Funciones impares

Decimos que una función \(f\) es una función impar si y sólo si se cumple la ecuación:
\[
f(-x)=-f(x)
\]
Lo anterior se debe de cumplir para todo valor \(x\) el dominio de la función sin excepción. Es decir, si \(x\) está en el dominio de \(f\) entonces \(-x\) también tiene que estar en el dominio de \(f\).

Lo que esto nos dice es que una función par es simétrica con respecto al origen. Es decir, la gráfica presenta simetría con respecto a un punto, en este caso el punto con coordenadas \((0,0)\).

Ejemplos de funciones impares:

• \(f(x) = x^{2n+1}\) dónde \(n \in \mathbb{Z}\). Es decir todas las funciones polinómicas que sean únicamente \(x\) elevada a una potencia impar, es por esto que se les dió el nombre de "Funciones impares". Más específicamente algunas funciones pares de esta forma son:
• \(f(x)=0\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^3\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^5\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-3}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-5}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{99}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=\textrm{ sen }x\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x) = x^{5}-x^{3}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad

Demostración que las anteriores son funciones impares:

• Notamos que \(f(x)=0\) y que \(f(-x)=0=(-1)(0)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x\) y que \(f(-x)=(-x)=(-1)(x)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^3\) y que \(f(-x)=(-x)^3=(-1)^3(x)^3=(-1)x^3=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^5\) y que \(f(-x)=(-x)^5=(-1)^5(x)^5=(-1)x^5=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^{-3}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-3}=(-1)^{-3}(x)^{-3}=(-1)x^{-3}=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^{-5}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-5}=(-1)^{-5}(x)^{-5}=(-1)x^{-5}=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=x^{99}\) y que \(f(-x)=(-x)^{99}=(-1)^{99}(x)^{99}=(-1)x^{99}=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

• Notamos que \(f(x)=\textrm{ sen }(x)\) y que \(f(-x)=\textrm{ sen }(-x)=-\text{ sen }(x)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar. Aquí se utiliza la identidad \(\textrm{ sen }(-\theta) = -\textrm{ sen }(\theta)\).

• Notamos que \(f(x)=x^5 - x^3\) y que \(f(-x)=(-x)^5-(-x)^3=-x^5+x^3=(-1)(x^5-x^3)=-f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función impar.

Podemos demostrar teoremas con estas propiedades:

Demuestre que si una función \(f_{1}(x)\) es una función impar y otra función \(f_{2}(x)\) es una función impar entonces una función \(g(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\) también será una función impar (con dominios que permitan la propiedad).
\[g(-x) = f_{1}(-x)+f_{2}(-x)\]

Como \(f_{1}(-x) = -f_{1}(x)\) y también \(f_{2}(-x) = -f_{2}(x)\) entonces:

\[g(-x) = -f_{1}(x)-f_{2}(x)=(-1)(f_{1}(x)+f_{2}(x))=-g(x)\]

Por lo tanto g(x) es una función impar también (considerando que todas tienen dominios que permitan la propiedad).

Gráficas de ejemplo de funciones impares:

Se muestran en diferentes colores varias funciones impares.
Gráfica hecha con la aplicación "Desmos Graphing Calculator"