Funciones que coinciden con su inversa

Hay algunas funciones \(f\) que sí tienen una función inversa \(f^{-1}\) que cumplen la siguiente ecuación para todos los valores del dominio:
\[f(x) = f^{-1}(x)\]
Llamamos a este tipo de funciones "funciones que coinciden con su inversa" ya que la función misma sirve como la función inversa de la función misma.

Sabemos que una función \(f\) y su correspondiente función inversa \(f^{-1}(x)\) cumple las siguientes propiedades de funciones compuestas:
\[f(f^{-1}(x))=x\]
\[f^{-1}(f(x))=x\]
\[(f \circ f^{-1})(x)=x\]
\[(f^{-1} \circ f)(x)=x\]
Entonces, si agregamos el hecho que \(f(x) = f^{-1}(x)\) podemos decir que las "funciones que coinciden con su inversa" tienen las siguientes propiedades de funciones compuestas:
\[f(f(x))=x\]
\[(f \circ f)(x)=x\]
Como la gráfica de una función se convierte en la gráfica de la función inversa si se refleja a través de la línea generada por la gráfica de la relación \(y=x\). Entonces podemos deducir que las funciones que coinciden con su inversa serán funciones que sean simétricas con respecto a la línea generada por la gráfica de la relación \(y = x\).

Podemos usar cualquiera de las propiedades anteriores para demostrar que una función es una función que coincide con su inversa.

Veamos algunos ejemplos de funciones que coinciden con su inversa:

Ejemplo 1: \(f(x)=x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = y\), así que llegamos a lo mismo que empezamos.
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(x)=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función queda justo en la línea 'y = x' por lo que es simétrica con respecto a ésta.
[Todas las gráficas de esta entrada fueron hechas en "Desmos Graphing Calculator"]

Ejemplo 2: \(f(x)=-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = -y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(-x = y\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-x)=-(-x)=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función es perpendicular a la línea 'y = x' por lo que queda simétrica a ella.

Ejemplo 3: \(f(x)=5-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = 5-x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = 5-y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = 5-x\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(5-x)=5-(5-x)=5-5+x=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

También es una línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 4: \(f(x)=-100-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -100-x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = -100-y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = -100 - x\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-100-x)=-100-(-100-x)=-100+100+x=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 5: \(f(x)=\frac{1}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{1}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{1}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{1}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(\frac{1}{x})=\frac{1}{(1/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Vemos que es simétrica con respecto a la línea 'y=x'.

Ejemplo 6: \(f(x)=-\frac{1}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -\frac{1}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = -\frac{1}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = -\frac{1}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-\frac{1}{x})=-\frac{1}{(-1/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 7: \(f(x)=\frac{4}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{4}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{4}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{4}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(\frac{4}{x})=\frac{4}{(4/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La simetría con respecto a la línea 'y = x' nos indica que es una función que coincide con su inversa.

Ejemplo 8: \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{x}{x-1}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{y}{y-1}\), despejando tenemos \(x(y-1)-y=0\), distribuyendo la \(x\) tenemos \(xy-x-y=0\), agrupando las \(y\)'s tenemos \(y(x-1)-x=0\), despejando la \(y\) llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{x}{x-1}\).
• Vemos que si cumple la propiedad:

\[f(f(x))=f\left (\frac{x}{x-1}\right )=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}\]

\[f(f(x))=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}}=x\]

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Simétrica con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 9: \(f(x)=\frac{-3x}{x+3}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{-3x}{x+3}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{-3y}{y+3}\), despejando tenemos \(x(y+3)+3y=0\), distribuyendo la \(x\) tenemos \(xy+3x+3y=0\), agrupando las \(y\)'s tenemos \(y(x+3)+3x=0\), despejando la \(y\) llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{-3x}{x+3}\).
• Vemos que si cumple la propiedad:

\[f(f(x))=f\left (\frac{-3x}{x+3}\right )=\frac{-3\frac{-3x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+3}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+\frac{3x+9}{x+3}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x+3}}\]

\[f(f(x))=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x-1}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{9}{x+3}}=x\]

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.

Restricción del dominio y funciones inversas

Hay funciones que no tienen función inversa si se consideran con todo su dominio común. Sin embargo, puede que esta misma función sí pueda admitir una función inversa si se le establece una restricción en el dominio de la función.

En otras palabras, es posible que se pueda convertir una función no inyectiva a una función inyectiva al cambiar el dominio que le corresponde a la función.

El nuevo dominio restringido de la función \(f\) se convertirá en el rango de la función inversa \(f^{-1}\), de la misma forma que el rango correspondiente a la función \(f\) se convertirá en el dominio de la función inversa \(f^{-1}\).

Puede que una función admita varias restricciones de dominio diferentes que la conviertan en una función inyectiva. En este caso cada una de las restricciones de dominio diferentes están relacionadas cada una con una función inversa diferente. Esto puede causar confusiones al evaluar la función inversa en lugares que usen una diferente definición y se debe de prestar atención en la definición que usa la calculadora del programa.

Estos son algunos ejemplos de funciones no inyectivas y algunas restricciones de dominio que se les pueden aplicar para obtener una función inversa de la nueva función. Las gráficas fueron hechas con Desmos Graphic Calculator:

Ejemplo 1: \(f(x) = x^{2}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función no pasa la prueba de la línea horizontal

• Si el dominio se restringe a \(x \in \mathbb{R}^{+}\) entonces sí admite una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(f(x) \in \mathbb{R}^{+}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(x \in \mathbb{R}^{+}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(f^{-1}(x) \in \mathbb{R}^{+}\).
• La función inversa puede ser entonces \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\).

La función original con el dominio restringido y la correspondiente función inversa.
La función inversa tiene el nombre de "raíz cuadrada principal".
Esta es la función inversa que utiliza la calculadora del programa.

• Si en cambio el dominio se restringe a \(x \in \mathbb{R}^{-}\) entonces también admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(f(x) \in \mathbb{R}^{+}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(x \in \mathbb{R}^{+}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(f^{-1}(x) \in \mathbb{R}^{-}\).
• La función inversa puede ser entonces \(f^{-1}(x)=-\sqrt{x}\).

La función original con el dominio restringido y su correspondiente función inversa.
Esta definición de la raíz cuadrada no es utilizada comúnmente pero también puede ser válida.

Ejemplo 2: \(f(x) = (x+1)(x)(x-1)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

No pasa la prueba de la línea horizontal.
Vemos que el problema es la sección del centro, esta es la parte que debemos de restringir para que admita una función inversa.

• Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{\sqrt{3}}{3},\infty)\}\) entonces sí admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(\{x \in \mathbb{R}\}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid f^{-1}(x) \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{\sqrt{3}}{3},\infty)\}\).
• La función inversa puede ser establecida gráficamente como los puntos de coordenadas \((x,y)\) que cumplen la ecuación \(x=(y+1)(y)(y-1)\) en el dominio y rango correspondiente.

La función con el dominio restringido se muestra en rojo. Su correspondiente función inversa se muestra en azul.
Las líneas punteadas muestran la parte que fue eliminada.

• Alternativamente, si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \in (-\infty , -\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\) entonces también admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(\{x \in \mathbb{R}\}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid f^{-1}(x) \in (-\infty , -\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\).
• La función inversa puede ser establecida gráficamente como los puntos de coordenadas \((x,y)\) que cumplen la ecuación \(x=(y+1)(y)(y-1)\) en el dominio y rango correspondiente.

La función con el dominio restringido se muestra en rojo. Su correspondiente función inversa se muestra en azul.
Las líneas punteadas muestran la parte que fue eliminada.

• Alternativamente, si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{-\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\) entonces también admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(\{x \in \mathbb{R}\}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid f^{-1}(x) \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{-\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\)
• La función inversa puede ser establecida gráficamente como los puntos de coordenadas \((x,y)\) que cumplen la ecuación \(x=(y+1)(y)(y-1)\) en el dominio y rango correspondiente.

La función con el dominio restringido se muestra en rojo. Su correspondiente función inversa se muestra en azul.
Las líneas punteadas muestran las partes que fueron eliminadas.

Ejemplo 3: \(f(x) = \textrm{ sen }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función seno no pasa la prueba de la línea horizontal.
En este caso el problema es que es cíclica, entonces debemos cortar los ciclos y fijar un intervalo.

Como vimos en el ejemplo anterior hay varias formas de restringir el dominio. Consideraremos la forma más común basada en el principio de que partimos del centro y nos extendemos a partir de ahí. Esta definición es la que tiene más sentido porque estará centrada en el cero y será una función contínua:

• Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R} \mid -1 \le f(x) \le 1\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arcsen }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le f^{-1}(x) \le \frac{\pi}{2}\}\). 

La función seno con el dominio restringido.

La función inversa de la función seno restringida al dominio establecido.
Es la función arcseno en su forma más común.

Ejemplo 4: \(f(x) = \textrm{ cos }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función coseno no pasa la prueba de la línea horizontal.
En este caso el problema es que es cíclica, entonces debemos cortar los ciclos y fijar un intervalo.

De la misma forma que el caso anterior, en vez de enumerar todas las posibles formas diferentes de restringir el dominio nos concentraremos en la forma más lógica. Empezaremos desde el centro, vemos que hay que elegir si avanzamos a la izquierda (números negativos) o a la derecha (números positivos). Consideraremos avanzar hacia la derecha para considerar los números positivos:

• Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le \pi\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R} \mid -1 \le f(x) \le 1\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arccos }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) \le \pi\}\). 

La función coseno con su dominio restringido.

La función inversa de la función coseno restringida al dominio establecido.
Es la función arccoseno en su forma más común.

Ejemplo 5: \(f(x) = \textrm{ tg }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función tangente no pasa la prueba de la línea horizontal.
En este caso el problema es que es cíclica, entonces debemos cortar los ciclos y fijar un intervalo.

En este caso tenemos dos opciones. La opción uno es podemos proceder de forma similar que con la función seno: partimos desde el origen a izquierda y derecha para extenderse hasta completar el ciclo. La opción dos es proceder de forma similar que con la función coseno: partimos desde el origen únicamente a la derecha (números positivos) hasta completar el ciclo. La primera opción es la que utiliza la TI Nspire y es la que utilizaremos en los problemas.

• Opción 1: Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < f^{-1}(x) < \frac{\pi}{2}\}\). Esta es la definición que debemos de considerar al trabajar con problemas a menos que se especifique algo diferente.

La función tangente con su dominio restringido a la longitud de su ciclo.
Hay que notar que en esta restricción los límites son las asíntotas verticales de la función.

La función inversa de la función tangente restringida al dominio correspondiente.
Esta es la función arcotangente en su definición común.

• Opción 2: Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x < \pi,\; x \ne \frac{\pi}{2}\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) < \pi,\; f^{-1}(x) \ne \frac{\pi}{2}\}\) . Esta definición es mucho menos común, pero no es imposible encontrárnosla. Esta definición no será la que consideraremos para el curso, pero hay que recordarla por la posible situación futura de que la encontremos en algún software o página de Internet donde la función inversa regrese un resultado diferente que el de nuestra calculadora.

La función tangente restringida a un dominio con números positivos.
Hay que notar que esta función no es continua en el intervalo ya que hay una asíntota en el centro.

La función inversa de la función tangente restringida al dominio correspondiente.
Esta es la función arcotangente con una definición muy inusual.

Funciones inyectivas y funciones no inyectivas

Una función \(f\) es una función inyectiva si cada elemento distinto del dominio de \(f\) le corresponden elementos distintos de la imagen (rango) de \(f\).

Dicho de otra forma una función \(f\) es inyectiva si a cada elemento de la imagen le corresponde un y sólo un elemento del dominio.  Es por esta razón que otro nombre para una función inyectiva es "función uno-a-uno".

Ilustración de una función inyectiva. En el curso sólo consideraremos casos donde el rango de la función  según X es lo mismo que lo está en Y. Es decir, no habrá ningún caso con la "C" mostrada en el diagrama.
[Fuente: Wikipedia]

Si una función \(f\) no es inyectiva decimos que \(f\) es una función no inyectiva. De forma más precisa: Una función \(f\) es una función no inyectiva si al menos a un par de elementos distintos del dominio de \(f\) le corresponden el mismo elemento en la imagen (rango) de \(f\). Por esta razón otro nombre para las funciones no inyectivas es "función muchos-a-uno".

Ilustración de una función no inyectiva. Vemos que hay un par de valores diferentes en el dominio que se transforman a un mismo valor en el rango.
[Fuente: Wikipedia]

En este curso consideraremos que si una función \(f\) es inyectiva entonces la función \(f\) sí tendrá una función inversa \(f^{-1}\). Equivalentemente a esto obtenemos el resultado para este curso que una función es inyectiva si pasa la prueba de la línea horizontal que se utiliza para determinar si una función tiene inversa. Es decir, para fines del curso una función inyectiva es una función con una función inversa.

En otros cursos de matemáticas avanzadas no necesariamente se cumplirá el supuesto que una función que es inyectiva tiene función inversa y viceversa, pero para fines del curso hay que considerarlo como cierto.

Como el rango de la función será lo mismo que Y en este curso podemos garantizar que habrá una función inversa que transforme elementos de Y a elementos de X.
[Fuente: Wikipedia]

Ejemplos de funciones inyectivas:

• La función \(f(x)=x\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva. 
• Su inversa es \(f^{-1}(x)=x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x)=8-x\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• Su inversa es \(f^{-1}(x)=8-x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\)
• La función \(f(x)=x^2\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\). 
• La función \(f(x)=x^3\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x)=x^4\) con el domino \(x \in \mathbb{R}^{-}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = -\sqrt[4]{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\). 
• La función \(f(x)=2x+1\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x) = e^{x}\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \ln x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\).
• La función \(f(x) = \log x\) con el domino \(x \in \mathbb{R}^{+}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = 10^{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x)=\textrm{sen}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. La forma más común de establecerla es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arcsen }x\) con el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1\}\) y el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le f^{-1}(x) \le \frac{\pi}{2}\}\). 
• La función \(f(x)=\textrm{cos}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le \pi \}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. La forma más común de establecerla es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arccos }x\) con el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1 \}\) y el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) \le \pi \}\).
• La función \(f(x)=\textrm{tg}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. La forma más común de establecerla es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) y el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < f^{-1}(x) < \frac{\pi}{2}\}\) . 
• La calculadora del curso usa esta definición. Sin embargo utiliza una notación diferente \( f^{-1}(x)=\text{tg}^{-1}\;x\)
• La función \(f(x)=\textrm{tg}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x < \pi , x \ne \frac{\pi}{2} \}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. Otra forma de establecerla, además de la anterior es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) y el rango \(\{ f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) < \pi , f^{-1}(x) \ne \frac{\pi}{2}\}\). 
• Es muy importante notar que puede haber varias definiciones de la función inversa según el dominio y el rango correspondiente.

Ejemplos de funciones no inyectivas:

• La función \(f(x)=1\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(1)=1\) y también \(f(-1)=1\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(1\) o \(-1\) al evaluar el valor de \(1\).
• La función \(f(x)=x^2\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(2)=4\) y también \(f(-2)=4\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(2\) o \(-2\) al evaluar el valor de \(4\).
• La función \(f(x)=x^4\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(1)=1\) y también \(f(-1)=1\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(1\) o \(-1\) al evaluar el valor de \(1\).
• La función \(f(x)=\textrm{sen}(x)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(0)=0\) y también \(f(2\pi)=0\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(0\) o \(2\pi\) al evaluar el valor de \(0\).
• La función \(f(x)=\textrm{cos}(x)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(0)=1\) y también \(f(2\pi)=1\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(0\) o \(2\pi\) al evaluar el valor de \(1\).
• La función \(f(x)=\textrm{tg}(x)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(0)=0\) y también \(f(2\pi)=0\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(0\) o \(2\pi\) al evaluar el valor de \(0\).
• La función \(f(x)=(x-1)(x)(x+1)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(1)=0\) y también \(f(-1)=0\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(1\) o \(-1\) al evaluar el valor de \(0\).

Funciones impares

Decimos que una función \(f\) es una función impar si y sólo si se cumple la ecuación:
\[
f(-x)=-f(x)
\]
Lo anterior se debe de cumplir para todo valor \(x\) el dominio de la función sin excepción. Es decir, si \(x\) está en el dominio de \(f\) entonces \(-x\) también tiene que estar en el dominio de \(f\).

Lo que esto nos dice es que una función par es simétrica con respecto al origen. Es decir, la gráfica presenta simetría con respecto a un punto, en este caso el punto con coordenadas \((0,0)\).

Ejemplos de funciones impares:

• \(f(x) = x^{2n+1}\) dónde \(n \in \mathbb{Z}\). Es decir todas las funciones polinómicas que sean únicamente \(x\) elevada a una potencia impar, es por esto que se les dió el nombre de "Funciones impares". Más específicamente algunas funciones pares de esta forma son:
• \(f(x)=0\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^3\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^5\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-3}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-5}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{99}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=\textrm{ sen }x\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x) = x^{5}-x^{3}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad

Demostración que las anteriores son funciones impares:

• Notamos que \(f(x)=0\) y que \(f(-x)=0=(-1)(0)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x\) y que \(f(-x)=(-x)=(-1)(x)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^3\) y que \(f(-x)=(-x)^3=(-1)^3(x)^3=(-1)x^3=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^5\) y que \(f(-x)=(-x)^5=(-1)^5(x)^5=(-1)x^5=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^{-3}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-3}=(-1)^{-3}(x)^{-3}=(-1)x^{-3}=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^{-5}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-5}=(-1)^{-5}(x)^{-5}=(-1)x^{-5}=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^{99}\) y que \(f(-x)=(-x)^{99}=(-1)^{99}(x)^{99}=(-1)x^{99}=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=\textrm{ sen }(x)\) y que \(f(-x)=\textrm{ sen }(-x)=-\text{ sen }(x)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar. Aquí se utiliza la identidad \(\textrm{ sen }(-\theta) = -\textrm{ sen }(\theta)\).

• Notamos que \(f(x)=x^5 - x^3\) y que \(f(-x)=(-x)^5-(-x)^3=-x^5+x^3=(-1)(x^5-x^3)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

Podemos demostrar teoremas con estas propiedades:

Demuestre que si una función \(f_{1}(x)\) es una función impar y otra función \(f_{2}(x)\) es una función impar entonces una función \(g(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\) también será una función impar (con dominios que permitan la propiedad).
\[g(-x) = f_{1}(-x)+f_{2}(-x)\]

Como \(f_{1}(-x) = -f_{1}(x)\) y también \(f_{2}(-x) = -f_{2}(x)\) entonces:

\[g(-x) = -f_{1}(x)-f_{2}(x)=(-1)(f_{1}(x)+f_{2}(x))=-g(x)\]

Por lo tanto g(x) es una función impar también (considerando que todas tienen dominios que permitan la propiedad).

Gráficas de ejemplo de funciones impares:

Se muestran en diferentes colores varias funciones impares.
Gráfica hecha con la aplicación "Desmos Graphing Calculator"

Funciones pares

Decimos que una función \(f\) es una función par si y sólo si se cumple la ecuación:
\[
f(-x)=f(x)
\]
Lo anterior se debe de cumplir para todo valor \(x\) el dominio de la función sin excepción. Es decir, si \(x\) está en el dominio de \(f\) entonces \(-x\) también tiene que estar en el dominio de \(f\).

Lo que esto nos dice es que una función par es simétrica con respecto al eje-y. Es decir, la gráfica no se altera si se le realiza una reflexión sobre el eje-y.

Ejemplos de funciones pares:

• \(f(x) = x^{2n}\) dónde \(n \in \mathbb{Z}\). Es decir todas las funciones polinómicas que sean únicamente \(x\) elevada a una potencia par, es por esto que se les dió el nombre de "Funciones pares". Más específicamente algunas funciones pares de esta forma son:
• \(f(x)=0\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=1\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^2\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^4\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^6\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-2}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-4}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-6}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{100}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=\textrm{ cos }x\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x) = \left | x \right |\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad

Demostración que las anteriores son funciones pares:

• Notamos que \(f(x)=0\) y que \(f(-x)=0=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=1\) y que \(f(-x)=1=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^2\) y que \(f(-x)=(-x)^2=(-1)^2(x)^2=x^2=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^4\) y que \(f(-x)=(-x)^4=(-1)^4(x)^4=x^4=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^6\) y que \(f(-x)=(-x)^6=(-1)^6(x)^6=x^6=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{-2}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-2}=(-1)^{-2}(x)^{-2}=x^{-2}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{-4}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-4}=(-1)^{-4}(x)^{-4}=x^{-4}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{-6}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-6}=(-1)^{-6}(x)^{-6}=x^{-6}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{100}\) y que \(f(-x)=(-x)^{100}=(-1)^{100}(x)^{100}=x^{100}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=\textrm{ cos }(x)\) y que \(f(-x)=\textrm{ cos }(-x)=\text{ cos }(x)=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par. Aquí se utiliza la identidad \(\textrm{ cos }(-\theta) = \textrm{ cos }(\theta)\).

• Notamos que \(f(x)=\left |x \right |\) y que \(f(-x)=\left | -x \right |=\left | x \right |=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

Podemos demostrar teoremas con estas propiedades:

Demuestre que si una función \(f(x)\) es par entonces una función \(g(x)=a f(x)+c\) con \(a \in \mathbb{R}\) y \(c \in \mathbb{R}\) también será una función par.
\[g(-x) = a f(-x) + c\]

Como \(f(-x) = f(x)\) entonces:

\[g(-x) = a f(x) + c = g(x)\]

Por lo tanto g(x) es una función par también (considerando el mismo dominio de \(f\) o un dominio que la permita ser una función par).

Gráficas de ejemplo de funciones pares:

Se muestran en diferentes colores varias funciones pares.
Gráfica hecha con la aplicación "Desmos Graphing Calculator"

Ecuaciones equivalentes

El concepto de ecuación equivalente será muy útil para identificar situaciones donde se puede reducir un sistema a otro sistema más simple de forma muy rápida.

Diremos que una ecuación \(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3} = b_{1}\) es equivalente a otra ecuación \(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3} = d_{1}\) sí y sólo sí existe un número \(k \in \mathbb{R}\) tal que se cumple que \(ka_{i}=c_{i}\) para todo \(i\) y también se cumple que \(kb_{1}=d_{1}\). La única excepción es que \(k \ne 0\).

Dicho de forma más intuitiva una ecuación es equivalente a otra ecuación si se puede transformar una a la otra multiplicando por un número real, siempre que se mantengan las mismas variables. Dicho de otro modo la segunda ecuación no me proporciona información nueva que no pueda deducir a partir de la primera y viceversa.

Ejemplos de ecuaciones equivalentes:

• \(2x=4\) es una ecuación equivalente a \(100x=200\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(50\).
• \(x=\pi\) es una ecuación equivalente a \(-3x=-3\pi\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(-3\).
• \(x+y=0\) es una ecuación equivalente a \(7x+7y=0\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(7\).
• \(2x-3y=1\) es una ecuación equivalente a \(-4x+6y=-2\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(-2\).
• \(x+y-z=0\) es una ecuación equivalente a \(x+y-z=0\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(1\).
• \(x+y-z=0\) es una ecuación equivalente a \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=0\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(\frac{1}{2}\).
• \(x+y-z=\sqrt{2}\) es una ecuación equivalente a \(2x+2y-2z=2\sqrt{2}\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(2\).

Si un sistema de ecuaciones lineales presenta ecuaciones equivalentes y son fáciles de identificar entonces podemos eliminarlas rápidamente usando las operaciones permitidas de multiplicar por una constante (que no sea 0) y restar la expresión. Así podemos reducir sistemas a sistemas más simples de forma muy rápida.

Ejemplos reduciendo sistemas de ecuaciones lineales:

Ejemplo 1:

\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y una variable" a uno con "una ecuación y una variable". Este sistema tiene una solución única \(x = \frac{1}{2}\).

Ejemplo 2:
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10\\
30x&=15
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y una variable" a uno con "una ecuación y una variable". Este sistema tiene una solución única \(x = \frac{1}{2}\).

Ejemplo 3:
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y una variable" a uno con "dos ecuaciones y una variable". Este sistema no tiene solución ya que las ecuaciones se contradicen, se puede ver más claro reduciendo el sistema más por reducción de filas.
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
0&=-1
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contracción.

Ejemplo 4:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
-7x-7y&=-7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y dos variables" a uno con "una ecuación y dos variables". El sistema tendrá como solución todos los puntos en la recta \(x+y=1\) en el plano cartesiano, son una infinidad de soluciones. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 1 - \lambda \\
y &= \lambda\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]

Ejemplo 5:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "una ecuación y dos variables". El sistema tendrá como solución todos los puntos en la recta \(x+y=\frac{3}{2}\) en el plano cartesiano, son una infinidad de soluciones. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= \frac{3}{2} - \lambda \\
y &= \lambda\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]

Ejemplo 6:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "dos ecuaciones y dos variables". Ya que estas dos ecuaciones se contradicen este sistema no tendrá solución única, se puede ver más claro continuando reduciendo el sistema por medio de reducción de filas.

\[
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
0&=-2
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contracción.

Ejemplo 7:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "dos ecuaciones y dos variables". Estas dos ecuaciones determinan una solución única. Continuando con la reducción de filas llegamos al resultado:
\[
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
y&=4
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x&=\frac{3}{2}-4\\
y&=4
\end{matrix}\right.
\]Entonces la solución única es:
\[
\begin{align*}
x &= -\frac{5}{2}\\
y &= 4
\end{align*}
\]

Ejemplo 8:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
2x+2y+2z&=6
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y tres variables" a uno con "una ecuación y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma del plano \(x+y+z=3\) en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:

\[
\begin{align*}
x &= 3 - \lambda - \mu\\
y &= \lambda\\
z &= \mu\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R} & \mu \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]

Ejemplo 9:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
2x+2y+2z&=6\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=0\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "una ecuación y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma del plano \(x+y+z=3\) en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 3 - \lambda - \mu\\
y &= \lambda\\
z &= \mu\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R} & \mu \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]

Ejemplo 10:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
z&=-7\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
z&=-7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "dos ecuaciones y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma de una línea en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 10 - \lambda\\
y &= \lambda\\
z &= -7\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]

Ejemplo 11:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "dos ecuaciones y tres variables". El sistema no tendrá solución ya que las ecuaciones se contradicen. Si reducimos aún más el sistema:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=4\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contradicción.

Usando la calculadora para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Usar la calculadora del programa permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma rápida.

En la TI-Nspire se puede resolver sistemas de ecuaciones lineales buscando la opción de "Resolver sistemas de ecuaciones lineales" en el menú de "Álgebra".

Nos pedirá el número de ecuaciones y las variables a asignar. Las imágenes mostradas en esta entrada son capturas de pantalla hechas con el "Student Software de la TI-Nspire".

Seleccionando los valores, se muestran las opciones predeterminadas 

Insertamos los valores requeridos. Hay que recordar que en el programa sólo se verán los casos de máximo 3 ecuaciones. Hay que recordar también que habrá un máximo de 3 variables, por lo que podemos asignarles los nombres comunes \(x\), \(y\) y \(z\).

Podemos resolver fácilmente sistemas de ecuaciones de todos los tipos relevantes al programa en todos los casos que se pueden presentar:

Resolviendo sistemas de una variable y una ecuación con TI Nspire:
La TI regresa las soluciones de forma rápida:

1 ecuación y 1 variable.  Solución única.

Resolviendo sistemas de una variable y dos ecuaciones con TI Nspire:
La TI regresa la solución única si existe, también regresa que no hay solución en los casos donde no la hay.

2 ecuaciones y 1 variable.
Casos con solución única y casos sin solución.

Resolviendo sistemas de una variable y tres ecuaciones con TI Nspire:
La TI regresa la solución única si existe, también regresa que no hay solución en los casos donde no la hay.

3 ecuaciones y 1 variable.
Casos con solución única y casos sin solución.

Resolviendo sistemas de dos variables y una ecuación con TI Nspire:
La TI regresa una expresión para las infinitas soluciones usando el parámetro \(c \in \mathbb{R}\).

1 ecuación y 2 variables. Infinitas soluciones (línea).

Como podemos ver la TI Nspire siempre deja que la segunda variable (en este caso \(y\)) tome cualquier valor real y expresa la primera variable (en este caso \(x\)) en función del valor de la segunda variable.

Resolviendo sistemas de dos variables y dos ecuaciones con TI Nspire:
La TI (1) regresa una expresión para las infinitas soluciones o (2) regresa que no hay solución del sistema o (3) regresa la solución única del sistema según sea el caso:

2 ecuaciones y 2 variables.
Casos con infinitas soluciones (línea), sin solución y con solución única.

Resolviendo sistemas de dos variables y tres ecuaciones con TI Nspire:
La TI (1) regresa una expresión para las infinitas soluciones o (2) regresa que no hay solución del sistema o (3) regresa la solución única del sistema según sea el caso:

3 ecuaciones y 2 variables. Casos con infinidad de soluciones (línea).

3 ecuaciones y 2 variables. Casos sin solución.

3 ecuaciones y 2 variables. Casos con solución única.

Resolviendo sistemas de tres variables y una ecuación con TI Nspire:
La TI regresa una expresión para las infinitas soluciones usando dos parámetros \(c \in \mathbb{R}\). Este es el caso cuando el conjunto de puntos forma un plano en el espacio tridimensional.

3 variables y 1 ecuación. Infinitas soluciones (plano).

Resolviendo sistemas de tres variables y dos ecuaciones con TI Nspire:
La TI (1) regresa una expresión para las infinitas soluciones que generan un plano en el espacio tridimensional  (dos parámetros \(c \in \mathbb{R}\)) o (2) regresa una expresión para las infinitas soluciones que generan una línea en el espacio tridimensional (un parámetro \(c \in \mathbb{R}\)) o (3) regresa un mensaje que indica que no hay solución.

3 variables y 2 ecuaciones. Casos de infinitas soluciones (plano).

3 variables y 2 ecuaciones. Casos de infinitas soluciones (línea).

3 variables y 2 ecuaciones. Casos donde no hay soluciones.

Resolviendo sistemas de tres variables y tres ecuaciones con TI Nspire:
La TI (1) regresa una expresión para las infinitas soluciones que generan un plano en el espacio tridimensional (dos parámetros \(c \in \mathbb{R}\)) o (2) regresa una expresión para las infinitas soluciones que generan una línea en el espacio tridimensional (un parámetro \(c \in \mathbb{R}\)) o (3) regresa un mensaje que indica que no hay solución o (4) regresa la solución única del sistema.

3 variables y 3 ecuaciones. Casos con infinitas soluciones (plano).

3 variables y 3 ecuaciones. Casos con infinitas soluciones (línea).

3 variables y 3 ecuaciones. Casos sin solución.

3 variables y 3 ecuaciones. Casos con solución única.

Usando reducción de filas para resolver sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales se puede cambiar por otro sistema de ecuaciones lineales si son equivalentes entre sí.

Para que un sistema de ecuaciones lineales sea equivalente a otro debe de definir la misma solución (o infinidad de soluciones) que el otro sistema de ecuaciones lineales. Denotaremos que un sistema es equivalente a otro con el símbolo "similar": \(\sim\).

Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución si es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales sin solución.

Hay ciertas operaciones que se permiten para convertir un sistema de ecuaciones lineales a otro sin que se afecten las soluciones del sistema. Las operaciones válidas son:

1. Se puede multiplicar cualquier ecuación por cualquier número real \(c\), siempre que \(c \ne 0\). La multiplicación afecta a todos los términos de la ecuación. Ejemplo: El sistema \(\{2x+3y=6\}\) se puede convertir a \(\{6x+9y=18\}\) al multiplicar todo por \(3\), el sistema \(\{64x+32y=18\}\) se puede convertir a \(\{32x+16y=9\}\) al multiplicarlo todo por \(\frac{1}{2}\), etc..
2. Se puede sumar o restar una ecuación a otra ecuación para producir una nueva ecuación en su lugar. La suma o resta afecta a todos los términos de la ecuación. Ejemplo: El sistema \(\{4x+3y = 7, x+y=0\}\) es equivalente al sistema \(\{5x+4y=7, x+y = 0\}\) ya que sumamos la segunda ecuación a la primera, el sistema \(\{-x+y=-3,2x+7y=11\}\) es equivalente al sistema \(\{-x+y=-3, 3x+6y=14\}\) ya que le restamos la primera ecuación a la segunda, etc.
3. Podemos cambiar el orden en el que aparecen las ecuaciones ya que esto no afecta las soluciones del sistema. Ejemplo: El sistema \(\{4x+3y = 7, x+y=0\}\) es equivalente al sistema \(\{x+y = 0, 4x+3y=7\}\) ya que sólo cambiamos el orden en que aparecen las ecuaciones, el sistema \(\{-x+y=-3,2x+7y=11\}\) es equivalente al sistema \(\{2x+7y=11, -x+y=-3\}\) ya que sólo cambiamos el orden en que aparecen las ecuaciones, etc.

Podemos combinar estas dos reglas en una sola operación donde sumamos a una ecuación el resultado de multiplicar por un número real \(c\) a otra ecuación.

Utilizando estas operaciones podemos llegar a un sistema de ecuaciones más simple donde podamos encontrar los valores que lo cumplen de forma más rápida. Para hacerlo más simple podemos emplear la siguiente estrategia que se basa en ir eliminando la cantidad de variables en cada fila:

Principios básicos de Reducción de filas:

1. Acomodar las ecuaciones si es necesario para facilitar el procedimiento.
2. Utilizar el hecho que se puede dividir entre una constante para convertir coeficientes de variables al valor más simple de \(1\). Este paso ayuda a simplificar coeficientes de las variables para realizar el siguiente paso.
3. Utilizar el hecho que se pueden multiplicar y sumar a otra ecuación una ecuación para cancelar variables de las ecuaciones. Este paso consiste en cancelar variables de las ecuaciones, ayuda tener el coeficiente de la variable de la ecuación a multiplicar en \(1\). 
4. Podemos continuar cancelando hasta que lleguemos a un sistema que sea fácil de identificar la solución. Podemos detenernos al encontrar un valor que podamos sustituir en otra ecuación o cuando ya tengamos sistemas que reconozcamos la solución. Es decir, tenemos que repetir los pasos anteriores con todas las variables o hasta que se simplifique lo suficiente.

El método anterior se le llama reducción de filas porque reduce las filas del sistema hasta que deja un sistema fácil de resolver. De la misma forma se puede continuar el proceso de eliminar variables en las ecuaciones hasta llegar a la solución (sistemas con solución única), o llegar hasta un sistema donde es fácil identificar las infinitas soluciones (sistemas con infinidad de soluciones) o llegar hasta una contradicción (sistema sin solución).

Si el sistema tiene solución única es más rápido encontrar una variable y usar esta para obtener las demás que intentar reducir aún más el sistema, aunque sí se puede reducir hasta llegar a la solución final.

También se puede decidir cancelar las variables en un orden tal que sea resuelto de forma más rápida que  hacerlo de otra forma. Hay que aprovechar las variables que ya tengan coeficiente \(1\) o ecuaciones que es fácil identificar que en realidad son la misma ecuación o ecuaciones que sólo requieran sumarse o restarse para cancelarse (sin necesidad de que se multipliquen por una constante \(c\) antes de sumar o restar).

Ejemplo 1:

\[
\left\{\begin{matrix}
7x&=2
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=\frac{2}{7}
\end{matrix}\right.
\]

Por lo anterior la solución es que \(x = 2/7\). Sólo tuvimos que dividir la única ecuación entre 7.

Ejemplo 2:

\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=\frac{5}{10}\\
x&=\frac{10}{20}
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=\frac{1}{2}\\
x&=\frac{1}{2}
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=\frac{1}{2}\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\]
Como podemos ver la solución del sistema es \(x = 1/2\). Tuvimos que dividir ambas ecuaciones entre un número, la primera entre 10 y la segunda entre 20. Si restamos la primera ecuación a la segunda segunda ecuación, el resultado hace que la segunda quede en ceros.

Ejemplo 3:

\[
\left\{\begin{matrix}
5x&=5\\
100x&=200\\
11x&=33
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=\frac{5}{5}\\
x&=\frac{200}{100}\\
x&=\frac{33}{11}
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
x&=2\\
x&=3
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
0&=1\\
0&=2
\end{matrix}\right.
\] En este caso no hay valor real que pueda tomar \(x\) que cumpla con las 3 igualdades. Al restar la primera de la segunda obtenemos la igualdad contradictoria \(0 = 1\). De la misma forma si restamos la primera a la tercera obtenemos la igualdad contradictoria \(0 = 2\). Este sistema de ecuaciones y sus equivalentes no tienen solución.

Un sistema de ecuaciones que tenga una igualdad contradictoria no tiene solución ya que nunca se cumplirá la igualdad.

Ejemplo 4:

\[
\left\{\begin{matrix}
7x-y&=5\\
14x-2y&=10
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
7x-y&=5\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] En este caso multiplicamos por 2 la primera ecuación y restamos esto a la segunda ecuación, el resultado es que queden puros ceros. La solución del sistema serían todos los pares ordenados \((x,y)\) que cumplan la ecuación \(7x-y=5\), sabemos que estos puntos forman una línea.

Si consideramos que \(y\) se encuentra libre para tomar cualquier valor real \(\lambda_{1}\) entonces cuando \(y\) toma un valor obliga a \(x\) a tomar un valor, por lo tanto la solución la podemos escribir como:
\[
\begin{align*}
x &= \frac{5}{7}+\frac{1}{7}\lambda_{1}\\
y &= \lambda_{1}
&\textrm{Donde }\lambda_{1} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\] También de forma equivalente si consideramos que \(x\) se encuentra libre para tomar cualquier valor real \(\lambda_{2}\) entonces cuando \(x\) toma un valor obliga a \(y\) a tomar un valor, por lo tanto la solución la podemos escribir como:
\[
\begin{align*}
x &= \lambda_{2}\\
y &= -5+7\lambda_{2}
&\textrm{Donde }\lambda_{2} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 5:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=7\\
2x+2y&=0\\
2x+3y&=1
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y&=7\\
x+y&=0\\
2x+3y&=1
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y&=7\\
0&=-7\\
y&=-13
\end{matrix}\right.
\]

Esto se logró dividiendo la segunda ecuación entre 2 y simplificando la tercera ecuación multiplicando por \(-2\) la primera ecuación y sumando el resultado a la tercera. Después se resto la primera ecuación a la segunda. Podemos ver que se va a contradecir el sistema por el hecho que \(x + y\) en la primera ecuación no es lo mismo que \(x + y\) en la segunda ecuación. Llegamos a la contradicción \(0=-7\). Este sistema no tiene solución.

Ejemplo 6:

\[
\left\{\begin{matrix}
x-y&=11\\
x+y&=3\\
2x+2y&=6
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x-y&=11\\
2x&=14\\
4x&=28
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x-y&=11\\
x&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\]
En este caso es más fácil cancelar las \(y\)'s primero al realizar una suma con las otras ecuaciones. Como \(x = 7\), sustituyendo en la primera ecuación obtenemos \(y = -4\) por lo tanto la solución es el punto \((7,-4)\).
Podemos obtener este resultado continuando con la reducción de filas:
\[
\left\{\begin{matrix}
x-y&=11\\
x&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
-y&=4\\
x&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
y&=-4\\
x&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\]
Podemos detenernos cuando ya tengamos la solución y la sustituimos en las otras ecuaciones. O alternativamente podemos continuar cancelando las variables.

Ejemplo 7:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=1\\
-7x-7y-7z&=-7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=1\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\]
Entonces la solución serán todos los puntos \((x,y,z)\) en el espacio tridimensional que cumplen la ecuación \(x+y+z=1\). Podemos establecer esto de 3 formas diferentes considerando que dos variables pueden tomar cualquier valor real y la última variable estará forzada a tomar un valor en específico para cumplir la ecuación.

Si \(x\) y \(y\) son libres de tomar cualquier valor real y al hacerlo determinan el valor de \(z\):
\[
\begin{align*}
x &= \lambda_{1}\\
y &= \mu_{1}\\
z &= 1-\lambda_{1}-\mu_{1}\\
\\
&\textrm{Donde }\lambda_{1} \in \mathbb{R}
& \mu_{1} \in \mathbb{R}\end{align*}
\]
Si \(x\) y \(z\) son libres de tomar cualquier valor real y al hacerlo determinan el valor de \(y\):
\[
\begin{align*}
x &= \lambda_{2}\\
y &= 1-\lambda_{2}-\mu_{2}\\
z &= \mu_{2}\\
\\
&\textrm{Donde }\lambda_{2} \in \mathbb{R}
& \mu_{2} \in \mathbb{R}\end{align*}
\]
Sí \(y\) y \(z\) son libres de tomar cualquier valor real y al hacerlo determinan el valor de \(x\):
\[
\begin{align*}
x &= 1-\lambda_{3}-\mu_{3}\\
y &= \lambda_{3}\\
z &= \mu_{3}\\
\\
&\textrm{Donde }\lambda_{3} \in \mathbb{R}
& \mu_{3} \in \mathbb{R}\end{align*}
\]

Ejemplo 8:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
2x+2y+2z&=6\\
2x+3y+3y&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=0\\
y+z&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x&=3\\
0&=0\\
y+z&=0
\end{matrix}\right.
\] 

Como podemos ver la solución serán todos los puntos en el espacio tridimensional que sean de la forma \((0,y,z)\) siempre que \(y+z=0\). Entonces podemos hacer que una de las dos variables tome cualquier valor real y defina el valor de otra.

Podemos hacer que \(y\) tome cualquier valor real y defina el valor de \(z\):

\[
\begin{align*}
x &= 0\\
y &= \lambda_{1}\\
z &= -\lambda_{1}
&\textrm{Donde }\lambda_{1} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]

O alternativamente podemos hacer que \(z\) tome cualquier valor real y defina el valor de \(y\):

\[
\begin{align*}
x &= 0\\
y &= -\lambda_{2}\\
z &= \lambda_{2}
&\textrm{Donde }\lambda_{2} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]

Ejemplo 9:

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=-1\\
2x+2y+2z&=-2\\
3x+3y+3z&=1
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=-1\\
0&=0\\
0&=3
\end{matrix}\right.
\]
Como llegamos a la contradicción \(0=3\) entonces el sistema no tendrá solución.

Ejemplo 10:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=6\\
x-y-z&=-4\\
x+y-z&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=6\\
2x&=2\\
2x+2y&=6
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=6\\
x&=1\\
x+y&=3
\end{matrix}\right.
\]
Sustituyendo \(x = 1\) en la tercera ecuación resulta en \(y = 2\). Luego sustituyendo estos valores en la primera resulta en \(z = 3\). Por lo tanto la solución única es el punto \((1,2,3)\). También podemos obtener esto continuando la reducción de filas:
\[
\sim
\left\{\begin{matrix}
z&=3\\
x&=1\\
y&=2
\end{matrix}\right.
\]