Funciones pares

Decimos que una función \(f\) es una función par si y sólo si se cumple la ecuación:
\[
f(-x)=f(x)
\]
Lo anterior se debe de cumplir para todo valor \(x\) el dominio de la función sin excepción. Es decir, si \(x\) está en el dominio de \(f\) entonces \(-x\) también tiene que estar en el dominio de \(f\).

Lo que esto nos dice es que una función par es simétrica con respecto al eje-y. Es decir, la gráfica no se altera si se le realiza una reflexión sobre el eje-y.

Ejemplos de funciones pares:

• \(f(x) = x^{2n}\) dónde \(n \in \mathbb{Z}\). Es decir todas las funciones polinómicas que sean únicamente \(x\) elevada a una potencia par, es por esto que se les dió el nombre de "Funciones pares". Más específicamente algunas funciones pares de esta forma son:
• \(f(x)=0\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=1\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^2\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^4\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^6\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-2}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-4}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{-6}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=x^{100}\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x)=\textrm{ cos }x\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad
• \(f(x) = \left | x \right |\) definida en un dominio donde cumpla la propiedad

Demostración que las anteriores son funciones pares:

• Notamos que \(f(x)=0\) y que \(f(-x)=0=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=1\) y que \(f(-x)=1=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^2\) y que \(f(-x)=(-x)^2=(-1)^2(x)^2=x^2=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^4\) y que \(f(-x)=(-x)^4=(-1)^4(x)^4=x^4=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^6\) y que \(f(-x)=(-x)^6=(-1)^6(x)^6=x^6=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{-2}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-2}=(-1)^{-2}(x)^{-2}=x^{-2}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{-4}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-4}=(-1)^{-4}(x)^{-4}=x^{-4}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{-6}\) y que \(f(-x)=(-x)^{-6}=(-1)^{-6}(x)^{-6}=x^{-6}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=x^{100}\) y que \(f(-x)=(-x)^{100}=(-1)^{100}(x)^{100}=x^{100}=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

• Notamos que \(f(x)=\textrm{ cos }(x)\) y que \(f(-x)=\textrm{ cos }(-x)=\text{ cos }(x)=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par. Aquí se utiliza la identidad \(\textrm{ cos }(-\theta) = \textrm{ cos }(\theta)\).

• Notamos que \(f(x)=\left |x \right |\) y que \(f(-x)=\left | -x \right |=\left | x \right |=f(x)\) para todo valor relevante de \(x\) por lo tanto es una función par.

Podemos demostrar teoremas con estas propiedades:

Demuestre que si una función \(f(x)\) es par entonces una función \(g(x)=a f(x)+c\) con \(a \in \mathbb{R}\) y \(c \in \mathbb{R}\) también será una función par.
\[g(-x) = a f(-x) + c\]

Como \(f(-x) = f(x)\) entonces:

\[g(-x) = a f(x) + c = g(x)\]

Por lo tanto g(x) es una función par también (considerando el mismo dominio de \(f\) o un dominio que la permita ser una función par).

Gráficas de ejemplo de funciones pares:

Se muestran en diferentes colores varias funciones pares.
Gráfica hecha con la aplicación "Desmos Graphing Calculator"