Funciones inyectivas y funciones no inyectivas

Una función \(f\) es una función inyectiva si cada elemento distinto del dominio de \(f\) le corresponden elementos distintos de la imagen (rango) de \(f\).

Dicho de otra forma una función \(f\) es inyectiva si a cada elemento de la imagen le corresponde un y sólo un elemento del dominio.  Es por esta razón que otro nombre para una función inyectiva es "función uno-a-uno".

Ilustración de una función inyectiva. En el curso sólo consideraremos casos donde el rango de la función  según X es lo mismo que lo está en Y. Es decir, no habrá ningún caso con la "C" mostrada en el diagrama.
[Fuente: Wikipedia]

Si una función \(f\) no es inyectiva decimos que \(f\) es una función no inyectiva. De forma más precisa: Una función \(f\) es una función no inyectiva si al menos a un par de elementos distintos del dominio de \(f\) le corresponden el mismo elemento en la imagen (rango) de \(f\). Por esta razón otro nombre para las funciones no inyectivas es "función muchos-a-uno".

Ilustración de una función no inyectiva. Vemos que hay un par de valores diferentes en el dominio que se transforman a un mismo valor en el rango.
[Fuente: Wikipedia]

En este curso consideraremos que si una función \(f\) es inyectiva entonces la función \(f\) sí tendrá una función inversa \(f^{-1}\). Equivalentemente a esto obtenemos el resultado para este curso que una función es inyectiva si pasa la prueba de la línea horizontal que se utiliza para determinar si una función tiene inversa. Es decir, para fines del curso una función inyectiva es una función con una función inversa.

En otros cursos de matemáticas avanzadas no necesariamente se cumplirá el supuesto que una función que es inyectiva tiene función inversa y viceversa, pero para fines del curso hay que considerarlo como cierto.

Como el rango de la función será lo mismo que Y en este curso podemos garantizar que habrá una función inversa que transforme elementos de Y a elementos de X.
[Fuente: Wikipedia]

Ejemplos de funciones inyectivas:

• La función \(f(x)=x\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva. 
• Su inversa es \(f^{-1}(x)=x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x)=8-x\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• Su inversa es \(f^{-1}(x)=8-x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\)
• La función \(f(x)=x^2\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\). 
• La función \(f(x)=x^3\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x)=x^4\) con el domino \(x \in \mathbb{R}^{-}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = -\sqrt[4]{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\). 
• La función \(f(x)=2x+1\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x) = e^{x}\) con el domino \(x \in \mathbb{R}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = \ln x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}^{+}\).
• La función \(f(x) = \log x\) con el domino \(x \in \mathbb{R}^{+}\) es una función inyectiva.
• La función inversa es \(f^{-1}(x) = 10^{x}\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\).
• La función \(f(x)=\textrm{sen}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}\}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. La forma más común de establecerla es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arcsen }x\) con el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1\}\) y el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} \le f^{-1}(x) \le \frac{\pi}{2}\}\). 
• La función \(f(x)=\textrm{cos}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le \pi \}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. La forma más común de establecerla es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arccos }x\) con el dominio \(\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 1 \}\) y el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) \le \pi \}\).
• La función \(f(x)=\textrm{tg}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. La forma más común de establecerla es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) y el rango \(\{f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} < f^{-1}(x) < \frac{\pi}{2}\}\) . 
• La calculadora del curso usa esta definición. Sin embargo utiliza una notación diferente \( f^{-1}(x)=\text{tg}^{-1}\;x\)
• La función \(f(x)=\textrm{tg}(x)\) con el domino \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x < \pi , x \ne \frac{\pi}{2} \}\) es una función inyectiva.
• La función inversa la veremos más a detalle en otra secciones. Otra forma de establecerla, además de la anterior es \(f^{-1}(x)=\textrm{ arctg }x\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) y el rango \(\{ f^{-1}(x) \in \mathbb{R} \mid 0 \le f^{-1}(x) < \pi , f^{-1}(x) \ne \frac{\pi}{2}\}\). 
• Es muy importante notar que puede haber varias definiciones de la función inversa según el dominio y el rango correspondiente.

Ejemplos de funciones no inyectivas:

• La función \(f(x)=1\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(1)=1\) y también \(f(-1)=1\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(1\) o \(-1\) al evaluar el valor de \(1\).
• La función \(f(x)=x^2\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(2)=4\) y también \(f(-2)=4\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(2\) o \(-2\) al evaluar el valor de \(4\).
• La función \(f(x)=x^4\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(1)=1\) y también \(f(-1)=1\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(1\) o \(-1\) al evaluar el valor de \(1\).
• La función \(f(x)=\textrm{sen}(x)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(0)=0\) y también \(f(2\pi)=0\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(0\) o \(2\pi\) al evaluar el valor de \(0\).
• La función \(f(x)=\textrm{cos}(x)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(0)=1\) y también \(f(2\pi)=1\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(0\) o \(2\pi\) al evaluar el valor de \(1\).
• La función \(f(x)=\textrm{tg}(x)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(0)=0\) y también \(f(2\pi)=0\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(0\) o \(2\pi\) al evaluar el valor de \(0\).
• La función \(f(x)=(x-1)(x)(x+1)\) con el dominio \(x \in \mathbb{R}\) no es una función inyectiva.
• Vemos que \(f(1)=0\) y también \(f(-1)=0\). Si quisiéramos definir una función inversa no sabríamos si hacer que la función inversa regrese \(1\) o \(-1\) al evaluar el valor de \(0\).