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sábado, 14 de diciembre de 2013

Funciones pares

Decimos que una función f es una función par si y sólo si se cumple la ecuación:
f(-x)=f(x)
Lo anterior se debe de cumplir para todo valor x el dominio de la función sin excepción. Es decir, si x está en el dominio de f entonces -x también tiene que estar en el dominio de f.

Lo que esto nos dice es que una función par es simétrica con respecto al eje-y. Es decir, la gráfica no se altera si se le realiza una reflexión sobre el eje-y.

Ejemplos de funciones pares:
  • f(x) = x^{2n} dónde n \in \mathbb{Z}. Es decir todas las funciones polinómicas que sean únicamente x elevada a una potencia par, es por esto que se les dió el nombre de "Funciones pares". Más específicamente algunas funciones pares de esta forma son:
    • f(x)=0 definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=1 definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=x^2 definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=x^4 definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=x^6 definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=x^{-2} definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=x^{-4} definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=x^{-6} definida en un dominio donde cumpla la propiedad
    • f(x)=x^{100} definida en un dominio donde cumpla la propiedad
  • f(x)=\textrm{ cos }x definida en un dominio donde cumpla la propiedad
  • f(x) = \left | x \right | definida en un dominio donde cumpla la propiedad
Demostración que las anteriores son funciones pares:
  • Notamos que f(x)=0 y que f(-x)=0=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=1 y que f(-x)=1=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=x^2 y que f(-x)=(-x)^2=(-1)^2(x)^2=x^2=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=x^4 y que f(-x)=(-x)^4=(-1)^4(x)^4=x^4=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=x^6 y que f(-x)=(-x)^6=(-1)^6(x)^6=x^6=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=x^{-2} y que f(-x)=(-x)^{-2}=(-1)^{-2}(x)^{-2}=x^{-2}=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=x^{-4} y que f(-x)=(-x)^{-4}=(-1)^{-4}(x)^{-4}=x^{-4}=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=x^{-6} y que f(-x)=(-x)^{-6}=(-1)^{-6}(x)^{-6}=x^{-6}=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=x^{100} y que f(-x)=(-x)^{100}=(-1)^{100}(x)^{100}=x^{100}=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
  • Notamos que f(x)=\textrm{ cos }(x) y que f(-x)=\textrm{ cos }(-x)=\text{ cos }(x)=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par. Aquí se utiliza la identidad \textrm{ cos }(-\theta) = \textrm{ cos }(\theta).
  • Notamos que f(x)=\left |x \right | y que f(-x)=\left | -x \right |=\left | x \right |=f(x) para todo valor relevante de x por lo tanto es una función par.
Podemos demostrar teoremas con estas propiedades:
Demuestre que si una función f(x) es par entonces una función g(x)=a f(x)+c con a \in \mathbb{R} y c \in \mathbb{R} también será una función par.
g(-x) = a f(-x) + c
Como f(-x) = f(x) entonces:
g(-x) = a f(x) + c = g(x)

Por lo tanto g(x) es una función par también (considerando el mismo dominio de f o un dominio que la permita ser una función par).

Gráficas de ejemplo de funciones pares:
Se muestran en diferentes colores varias funciones pares.
Gráfica hecha con la aplicación "Desmos Graphing Calculator"

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