Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

En general si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución pueden suceder dos casos:

• Que tenga una única solución
• Si hay una solución se interpreta geométricamente como un punto en un sistema de coordenadas.
• Que tenga una infinidad de soluciones
• Hay un tipo de infinidad de soluciones que se interpreta geométricamente como una línea en un sistema de coordenadas.
• También otro tipo de infinidad de soluciones que se interpreta geométricamente como un plano en un sistema de coordenadas.

Veamos los casos posibles según el número de variables:

1. Sistemas de una variable:

Solución única en sistemas de una variable

Si un sistema de una variable sí tiene una solución entonces la solución es de la forma:

\[x = x_{0}\]

Donde \(x_{0}\) es un número real. Es decir, la solución única es un punto en un sistema de coordenadas unidimensional \((x_{0})\). El sistema de coordenadas unidimensional en este caso la recta numérica.

Un sistema de una variable no puede tener una infinidad de soluciones.

2. Sistemas de dos variables:

Solución única en sistemas de dos variables

Si un sistema de dos variables sí tiene solución entonces puede tener una solución única o una infinidad de soluciones.

Si tiene una solución única la solución es de la forma:

\[\begin{align*}
x &= x_{0} \\
y &= y_{0}
\end{align*}\]

Donde \(x_{0}\) y \(y_{0}\) son números reales. Es decir, la solución única la podemos ver como un punto en un sistema de coordenadas bidimensional como \((x_{0},y_{0})\). El sistema de coordenadas bidimensional en este caso es el plano cartesiano.

Infinidad de soluciones en sistemas de dos variables
Si tiene una infinidad de soluciones esto significa que:

• \(x\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{1}\) y al hacerlo obliga a que \(y\) tome un valor en función de \(\lambda_{1}\).
• \(y\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{2}\) y al hacerlo obliga a que \(x\) tome un valor en función de \(\lambda_{2}\).

Los valores de \(\lambda\) los llamamos parámetros de la expresión ya que construyen expresiones de la totalidad de los valores que se les pueden asignar.

La solución es una expresión de la forma:

\[
\begin{align*}
x &= \lambda_{1}\\
y &= f(\lambda_{1})
&\textrm{Donde }\lambda_{1} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\] En lo anterior \(f(\lambda_{1})\) es una función linear de \(\lambda_{1}\). O alternativamente la solución es una expresión de la forma:
\[
\begin{align*}
x &= g(\lambda_{2})\\
y &= \lambda_{2}
&\textrm{Donde }\lambda_{2} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\] En la anterior \(g(\lambda_{2})\) es una función linear de \(\lambda_{2}\).

El resultado de evaluar todos los valores de \(\lambda\) generará una infinidad de puntos definidos por la relación dentro del plano cartesiano (espacio bidimensional). La infinidad de puntos que cumplen la relación generará una línea en el plano cartesiano.

3. Sistemas de tres variables:

Solución única en sistemas de tres variables 

Si un sistema de tres variables sí tiene solución entonces puede tener una solución única o una infinidad de soluciones.

Si tiene una solución única la solución es de la forma:

\[\begin{align*}
x &= x_{0} \\
y &= y_{0} \\
z &= z_{0}
\end{align*}\]

Donde \(x_{0}\), \(y_{0}\) y \(z_{0}\) son números reales. Es decir, la solución única la podemos ver como un punto en un sistema de coordenadas tridimensional como \((x_{0},y_{0},z_{0})\).

Infinidad de soluciones en sistemas de tres variables
Tenemos 2 casos principales:

a) Infinidad de soluciones en sistemas de tres variables con un único parámetro (\(\lambda\))
Si nos encontramos en este caso significa que ocurre lo siguiente:

• \(x\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{1}\) y al hacerlo obliga a que \(y\) y \(z\) tomen un valor en función de \(\lambda_{1}\).
• \(y\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{2}\) y al hacerlo obliga a que \(x\) y \(z\) tomen un valor en función de \(\lambda_{2}\).
• \(z\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{3}\) y al hacerlo obliga a que \(x\) y \(y\) tomen un valor en función de \(\lambda_{3}\).

En este caso hay un único parámetro \(\lambda\).

La solución es una expresión de la forma:
\[
\begin{align*}
x &= \lambda_{1}\\
y &= f_{1}(\lambda_{1})\\
z &= f_{2}(\lambda_{1})
&\textrm{Donde }\lambda_{1} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
En lo anterior \(f_{1}(\lambda_{1})\) y \(f_{2}(\lambda_{1})\) son funciones lineares de \(\lambda_{1}\). O alternativamente la solución es una expresión de la forma:
\[
\begin{align*}
x &= g_{1}(\lambda_{2})\\
y &= \lambda_{2}\\
z &= g_{2}(\lambda_{2})
&\textrm{Donde }\lambda_{2} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
En lo anterior \(g_{1}(\lambda_{2})\) y \(g_{2}(\lambda_{2})\) son funciones lineares de \(\lambda_{2}\). O alternativamente la solución es una expresión de la forma:
\[
\begin{align*}
x &= h_{1}(\lambda_{3})\\
y &= h_{2}(\lambda_{3})\\
z &= \lambda_{3}
&\textrm{Donde }\lambda_{3} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
En lo anterior \(h_{1}(\lambda_{3})\) y \(h_{2}(\lambda_{3})\) son funciones lineares de \(\lambda_{3}\).

El resultado de evaluar todos los valores de \(\lambda\) generará una infinidad de puntos definidos por la relación en el espacio tridimensional. La infinidad de puntos que cumplen la relación generará una línea en en el espacio tridimensional.

b) Infinidad de soluciones en sistemas de tres variables con dos parámetros (\(\lambda\) y \(\mu\))
Si nos encontramos en este caso significa que ocurre lo siguiente:

• \(x\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{1}\). También \(y\) puede tomar cualquier valor real \(\mu_{1}\). Al hacerlo obligan a que \(z\) tomen un valor en función de \(\lambda_{1}\) y \(\mu_{1}\).
• \(x\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{2}\). También \(z\) puede tomar cualquier valor real \(\mu_{2}\). Al hacerlo obligan a que \(y\) tomen un valor en función de \(\lambda_{2}\) y \(\mu_{2}\).
• \(y\) puede tomar cualquier valor real \(\lambda_{3}\). También \(z\) puede tomar cualquier valor real \(\mu_{3}\). Al hacerlo obligan a que \(x\) tomen un valor en función de \(\lambda_{3}\) y \(\mu_{3}\).

En este caso hay dos parámetros: \(\lambda\) y \(\mu\).

La solución es una expresión de la forma:
\[
\begin{align*}
x &= \lambda_{1}\\
y &= \mu_{1}\\
z &= f(\lambda_{1},\mu_{1})\\
\\
&\textrm{Donde }\lambda_{1} \in \mathbb{R}
& \mu_{1} \in \mathbb{R}\end{align*}
\]
En lo anterior \(f(\lambda_{1},\mu_{1})\) es una función de la forma \(a_{1}+b_{1}\lambda_{1}+c_{1}\mu_{1}\) donde \(a_{1}\), \(b_{1}\) y \(c_{1}\) son constantes. O alternativamente la solución es una expresión de la forma:\[
\begin{align*}
x &= \lambda_{2}\\
y &= g(\lambda_{2},\mu_{2})\\
z &= \mu_{2}\\
\\
&\textrm{Donde }\lambda_{2} \in \mathbb{R}
& \mu_{2} \in \mathbb{R}\end{align*}
\]
En lo anterior \(g(\lambda_{2},\mu_{2})\) es una función de la forma \(a_{2}+b_{2}\lambda_{2}+c_{2}\mu_{2}\) donde \(a_{2}\), \(b_{2}\) y \(c_{2}\) son constantes. O alternativamente la solución es una expresión de la forma:\[
\begin{align*}
x &= h(\lambda_{3},\mu_{3})\\
y &= \lambda_{3}\\
z &= \mu_{3}\\
\\
&\textrm{Donde }\lambda_{3} \in \mathbb{R}
& \mu_{3} \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
En lo anterior \(h(\lambda_{3},\mu_{3})\) es una función de la forma \(a_{3}+b_{3}\lambda_{3}+c_{3}\mu_{3}\) donde \(a_{3}\), \(b_{3}\) y \(c_{3}\) son constantes.

El resultado de evaluar todos los valores de \(\lambda\) y \(\mu\) generará una infinidad de puntos definidos por la relación en el espacio tridimensional. La infinidad de puntos que cumplen la relación generará un plano en en el espacio tridimensional.

Ejemplos de soluciones:
Ejemplos de soluciones únicas de sistemas de una variable:

1. \[x = 0\]
2. \[x = \frac{1}{2}\]
3. \[x = -7\]

Ejemplos de solución única de sistemas de dos variables:

1. \[\begin{align*}
   x &= 0 \\
   y &= 0
   \end{align*}\]
2. \[\begin{align*}
   x &= -7 \\
   y &= 3
   \end{align*}\]
3. \[\begin{align*}
   x &= -\frac{3}{8} \\
   y &= 5
   \end{align*}\]

Ejemplos de infinitas soluciones de sistemas de dos variables (un parámetro):

1. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda\\
   y &= \frac{3}{7}-\frac{1}{7}\lambda
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
2. \[
   \begin{align*}
   x &= -5+2\lambda\\
   y &= \lambda
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
3. Una solución puede ser todos los puntos en un sistema de coordenadas dimensional que cumplan la ecuación \(x+y=1\), ya que esta ecuación define una línea. Podemos escribir todo este conjunto de puntos de la forma: \[\begin{align*}x &= 1-\lambda\\y &= \lambda &\textrm{Donde}\lambda \in \mathbb{R}\end{align*}\]
4. \[
   \begin{align*}
   x &= 0\\
   y &= \lambda
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
5. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda\\
   y &= 3
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]

Ejemplos de solución única de sistemas de tres variables:

1. \[\begin{align*}
   x &= 7 \\
   y &= 7 \\
   z &= 7
   \end{align*}\]
2. \[\begin{align*}
   x &= 0 \\
   y &= -1 \\
   z &= 0
   \end{align*}\]
3. \[\begin{align*}
   x &= 2 \\
   y &= -3 \\
   z &= 1
   \end{align*}\]

Ejemplos de infinitas soluciones de sistemas de tres variables (un parámetro):

1. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda\\
   y &= -2\lambda\\
   z &= 3\lambda
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
2. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda+7\\
   y &= \lambda\\
   z &= 2\lambda-3
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
3. \[
   \begin{align*}
   x &= 4\lambda-1\\
   y &= -\lambda+2\\
   z &= \lambda
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
4. \[
   \begin{align*}
   x &= 0\\
   y &= \lambda\\
   z &= 1
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
5. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda\\
   y &= \lambda\\
   z &= \lambda
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
6. \[
   \begin{align*}
   x &= -1\\
   y &= -2\lambda\\
   z &= \lambda
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]

Ejemplos de infinitas soluciones de sistemas de tres variables (dos parámetros):

1. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda\\
   y &= \mu\\
   z &= 3\lambda\\
   \\
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   & \mu \in \mathbb{R}\end{align*}
   \]
2. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda\\
   y &= -\mu+1\\
   z &= \mu\\
   \\
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   & \mu \in \mathbb{R}\end{align*}
   \]
3. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda+\mu-7\\
   y &= \lambda\\
   z &= \mu\\
   \\
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   & \mu \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
4. \[
   \begin{align*}
   x &= \lambda\\
   y &= \mu\\
   z &= -7\\
   \\
   &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
   & \mu \in \mathbb{R}
   \end{align*}
   \]
5. Una solución pueden ser todos los puntos en un espacio tridimensional que cumplan la ecuación \(x+y+z=1\), ya que esta expresión define un plano. Podemos escribir todo este conjunto de puntos de la forma: \[\begin{align*}x &= 1-\lambda-\mu \\ y &= \lambda \\ z&= \mu\\ \\ &\textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R} & \mu \in \mathbb{R}\end{align*}\]