right ) \]
   \[2x + 2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=0 \]
   \[2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=-2x\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=\frac{-2x}{2y}\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=-\frac{x}{y}\]
   \[y'=-\frac{x}{y}\]
   Es decir, la derivada de un círculo la podemos obtener usando las coordenadas de sus puntos \((x,y)\) en el círculo. Hay que notar si sustituimos \(y = \sqrt{25-x^2}\) donde la "raíz cuadrada" es la raíz principal entonces no nos dará el resultado correcto para un punto con coordenadas \((\frac{5\sqrt{2}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2})\), es por esto que a veces no es posible reemplazar \(y\) por una función de \(x\) y necesitamos las coordenadas para calcular el valor de la derivada, no sólo un valor de \(x\) como estábamos acostumbrados.
2. \[7x^2-2y^2=2\ln{y}\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (7x^2-2y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2\ln{y}\right )\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (7x^2\right )-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2\ln{y}\right )\]
   \[14x-4yy'=\frac{2}{y}y'\]
   \[14x=\frac{2}{y}y'+4yy'\]
   \[14x=\left (\frac{2}{y}+4y\right )y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2}{y}+4y}=y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2}{y}+4\frac{y^2}{y}}=y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2+4y^2}{y}}=y'\]
   \[\frac{14xy}{2+4y^2}=y'\]
   \[y'=\frac{14xy}{2+4y^2}\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=\frac{14xy}{2+4y^2}\]
   Habrá situaciones donde hay que despejar y agrupar las \(y'\) para poder obtener la derivada. Los problemas no serán más complicados que los mostrados aquí, es sólo aplicar la derivada a cada término utilizando las reglas y fórmulas de las derivadas conocidas. Luego hay que despejar \(y'\) y para esto podemos requerir de poner todas las \(y'\) de un lado de la ecuación y agruparlas para despejarlas dividiendo.

El procedimiento se puede usar la encontrar la pendiente de la recta tangente a una figura que no puede ser expresada de forma explícita (despejada para \(y\)), por lo que la expresión de la derivada quedará de forma implícita (en función de \(x\) y \(y\)).

Aplicar el procedimiento requiere uso de las propiedades y fórmulas de las derivadas así como habilidades algebraicas para despejar las expresiones. Es por esto que es muy común que venga un problema donde se requiera realizar este procedimiento en los exámenes.