Restricción del dominio y funciones inversas

Hay funciones que no tienen función inversa si se consideran con todo su dominio común. Sin embargo, puede que esta misma función sí pueda admitir una función inversa si se le establece una restricción en el dominio de la función.

En otras palabras, es posible que se pueda convertir una función no inyectiva a una función inyectiva al cambiar el dominio que le corresponde a la función.

El nuevo dominio restringido de la función \(f\) se convertirá en el rango de la función inversa \(f^{-1}\), de la misma forma que el rango correspondiente a la función \(f\) se convertirá en el dominio de la función inversa \(f^{-1}\).

Puede que una función admita varias restricciones de dominio diferentes que la conviertan en una función inyectiva. En este caso cada una de las restricciones de dominio diferentes están relacionadas cada una con una función inversa diferente. Esto puede causar confusiones al evaluar la función inversa en lugares que usen una diferente definición y se debe de prestar atención en la definición que usa la calculadora del programa.

Estos son algunos ejemplos de funciones no inyectivas y algunas restricciones de dominio que se les pueden aplicar para obtener una función inversa de la nueva función. Las gráficas fueron hechas con Desmos Graphic Calculator:

Ejemplo 1: \(f(x) = x^{2}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función no pasa la prueba de la línea horizontal

• Si el dominio se restringe a \(x \in \mathbb{R}^{+}\) entonces sí admite una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(f(x) \in \mathbb{R}^{+}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(x \in \mathbb{R}^{+}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(f^{-1}(x) \in \mathbb{R}^{+}\).
• La función inversa puede ser entonces \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\).

La función original con el dominio restringido y la correspondiente función inversa.
La función inversa tiene el nombre de "raíz cuadrada principal".
Esta es la función inversa que utiliza la calculadora del programa.

• Si en cambio el dominio se restringe a \(x \in \mathbb{R}^{-}\) entonces también admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(f(x) \in \mathbb{R}^{+}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(x \in \mathbb{R}^{+}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(f^{-1}(x) \in \mathbb{R}^{-}\).
• La función inversa puede ser entonces \(f^{-1}(x)=-\sqrt{x}\).

La función original con el dominio restringido y su correspondiente función inversa.
Esta definición de la raíz cuadrada no es utilizada comúnmente pero también puede ser válida.

Ejemplo 2: \(f(x) = (x+1)(x)(x-1)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

No pasa la prueba de la línea horizontal.
Vemos que el problema es la sección del centro, esta es la parte que debemos de restringir para que admita una función inversa.

• Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{\sqrt{3}}{3},\infty)\}\) entonces sí admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(\{x \in \mathbb{R}\}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid f^{-1}(x) \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{\sqrt{3}}{3},\infty)\}\).
• La función inversa puede ser establecida gráficamente como los puntos de coordenadas \((x,y)\) que cumplen la ecuación \(x=(y+1)(y)(y-1)\) en el dominio y rango correspondiente.

La función con el dominio restringido se muestra en rojo. Su correspondiente función inversa se muestra en azul.
Las líneas punteadas muestran la parte que fue eliminada.

• Alternativamente, si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \in (-\infty , -\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\) entonces también admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido será \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(\{x \in \mathbb{R}\}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid f^{-1}(x) \in (-\infty , -\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\).
• La función inversa puede ser establecida gráficamente como los puntos de coordenadas \((x,y)\) que cumplen la ecuación \(x=(y+1)(y)(y-1)\) en el dominio y rango correspondiente.

La función con el dominio restringido se muestra en rojo. Su correspondiente función inversa se muestra en azul.
Las líneas punteadas muestran la parte que fue eliminada.

• Alternativamente, si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{-\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\) entonces también admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). El dominio de la función inversa correspondiente es \(\{x \in \mathbb{R}\}\). El rango de la función inversa correspondiente es \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid f^{-1}(x) \in (-\infty , \frac{-2\sqrt{3}}{3})\cup[\frac{-\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup(\frac{2\sqrt{3}}{3},\infty)\}\)
• La función inversa puede ser establecida gráficamente como los puntos de coordenadas \((x,y)\) que cumplen la ecuación \(x=(y+1)(y)(y-1)\) en el dominio y rango correspondiente.

La función con el dominio restringido se muestra en rojo. Su correspondiente función inversa se muestra en azul.
Las líneas punteadas muestran las partes que fueron eliminadas.

Ejemplo 3: \(f(x) = \textrm{ sen }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función seno no pasa la prueba de la línea horizontal.
En este caso el problema es que es cíclica, entonces debemos cortar los ciclos y fijar un intervalo.

Como vimos en el ejemplo anterior hay varias formas de restringir el dominio. Consideraremos la forma más común basada en el principio de que partimos del centro y nos extendemos a partir de ahí. Esta definición es la que tiene más sentido porque estará centrada en el cero y será una función contínua:

• Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R} \mid -1 \le f(x) \le 1\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arcsen }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le f^{-1}(x) \le \frac{\pi}{2}\}\). 

La función seno con el dominio restringido.

La función inversa de la función seno restringida al dominio establecido.
Es la función arcseno en su forma más común.

Ejemplo 4: \(f(x) = \textrm{ cos }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función coseno no pasa la prueba de la línea horizontal.
En este caso el problema es que es cíclica, entonces debemos cortar los ciclos y fijar un intervalo.

De la misma forma que el caso anterior, en vez de enumerar todas las posibles formas diferentes de restringir el dominio nos concentraremos en la forma más lógica. Empezaremos desde el centro, vemos que hay que elegir si avanzamos a la izquierda (números negativos) o a la derecha (números positivos). Consideraremos avanzar hacia la derecha para considerar los números positivos:

• Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le \pi\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R} \mid -1 \le f(x) \le 1\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arccos }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) \le \pi\}\). 

La función coseno con su dominio restringido.

La función inversa de la función coseno restringida al dominio establecido.
Es la función arccoseno en su forma más común.

Ejemplo 5: \(f(x) = \textrm{ tg }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no tiene inversa.

La función tangente no pasa la prueba de la línea horizontal.
En este caso el problema es que es cíclica, entonces debemos cortar los ciclos y fijar un intervalo.

En este caso tenemos dos opciones. La opción uno es podemos proceder de forma similar que con la función seno: partimos desde el origen a izquierda y derecha para extenderse hasta completar el ciclo. La opción dos es proceder de forma similar que con la función coseno: partimos desde el origen únicamente a la derecha (números positivos) hasta completar el ciclo. La primera opción es la que utiliza la TI Nspire y es la que utilizaremos en los problemas.

• Opción 1: Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < f^{-1}(x) < \frac{\pi}{2}\}\). Esta es la definición que debemos de considerar al trabajar con problemas a menos que se especifique algo diferente.

La función tangente con su dominio restringido a la longitud de su ciclo.
Hay que notar que en esta restricción los límites son las asíntotas verticales de la función.

La función inversa de la función tangente restringida al dominio correspondiente.
Esta es la función arcotangente en su definición común.

• Opción 2: Si el dominio se restringe a \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x < \pi,\; x \ne \frac{\pi}{2}\}\) entonces si admitirá una función inversa. El rango de la función con el dominio restringido es  \(\{f(x) \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente la denotaremos de la forma  \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\). La función inversa correspondiente tiene el dominio \(\{x \in \mathbb{R}\}\). La función inversa correspondiente tiene el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) < \pi,\; f^{-1}(x) \ne \frac{\pi}{2}\}\) . Esta definición es mucho menos común, pero no es imposible encontrárnosla. Esta definición no será la que consideraremos para el curso, pero hay que recordarla por la posible situación futura de que la encontremos en algún software o página de Internet donde la función inversa regrese un resultado diferente que el de nuestra calculadora.

La función tangente restringida a un dominio con números positivos.
Hay que notar que esta función no es continua en el intervalo ya que hay una asíntota en el centro.

La función inversa de la función tangente restringida al dominio correspondiente.
Esta es la función arcotangente con una definición muy inusual.