Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones y variables de la siguiente forma:
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{(1,1)}x_{1}+a_{(1,2)}x_{2}+a_{(1,3)}x_{3}+\cdots+a_{(1,m)}x_{m}&=b_{1}\\
a_{(2,1)}x_{1}+a_{(2,2)}x_{2}+a_{(2,3)}x_{3}+\cdots+a_{(2,m)}x_{m}&=b_{2}\\
a_{(3,1)}x_{1}+a_{(3,2)}x_{2}+a_{(3,3)}x_{3}+\cdots+a_{(3,m)}x_{m}&=b_{3}\\
\vdots  &\vdots  \\
a_{(n,1)}x_{1}+a_{(n,2)}x_{2}+a_{(n,3)}x_{3}+\cdots+a_{(n,m)}x_{m}&=b_{n}
\end{matrix}\right.
\]
Donde los valores de \(a\) y \(b\) son números reales constantes. En este caso las \(x\) son las variables del sistema. Los valores de las variables deben de tomar el valor de un número real (o números reales) que cumpla(n) las ecuaciones del sistema.

También se pueden tener sistemas de ecuaciones con números complejos en los coeficientes y soluciones, la metodología para trabajar con ellas es similar a la trabajada cuando todos los valores son números reales, la diferencia es en las operaciones con números no-reales.

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según dos elementos principales:

1. El número de ecuaciones, en el caso anterior es \(n\).
2. El número de variables, en el caso anterior es \(m\).

Sólo trabajaremos con sistemas de ecuaciones lineales con un máximo 3 variables y un máximo 3 ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución única, o tener una infinidad de soluciones o no tener solución alguna.

Cuando trabajamos con una variable es común utilizar la notación simplificada \(x = x_{1}\). Ésto nos proporciona los siguientes casos o clasificaciones según el número de ecuaciones:

Una variable y una ecuación
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{1}x&=b_{1}
\end{matrix}\right.
\]
Una variable y dos ecuaciones
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{1}x&=b_{1}\\
a_{2}x&=b_{2}
\end{matrix}\right.
\]
Una variable y tres ecuaciones
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{1}x&=b_{1}\\
a_{2}x&=b_{2}\\
a_{3}x&=b_{3}
\end{matrix}\right.
\]
Cuando trabajamos con dos variables es común utilizar la notación simplificada \(x = x_{1}\) y \(y = x_{2}\). Ésto nos proporciona los siguientes casos o clasificaciones según el número de ecuaciones:

Dos variables y una ecuación
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{1}x+a_{2}y&=b_{1}
\end{matrix}\right.
\]
Dos variables y dos ecuaciones
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{(1,1)}x+a_{(1,2)}y&=b_{1}\\
a_{(2,1)}x+a_{(2,2)}y&=b_{2}
\end{matrix}\right.
\]
Dos variable y tres ecuaciones
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{(1,1)}x+a_{(1,2)}y&=b_{1}\\
a_{(2,1)}x+a_{(2,2)}y&=b_{2}\\
a_{(3,1)}x+a_{(3,2)}y&=b_{3}
\end{matrix}\right.
\]
Cuando trabajamos con tres variables es común utilizar la notación simplificada \(x = x_{1}\), \(y = x_{2}\) y \(z = x_{3}\). Ésto nos proporciona los siguientes casos o clasificaciones según el número de ecuaciones:

Tres variables y una ecuación
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z&=b_{1}
\end{matrix}\right.
\]
Tres variables y dos ecuaciones
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{(1,1)}x+a_{(1,2)}y+a_{(1,3)}z&=b_{1}\\
a_{(2,1)}x+a_{(2,2)}y+a_{(2,3)}z&=b_{2}
\end{matrix}\right.
\]
Tres variables y tres ecuaciones
\[
\left\{\begin{matrix}
a_{(1,1)}x+a_{(1,2)}y+a_{(1,3)}z&=b_{1}\\
a_{(2,1)}x+a_{(2,2)}y+a_{(2,3)}z&=b_{2}\\
a_{(3,1)}x+a_{(3,2)}y+a_{(3,3)}z&=b_{3}
\end{matrix}\right.
\]

Veamos algunos ejemplos para establecer bien los conceptos:
Ejemplos de sistemas con una ecuación y una variable:
\[
\left\{\begin{matrix}
7x&=2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-3x&=0
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con dos ecuaciones y una variable:
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=7\\
x&=-3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con tres ecuaciones y una variable:
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
2x&=2\\
3x&=3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
2x&=2\\
x&=0
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
x&=2\\
x&=3
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con una ecuación y dos variables:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=-7
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-3x-2y&=5
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con dos ecuaciones y dos variables:
\[
\left\{\begin{matrix}
7x-y&=5\\
14x-2y&=10
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=7\\
2x+2y&=0
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x-3y&=11\\
-5x+7y&=13
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x&=2\\
3y&=3
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con tres ecuaciones y dos variables:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+3y&=1\\
-2x-3y&=-1\\
-4x-6y&=-2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=0\\
x+y&=1\\
x+y&=-1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=0\\
2x+2y&=0\\
x+y&=1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=0\\
2x+2y&=0\\
2x+3y&=1
\end{matrix}\right.
\]

\[
\left\{\begin{matrix}
x+2y&=-13\\
3x+5y&=-17\\
7x+11y&=-19
\end{matrix}\right.
\]

\[
\left\{\begin{matrix}
x&=3\\
3x&=9\\
y&=1
\end{matrix}\right.
\]

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
x&=1\\
y&=1
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con una ecuación y tres variables:
\[
\left\{\begin{matrix}
x-y+z&=9
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-x+199y+41z&=17
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con dos ecuaciones y tres variables:
\[
\left\{\begin{matrix}
x-y-z&=1\\
x-y-z&=2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+4y+6z&=8\\
4x+8y+12z&=16
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+4y&=8\\
4x+8z&=16
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
y+z&=2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
z&=0
\end{matrix}\right.
\]
Ejemplos de sistemas con tres ecuaciones y tres variables:
\[
\left\{\begin{matrix}
-x-2y+3z&=-1\\
-x-2y+3z&=-2\\
-x-2y+3z&=-3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
7x+11y+23z&=0\\
70x+110y+230z&=0\\
2x+3y+5z&=7
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-3x-2y-z&=1\\
-300x-200y-100z&=100\\
-600x-400y-200z&=200
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+3y+5z&=7\\
11x+13y+17z&=19\\
23x+29y+31z&=37
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
133x&=7\\
134y&=8\\
132z&=9
\end{matrix}\right.
\]

\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
y+x&=1\\
z&=9
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
y+z&=1\\
z+x&=1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
y&=1\\
z&=1
\end{matrix}\right.
\]