- \(p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{5}, p_{6}, \cdots\), donde cada \(p_{n}\) donde \(n \in \mathbb{N}\) son proposiciones. Algunas pueden ser falsas y otras verdaderas, pero desconocemos cuales en específico. De hecho puede ser que todas sean falsas o todas sean verdaderas.
- \(q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5}, q_{6}, q_{7}, \cdots\), donde cada \(q_{x}\) donde \(x \in \mathbb{Z}^{+}\) son proposiciones. Es similar al caso anterior pero empezamos a indexar desde el uno en vez del cero.
- \(r_{5}, r_{6}, r_{7}, r_{8}, r_{9}, r_{10}, r_{11}, \cdots\), donde cada \(r_{k}\) donde \(\left \{ k \in \mathbb{N} | k \ge 5\right \} \) son proposiciones. También es similar al caso anterior pero iniciamos en el índice 5.
- \(s_{-1}, s_{-2}, s_{-3}, s_{-4}, s_{-5}, s_{-6}, s_{-7}, \cdots\), donde cada \(s_{x}\) donde \(x \in \mathbb{Z}^{-}\) son proposiciones. Similar a los casos anteriores, pero ahora indexamos utilizando los números enteros negativos, pero puede ser equivalentemente indexada utilizando números enteros positivos.
- Las siguientes expresiones: \[\begin{align*} 1+1 &= 2\\ 1+1+1 &= 3\\ \vdots\\ 1+1+\cdots +1 &=n \\ \vdots\end{align*}\] donde cada expresión matemática en cada línea es una proposición diferente. Puede que todas las proposiciones en la secuencia infinita sean verdaderas. En este caso no hay índices explícitos, pero podemos asignarlos.
- Las siguientes expresiones: \[\begin{align*} 1+1 &= 1\\ 1+1+1 &= 1\\ \vdots\\ 1+1+\cdots +1 &=1 \\ \vdots\end{align*}\] donde cada expresión matemática es una proposición. Puede que todas las proposiciones en la secuencia infinita sean falsas.
- "10 es divisible entre 2", "20 es divisible entre 2", "30 es divisible entre 2" , etc. Podemos expresar toda la secuencia definiendo a "\(p_{k}\)" como la proposición "\(k*10\) es divisible entre 2". A partir de esto tenemos entonces la secuencia infinita de proposiciones \(p_{1}, p_{2}, p_{3}, \cdots\)
Para facilidad de entendimiento podemos representar una secuencia infinita de proposiciones como una lista de letras que pueden ser V o F, o podemos desconocer su valor (?). De esta forma podemos representar las secuencias infinitas de proposiciones.
- VVVVVVVVVV.... repitiendose la V sin fin.
- FVFVFVFVFV.... repitiendose el patrón V y F sin fin.
- FFFFFFFFFF.... repitiendose la F sin fin.
- FFFFFFFVVV... repitiendose la V sin fin.
- VVVVVFFFFF.... repitiendose F sin fin
- VVV???????.... desonocemos si los siguientes son V o F.
- FFF???????... desconocemos si los siguientes son V o F.
Uno puede intuitivamente inferir que intentar determinar el estado de cada una de las infinitas proposiciones desconocidas (con símbolo '?') de una secuencia infinita de proposiciones requiere una cantidad infinita de demostraciones. Hacer una infinidad de demostraciones no parece ser posible intuitivamente ya que si consideramos que nos tarda 1 minuto demostrar cada una, requerimos una infinidad de tiempo para demostrar todas. Sin embargo, hay situaciones donde no es así, en cierto sentido estricto.
Sí es posible demostrar una infinidad de proposiciones en una cantidad finita de pasos para algunas secuencias de proposiciones (no todas). Es decir, hay ciertas secuencias infinitas de proposiciones que cuentan con la propiedad de que al demostrar una cantidad finita de hechos se termina demostrando indirectamente el estado de una infinidad de proposiciones. O mejor dicho, con sólo demostrar una cantidad finita de hechos terminamos creando las herramientas necesarias que en teoría podríamos utilizar para extender sin fin nuestra demostración. La existencia de las herramientas es lo único que se necesita demostrar cualquier proposición en una posición finita en un tiempo finito (pero tal vez muy grande). Si alguien lo duda puede utilizar las herramientas para determinar la verdad de cualquier proposición \(p_{j}\) para algún \(j\) finito, entonces la creación de las herramientas constituyen la demostración de todas las proposiciones. Éste es el principio de las demostraciones por inducción matemática.
En su forma usual las demostraciones por inducción matemática logran demostrar que una secuencia infinita de proposiciones esta compuesta de proposiciones verdaderas sin fin. Y lo hacen demostrando sólo dos hechos: el caso base y el paso inductivo.
El caso base es una demostración de primer orden, es decir, determinamos si una proposición \(p\) con estado desconocido ('?') es 'V' o 'F'. En cambio el paso inductivo es un poco más difícil de comprender, ya que constituye una demostración de segundo orden, es decir, determinamos si una proposición \(q\) con estado desconocido ('?') es 'V' o 'F', pero esta proposición \(q\) al mismo tiempo determina la relación del estado de dos preposiciones \(p_{1}\) y \(p_{2}\) de primer orden.
Esto es más fácil de comprender con un ejemplo, consideremos la secuencia infinita de proposiciones:
- ??????????...
El caso base consiste en tomarnos nuestro tiempo para demostrar la proposición con el índice inicial, suponemos que esta proposición tiene valor 'V'. Entonces ahora sabemos:
- V?????????..
- VV????????...
Luego podemos aplicar la proposición del paso inductivo otra vez:
- VVV???????...
De hecho podemos aplicar el paso inductivo una y otra vez:
- VVVV??????...
- VVVVV?????...
- VVVVVV????...
- VVVVVVV???...
- VVVVVVVV??...
- VVVVVVVVV?...
- VVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
- VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
Y podemos realizar esto indefinidamente para cualquier índice finito, como podemos extenderlo sin fin, la demostración de estos dos hechos: el caso base y el paso inductivo es suficiente para decir que toda la secuencia infinita de proposiciones es 'V'.
