Proposiciones matemáticas

Recordemos lo que es una variable. Una variable es un objeto matemático que puede tomar un valor dentro de un conjunto posible de valores. Cuando fuimos introducidos al álgebra estos valores eran comúnmente $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ o un subconjunto de éstos. De la misma forma podemos definir operaciones entre variables y estudiar las propiedades que surgen de estas operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potencias, igualdad, etc. Ahora trabajaremos con otro tipo de variable que sólo puede tomar 2 valores posibles y estos no son valores numéricos (a menos que los relacionamos directamente con un valor numérico como 0 y 1), a pesar de esto también definiremos "operaciones" que podemos hacer relacionadas con estos valores.

Sea $p$ una variable que sólo puede tomar dos valores posibles: "verdadero" o "falso". Denotado por "V" y "F" para ahorrar espacio. Decimos que $p$ es un objeto matemático llamado proposición.

Considere las siguientes situaciones:

• $p$ es V y también $p$ es F. 
• Entonces $p$ no es una proposición matemática ya que es "V" y "F" al mismo tiempo.
• $p$ no es V y también $p$ no es F. 
• Entonces $p$ no es una proposición matemática ya que no es "V" ni "F".
• $p$ no es V y $p$ es F. 
• Entonces $p$ sí es una  proposición matemática y vale "F".
• $p$ es V y $p$ no es F. 
• Entonces $p$ sí es una  proposición matemática y vale "V".

Las proposiciones pueden ser estudiadas como objetos matemáticos en si mismos o como valores desconocidos los cuales intentamos encontrar su valor. Podemos tener varias proposiciones con diferentes estados "V" o "F", podemos establecer operaciones entre ellas y encontrar propiedades entre ellas. Las operaciones y propiedades pueden ser consideradas también como proposiciones que intentamos definir y demostrar. Incluso podemos construir proposiciones cuyo valor depende de otras proposiciones. El estudio de la lógica matemática formal no es parte del programa de matemáticas nivel superior pero es útil para entender el tema de demostraciones por inducción matemática que sí es parte del programa.

En términos informales, una proposición matemática es una "variable matemática" (comúnmente denotada por una letra), "expresión matemática" o "frase matemática" que puede ser verdadera o falsa según criterios matemáticos, pero que no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo en términos matemáticos consistentes. De la misma forma, una proposición matemática tampoco puede ser una expresión o frase que no se le pueda asignar el estado de verdadero ni falso en términos matemáticos consistentes.

Estos son algunos ejemplos de proposiciones encerradas entre comillas (" "):

• "$p$", siempre que sólo pueda valer V o F.
• "$q$", siempre que sólo pueda valer V o F.
• "$r$", siempre que sólo pueda valer V o F.
• "$p$ es V o $p$ es F"
• Si $p$ es una proposición entonces esta proposición es siempre verdadera. A estas proposiciones que son siempre verdaderas les llamamos tautologías.
• "$p$ es V y al mismo tiempo $p$ es F"
• Si $p$ es una proposición entonces esta proposición es siempre falsa. A estas proposiciones que son siempre falsas las llamamos contradicciones. Es deseable que un sistema matemático consistente no tenga contradicciones.
• "$p$ es V"
• Esta proposición será V cuando $p$ sea V y será F cuando $p$ sea F. Otra forma de decir esto es que "$p$ es V" si y sólo si $p$ es V. Es decir, toman los mismos estados siempre, son equivalentes una a otra, si sabes el estado de una sabes el estado de la otra.
• "$r$ es F"
• Esta proposición será V cuando $r$ sea F y será V cuando $r$ sea F. A estas proposiciones que toman valores contrarios les decimos negaciones. Es decir, $r$ es la negación de $p$.
• "Si $p$ es V entonces $q$ es V también".
• Esta proposición será importante en nuestro curso de matemáticas ya que si es V y sabemos que $p$ también es V entonces sabemos automáticamente que $q$ es V. Sin embargo, si sabemos que esta proposición es V y sabemos que $p$ es F entonces esto no nos dice nada sobre el valor de $q$, es decir, $q$ puede ser V o F sin contradicción.
• "Si $q$ es F entonces $p$ es F también".
• "Siempre que $p$ es V tenemos que $q$ es V y además: Siempre que $p$ es F tenemos que $q$ es F."
• "$p$ tienen el mismo estado siempre $q$"
• "$p$ es V si y sólo si $q$ es V"
• "$p$ es F si y sólo si $q$ es F"
• "Si $p$ es V entonces $q$ es F."
• "Si $q$ es F entonces $p$ es V."
• "$p$ y $q$ son ambos V".
• "Considerando $p$ y $q$, al menos uno de estos dos es V".
• "$1+2=3$".
• "$1+2+3=6$".
• "$1+2+3+4=10$".
• "$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$".
• "$1+1=3$".
• "$1+1=0$". 
• Bajo las definiciones usuales de los símbolos '1', '0', '+' y '='´ es falso. Sin embargo considerando los enteros módulo 2 la expresión es verdadera. Es por esto que es importante definir el significado de los símbolos para que haya criterios matemáticos definidos para determinar la verdad o falsedad de una proposición.
• "Los números primos no tienen fin considerando todos los números naturales".
• "Los números pares son finitos considerando todos los números naturales"
• "120 es divisible entre 2".
• "3 es divisible entre 2".
• "7 es múltiplo de 2".
• "1000 es múltiplo de 10".

En específico sólo serán cuestión de nuestro estudio proposiciones matemáticas referentes a hechos matemáticos que ya existe una demostración (aunque tal vez más allá del nivel del alumno) o que les piden a los alumnos demostrar (demostraciones realizables con los conocimientos del alumno y habilidades del alumno).

Como abstraeremos el concepto de 'proposición' a términos matemáticos rigurosos, no enfocaremos directamente en determinar si son verdaderas o falsas las proposiciones que no son sobre hechos matemáticos como por ejemplo: "El cielo es azul", "El universo es infinito", etc. Sin embargo, sí nos enfocaremos en la abstracción matemática de estos conceptos.

Ejemplos de frases que no son proposiciones matemáticas por ser paradojas donde no se les puede asignar un valor de verdadero o falso:

• "El conjunto que contiene todos los 'conjuntos que se contienen a si mismo' se contiene a si mismo". 
• "Esta fase es falsa."