Sistemas compatibles y sistemas incompatibles

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener alguna solución o pueden no tener solución.

Si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución (una o varias) lo llamaremos sistema de ecuaciones lineales compatible. El nombre proviene del hecho que las ecuaciones son compatibles entre sí, ninguna contradice el hecho establecido por otra. Los sistemas compatibles pueden tener una solución única o soluciones infinitas.

Podemos más específicamente tener la siguiente clasificación de sistemas compatibles:

• Sistemas compatibles determinados: Sistemas de ecuaciones lineales compatibles con una única solución.
• Sistemas compatibles indeterminados: Sistemas de ecuaciones lineales compatibles con infinitas soluciones.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales compatibles:
\[
\left\{\begin{matrix}
7x&=2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-3x&=0
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
2x&=2\\
3x&=3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=-7
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-3x-2y&=5
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
7x-y&=5\\
14x-2y&=10
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x-3y&=11\\
-5x+7y&=13
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x&=2\\
3y&=3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+3y&=1\\
-2x-3y&=-1\\
-4x-6y&=-2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=0\\
2x+2y&=0\\
2x+3y&=1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+2y&=-13\\
3x+5y&=-17\\
7x+11y&=-19
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=3\\
3x&=9\\
y&=1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x-y+z&=9
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-x+199y+41z&=17
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+4y+6z&=8\\
4x+8y+12z&=16
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+4y&=8\\
4x+8z&=16
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
y+z&=2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
z&=0
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
7x+11y+23z&=0\\
70x+110y+230z&=0\\
2x+3y+5z&=7
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-3x-2y-z&=1\\
-300x-200y-100z&=100\\
-600x-400y-200z&=200
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+3y+5z&=7\\
11x+13y+17z&=19\\
23x+29y+31z&=37
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
133x&=7\\
134y&=8\\
132z&=9
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
y+x&=1\\
z&=9
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
y+z&=1\\
z+x&=1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
y&=1\\
z&=1
\end{matrix}\right.
\]

Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución lo llamaremos sistema de ecuaciones lineales incompatible. El nombre proviene del hecho que estos sistemas tienen al menos una ecuación que contradice algún hecho de las otras ecuaciones, por lo tanto no hay soluciones.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales incompatibles:
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=7\\
x&=-3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
2x&=2\\
x&=0
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x&=1\\
x&=2\\
x&=3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=7\\
2x+2y&=0
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=0\\
x+y&=1\\
x+y&=-1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=0\\
2x+2y&=0\\
x+y&=1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
x&=1\\
y&=1
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
x-y-z&=1\\
x-y-z&=2
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
-x-2y+3z&=-1\\
-x-2y+3z&=-2\\
-x-2y+3z&=-3
\end{matrix}\right.
\]
\[
\left\{\begin{matrix}
7x+11y+23z&=0\\
70x+110y+230z&=1\\
2x+3y+5z&=7
\end{matrix}\right.
\]