En los números complejos se cumple la propiedad algebraica de que un número elevado a la cero potencia es igual a 1, siempre que el número no elevado no sea cero.
\[ \textrm{Si }z\in\mathbb{C}\textrm{ y }z\ne0\textrm{ entonces }z^0 = 1\]
Ejemplos:
\(i^0=1\)
\(25^0=1\)
\((25i)^0=1\)
\((-25)^0=1\)
\((-25i)^0=1\)
\((1+i)^0=1\)
\((-\pi-\sqrt{2}i)^0=1\)
miércoles, 31 de julio de 2013
martes, 30 de julio de 2013
División de números complejos
El resultado de dividir un número complejo entre otro número complejo siempre será un número complejo. El procedimiento para expresar el cociente de dos números complejos como un único número complejo involucra quitar \(i\) del denominador de la expresión. El procedimiento se describe a continuación.
Recordemos que cualquier número complejo multiplicado por uno (1) se mantiene igual. Combinando esta propiedad del uno con la idea del complejo conjugado podemos convertir fracciones complejas a una forma donde ya no tengan números imaginarios en el denominador. Esto involucra multiplicar el denominador por su conjugado, para hacer esto se tiene que multiplicar el numerador también. El procedimiento sería el siguiente:
Si se tiene dos números complejos \(z_{1}=a+bi\) y \(z_{2}=c+di\) entonces podemos simplificar su división de la siguiente forma:
\[
\begin{align*}
\frac{z_{1}}{z_{2}} &= \frac{z_{1}}{z_{2}}(1)\\
&= \frac{z_{1}}{z_{2}}\left (\frac{\overline{z}_{2}}{\overline{z}_{2}}\right )\\
&= \frac{a+bi}{c+di}\left (\frac{c-di}{c-di}\right )\\
&= \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\\
&= \frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2+d^2}\\
&= \frac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2}\\
&= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\\
&= \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i
\end{align*}
\]
Algunos ejemplos de divisiones:
\[\frac{4+3i}{1}=4+3i\]
\[\frac{4+3i}{-1}=-4-3i\]
\[\frac{4+3i}{7}=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}i\]
\[\frac{4+3i}{7i}=\frac{3}{7}-\frac{4}{7}i\]
\[\frac{1}{i}=-i\]
\[\frac{3}{i}=-3i\]
\[\frac{1}{-i}=i\]
\[\frac{1}{2i}=-\frac{1}{2}i\]
\[\frac{1+i}{i}=1-i\]
\[\frac{1+i}{1-i}=i\]
\[\frac{1-i}{1+i}=-i\]
\[\frac{2+7i}{3-5i}=-\frac{29}{34}+\frac{31}{34}i\]
\[\frac{4+3i}{4-3i}=\frac{7}{25}+\frac{24}{25}i\]
\[\frac{4-3i}{4+3i}=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i\]
\[\frac{0}{4+3i}=0\]
Recordemos que cualquier número complejo multiplicado por uno (1) se mantiene igual. Combinando esta propiedad del uno con la idea del complejo conjugado podemos convertir fracciones complejas a una forma donde ya no tengan números imaginarios en el denominador. Esto involucra multiplicar el denominador por su conjugado, para hacer esto se tiene que multiplicar el numerador también. El procedimiento sería el siguiente:
Si se tiene dos números complejos \(z_{1}=a+bi\) y \(z_{2}=c+di\) entonces podemos simplificar su división de la siguiente forma:
\[
\begin{align*}
\frac{z_{1}}{z_{2}} &= \frac{z_{1}}{z_{2}}(1)\\
&= \frac{z_{1}}{z_{2}}\left (\frac{\overline{z}_{2}}{\overline{z}_{2}}\right )\\
&= \frac{a+bi}{c+di}\left (\frac{c-di}{c-di}\right )\\
&= \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\\
&= \frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2+d^2}\\
&= \frac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2}\\
&= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\\
&= \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i
\end{align*}
\]
Algunos ejemplos de divisiones:
\[\frac{4+3i}{1}=4+3i\]
\[\frac{4+3i}{-1}=-4-3i\]
\[\frac{4+3i}{7}=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}i\]
\[\frac{4+3i}{7i}=\frac{3}{7}-\frac{4}{7}i\]
\[\frac{1}{i}=-i\]
\[\frac{3}{i}=-3i\]
\[\frac{1}{-i}=i\]
\[\frac{1}{2i}=-\frac{1}{2}i\]
\[\frac{1+i}{i}=1-i\]
\[\frac{1+i}{1-i}=i\]
\[\frac{1-i}{1+i}=-i\]
\[\frac{2+7i}{3-5i}=-\frac{29}{34}+\frac{31}{34}i\]
\[\frac{4+3i}{4-3i}=\frac{7}{25}+\frac{24}{25}i\]
\[\frac{4-3i}{4+3i}=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i\]
\[\frac{0}{4+3i}=0\]
División de un número complejo entre si mismo
El resultado de dividir dos números complejos es un número complejo. Las propiedades algebraicas vistas en cursos anteriores se mantienen con la división. La división entre cero no es permitida. Si dividimos la misma cantidad entre si misma obtenemos siempre uno, siempre y cuándo la cantidad no sea cero:
\[\textrm{Si }z\in\mathbb{C}\textrm{ y }z\ne0\textrm{ entonces }\frac{z}{z}=1\]
Ejemplos:
\[\frac{123}{123}=1\]
\[\frac{-123}{-123}=1\]
\[\frac{i}{i}=1\]
\[\frac{5i}{5i}=1\]
\[\frac{-5i}{-5i}=1\]
\[\frac{2+7i}{2+7i}=1\]
\[\frac{2-7i}{2-7i}=1\]
\[\frac{-2-7i}{-2-7i}=1\]
\[\frac{-2+7i}{-2+7i}=1\]
\[\frac{\sqrt{5}-\pi i}{\sqrt{5}-\pi i}=1\]
\[\textrm{Si }z\in\mathbb{C}\textrm{ y }z\ne0\textrm{ entonces }\frac{z}{z}=1\]
Ejemplos:
\[\frac{123}{123}=1\]
\[\frac{-123}{-123}=1\]
\[\frac{i}{i}=1\]
\[\frac{5i}{5i}=1\]
\[\frac{-5i}{-5i}=1\]
\[\frac{2+7i}{2+7i}=1\]
\[\frac{2-7i}{2-7i}=1\]
\[\frac{-2-7i}{-2-7i}=1\]
\[\frac{-2+7i}{-2+7i}=1\]
\[\frac{\sqrt{5}-\pi i}{\sqrt{5}-\pi i}=1\]
El conjugado de un número complejo
El "conjugado complejo" o "conjugado" de un número complejo \( z\in\mathbb{C} \) es un número \( \overline{z}\in\mathbb{C}\) tal que tiene la misma parte real de \(z\) y la misma magnitud de la parte imaginaria de \(z\). La diferencia es que la parte imaginaria de \(\overline{z}\) tiene el signo opuesto de la parte imaginaria de \(z\). La notación es la siguiente:
\[\textrm{Si }z=a+bi\textrm{ entonces el conjugado complejo es }\overline{z}=a-bi\]
El resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado:
\[\begin{align*}
z\overline{z} &= (a+bi)(a-bi)\\
&= aa-abi+abi-bbii\\
&= a^2 - b^2i^2\\
&= a^2 - b^2(-1)\\
&= a^2 + b^2
\end{align*}\]
Estos son algunos ejemplos de números complejos y sus conjugados:
El conjugado de \(1+i\) es \(1-i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).
El conjugado de \(1+i\) es \(1-i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).
El conjugado de \(1-i\) es \(1+i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).
El conjugado de \(-1+i\) es \(-1-i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).
El conjugado de \(-1-i\) es \(-1+i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).
El conjugado de \(5\) es \(5\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).
El conjugado de \(-5\) es \(-5\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).
El conjugado de \(5i\) es \(-5i\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).
El conjugado de \(-5i\) es \(5i\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).
El conjugado de \(0\) es \(0\). Al multiplicarlos obtenemos \(0\).
El conjugado de \(\pi-\sqrt{3}i\) es \(\pi+\sqrt{3}i\). Al multiplicarlos obtenemos \(\pi^{2}+3\).
lunes, 29 de julio de 2013
Multiplicación de números complejos
Las propiedades algebraicas de la multiplicación que se vieron en el curso de álgebra también se cumplen con los números complejos como por ejemplo la propiedad conmutativa, la propiedad distributiva sobre la suma y la propiedad asociativa. Consideremos la propiedad:
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \] Aplicando la propiedad anterior y recordando que \( i^2 = -1 \) podemos resolver multiplicaciones de números complejos. El resultado de multiplicar dos números complejos siempre será un número complejo:
\[ \begin{align*} (1 + 2i)(3 + 5i) &= (1)(3) + (1)(5i) + (2i)(3) + (2i)(5i)\\ &= 3 + 5i + 6i + 10i^2\\ &= 3 + 5i + 6i + 10(-1)\\ &= 3 + 5i + 6i - 10\\ &= -7 + 11i \end{align*} \] Estos son otros ejemplos:
\((5)(3)=15\)
\((1)(3-2i)=3-2i\)
\((3-2i)(1)=3-2i\)
\((-1)(3-2i)=-3+2i\)
\((3-2i)(-1)=-3+2i\)
\((5i)(3i)=-15\)
\((3i)(5i)=-15\)
\((1+i)[(2-i)(3-2i)]=(1+i)[4-7i]=11-3i\)
\([(1+i)(2-i)](3-2i)=[3+i](3-2i)=11-3i\)
\(ii=i^2=-1\)
\(iii=i(ii)=i(i^2)=i(-1)=-i\)
\(iii=(ii)i=(i^2)i=(-1)i=-i\)
\(iiii=(ii)(ii)=(i^2)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=i(ii)i=i(i^2)i=i(-1)i=(-1)ii=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=i(iii)=i(i^3)=i(-i)=i(-1)i=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=(iii)i=(i^3)(i)=(-i)(i)=(-1)ii=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\( (10i)(10i)=-100\)
\( (1+i)(1+i)=2i\)
\( (-1-i)(1+i)=-2i\)
\( (1+i)(-1-i)=-2i\)
\( (1+i)(1-i)=2\)
\( (1+i)(-i+1)=2\)
\( (i+1)(1-i)=2\)
\( (i+1)(-i+1)=2\)
\( (4+5i)(4-5i)=41\)
\( (-4+5i)(-4-5i)=41\)
\( (-4-5i)(4-5i)=-41\)
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \] Aplicando la propiedad anterior y recordando que \( i^2 = -1 \) podemos resolver multiplicaciones de números complejos. El resultado de multiplicar dos números complejos siempre será un número complejo:
\[ \begin{align*} (1 + 2i)(3 + 5i) &= (1)(3) + (1)(5i) + (2i)(3) + (2i)(5i)\\ &= 3 + 5i + 6i + 10i^2\\ &= 3 + 5i + 6i + 10(-1)\\ &= 3 + 5i + 6i - 10\\ &= -7 + 11i \end{align*} \] Estos son otros ejemplos:
\((5)(3)=15\)
\((1)(3-2i)=3-2i\)
\((3-2i)(1)=3-2i\)
\((-1)(3-2i)=-3+2i\)
\((3-2i)(-1)=-3+2i\)
\((5i)(3i)=-15\)
\((3i)(5i)=-15\)
\((1+i)[(2-i)(3-2i)]=(1+i)[4-7i]=11-3i\)
\([(1+i)(2-i)](3-2i)=[3+i](3-2i)=11-3i\)
\(ii=i^2=-1\)
\(iii=i(ii)=i(i^2)=i(-1)=-i\)
\(iii=(ii)i=(i^2)i=(-1)i=-i\)
\(iiii=(ii)(ii)=(i^2)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=i(ii)i=i(i^2)i=i(-1)i=(-1)ii=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=i(iii)=i(i^3)=i(-i)=i(-1)i=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=(iii)i=(i^3)(i)=(-i)(i)=(-1)ii=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\( (10i)(10i)=-100\)
\( (1+i)(1+i)=2i\)
\( (-1-i)(1+i)=-2i\)
\( (1+i)(-1-i)=-2i\)
\( (1+i)(1-i)=2\)
\( (1+i)(-i+1)=2\)
\( (i+1)(1-i)=2\)
\( (i+1)(-i+1)=2\)
\( (4+5i)(4-5i)=41\)
\( (-4+5i)(-4-5i)=41\)
\( (-4-5i)(4-5i)=-41\)
Restas de números complejos
Podemos interpretar la resta de números complejos como la suma de números con signo opuesto. Al igual que con la suma, \( i \) se agrupa con otros números puramente imaginarios. La resta de números complejos resulta en un número complejo. Las propiedades algebraicas de la resta se mantienen. Veamos algunos ejemplos:
\( 2-3=-1\)
\( -2+3=1 \)
\( 2i-3i=-i\)
\( -2i+3i=i \)
\( 1-2i+2=3-2i \)
\( 1-2i-2i=1-4i \)
\( -2+3i+4-3i = 2 \)
\( (2+3i)-(4+3i)=-2\)
\( (2+7i)-0=(2+7i)\)
\( 0-(2+7i)=(-2-7i)\)
\( (2+7i)-(0+0i)=(2+7i)\)
\(3-3=0\)
\(6i-6i=0\)
\((2+7i)-(2+7i)=0\)
\( 2-3=-1\)
\( -2+3=1 \)
\( 2i-3i=-i\)
\( -2i+3i=i \)
\( 1-2i+2=3-2i \)
\( 1-2i-2i=1-4i \)
\( -2+3i+4-3i = 2 \)
\( (2+3i)-(4+3i)=-2\)
\( (2+7i)-0=(2+7i)\)
\( 0-(2+7i)=(-2-7i)\)
\( (2+7i)-(0+0i)=(2+7i)\)
\(3-3=0\)
\(6i-6i=0\)
\((2+7i)-(2+7i)=0\)
Sumas de números complejos
La forma de realizar operaciones con números complejos no es radicalmente diferente a la forma de trabajar con los números reales.
Los resultados se comportan como si \( i \) fuera una variable desconocida \( x \) que agrupamos con su mismo tipo: números puramente imaginarios.
El resultado de sumar dos números complejos resulta en un número complejo.
Las propiedades algebraicas de la suma sí se cumplen con los complejos, como por ejemplo la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa.
Veamos algunos ejemplos:
\( 2+3=5\)
\( 3+2=5\)
\( 2i+3i=5i\)
\( 3i+2i=5i\)
\( (1+i)+(3+2i)=4+3i\)
\( (1+2i)+(i+3)=4+3i\)
\( (1+3)+(i+2i)=4+3i\)
\( (2i+1)+(i+3)=4+3i\)
\( 1+2i+2=3+2i \)
\( 1+2i+2i=1+4i \)
\( 2+3i+4+3i =6+6i \)
\( (2+3i)+(4+3i)=(6+6i)\)
\( (4+3i)+(2+4i)=(6+7i)\)
\( (2+4i)+(4+3i)=(6+7i)\)
\( (2+7i)+0=(2+7i)\)
\( 0+(2+7i)=(2+7i)\)
\( (2+7i)+(0+0i)=(2+7i)\)
Los resultados se comportan como si \( i \) fuera una variable desconocida \( x \) que agrupamos con su mismo tipo: números puramente imaginarios.
El resultado de sumar dos números complejos resulta en un número complejo.
Las propiedades algebraicas de la suma sí se cumplen con los complejos, como por ejemplo la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa.
Veamos algunos ejemplos:
\( 2+3=5\)
\( 3+2=5\)
\( 2i+3i=5i\)
\( 3i+2i=5i\)
\( (1+i)+(3+2i)=4+3i\)
\( (1+2i)+(i+3)=4+3i\)
\( (1+3)+(i+2i)=4+3i\)
\( (2i+1)+(i+3)=4+3i\)
\( 1+2i+2=3+2i \)
\( 1+2i+2i=1+4i \)
\( 2+3i+4+3i =6+6i \)
\( (2+3i)+(4+3i)=(6+6i)\)
\( (4+3i)+(2+4i)=(6+7i)\)
\( (2+4i)+(4+3i)=(6+7i)\)
\( (2+7i)+0=(2+7i)\)
\( 0+(2+7i)=(2+7i)\)
\( (2+7i)+(0+0i)=(2+7i)\)
viernes, 26 de julio de 2013
Parte real y parte imaginaria
Recordemos que un número complejo \( z \in \mathbb{C} \) es un número de la forma \( a + bi \) donde \(a, b \in \mathbb{R} \) y \( i \) es la unidad imaginaria. Esta definición de \( z = a + bi \) se considerará para los ejemplos de notación de esta entrada.
El valor de \( a \) en el número complejo lo llamamos "parte real" del número complejo.
La notación para la operación de obtener la parte real de un número complejo \( z \) es la siguiente:
\[ \textrm{Re}\;z=a \]
El valor de \( b \) en el número complejo lo llamamos "parte imaginaria" del número complejo.
La notación para la operación de obtener la parte imaginaria de un número complejo \( z \) es la siguiente:
\[ \textrm{Im}\;z=b \]
Si un número complejo \( z \) cumple que \( \textrm{Im}\;z = 0 \) entonces podemos decir que es un "número sin parte imaginaria" o un "número puramente real".
Si un número complejo \( z \) cumple que \( \textrm{Re}\;z = 0 \) entonces podemos decir que es un "número sin parte real" o un "número puramente imaginario".
Estos son ejemplos de los números y su correspondiente parte real y parte imaginaria:
Lo que esto quiere decir es que un número complejo guarda la información de dos números reales, por lo que son muy útiles para modelar algunas cantidades de la vida real.
Decimos que dos números complejos son iguales si tienen la misma parte real y también la misma parte imaginaria. Esta definición de igualdad es la misma aplicada intuitivamente.
El valor de \( a \) en el número complejo lo llamamos "parte real" del número complejo.
La notación para la operación de obtener la parte real de un número complejo \( z \) es la siguiente:
\[ \textrm{Re}\;z=a \]
El valor de \( b \) en el número complejo lo llamamos "parte imaginaria" del número complejo.
La notación para la operación de obtener la parte imaginaria de un número complejo \( z \) es la siguiente:
\[ \textrm{Im}\;z=b \]
Si un número complejo \( z \) cumple que \( \textrm{Im}\;z = 0 \) entonces podemos decir que es un "número sin parte imaginaria" o un "número puramente real".
Si un número complejo \( z \) cumple que \( \textrm{Re}\;z = 0 \) entonces podemos decir que es un "número sin parte real" o un "número puramente imaginario".
Estos son ejemplos de los números y su correspondiente parte real y parte imaginaria:
| \( z \) | \( \textrm{Re}\;z \) | \( \textrm{Im}\;z \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) |
\( 0 \)
|
\( 0 \)
|
| \( 2 \) |
\( 2 \)
|
\( 0 \)
|
| \( -\frac{3}{5} \) |
\( -\frac{3}{5} \)
|
\( 0 \)
|
| \( \pi \) |
\( \pi \)
|
\( 0 \)
|
| \( i \) |
\( 0 \)
|
\( 1 \)
|
| \( -5i \) |
\( 0 \)
|
\( -5 \)
|
| \( 4+7i \) |
\( 4 \)
|
\( 7 \)
|
| \( \pi-\sqrt{3}i \) |
\( \pi \)
|
\( -\sqrt{3} \)
|
Lo que esto quiere decir es que un número complejo guarda la información de dos números reales, por lo que son muy útiles para modelar algunas cantidades de la vida real.
Decimos que dos números complejos son iguales si tienen la misma parte real y también la misma parte imaginaria. Esta definición de igualdad es la misma aplicada intuitivamente.
lunes, 22 de julio de 2013
Identificando los números complejos
Los números complejos agregan más números con los que podemos trabajar. Pero no hay que olvidar que los números complejos también abarcan los conjuntos numéricos que ya se trabajaron en cursos anteriores: naturales, enteros, racionales y reales.
La siguiente tabla clasifica si el número de la columna izquierda pertenece o no al conjunto mostrado en la primera fila:
En otras palabras: ¡Ya han trabajado con parte de los números complejos!
La siguiente tabla clasifica si el número de la columna izquierda pertenece o no al conjunto mostrado en la primera fila:
| \( \mathbb{N} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{Q} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{C} \) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 0 \) |
✓
|
✓
|
✓
|
✓
|
✓
|
| \( 2 \) |
✓
|
✓
|
✓
|
✓
|
✓
|
| \( -3 \) |
✘
|
✓
|
✓
|
✓
|
✓
|
| \( \frac{1}{2} \) |
✘
|
✘
|
✓
|
✓
|
✓
|
| \( -\frac{3}{5} \) |
✘
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✘
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✓
|
✓
|
✓
|
| \( \pi \) |
✘
|
✘
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✘
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✓
|
✓
|
| \( -\sqrt{2} \) |
✘
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✘
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✘
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✓
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✓
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| \( i \) |
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✓
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| \( -5i \) |
✘
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✓
|
| \( 4+7i \) |
✘
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✘
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✓
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| \( \pi-\sqrt{3}i \) |
✘
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✘
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✓
|
En otras palabras: ¡Ya han trabajado con parte de los números complejos!
domingo, 21 de julio de 2013
El conjunto de los números complejos
El número \( i \), también llamado 'la unidad imaginaria' es un número que se define como un número que al elevarlo al cuadrado obtenemos \( -1 \):
\[ i^{2} = -1 \]
No hay que permitir que el nombre influya a nuestra percepción del número. Todos los números son ideas imaginarias y 'la unidad imaginara \( i \)' es sólo una idea más que nos permitirá realizar cosas que no son posibles únicamente con el conjunto de los números reales. Al elevar al cuadrado un número real podemos obtener cero (en caso que el número real sea cero) o un número real positivo (en caso que el número real no sea cero), pero no podemos obtener un número real negativo. Con la unidad imaginaria se nos permite obtener números negativos al elevar al cuadrado un número.
Es así que podemos definir ahora el conjunto de los números complejos. Se puede establecer de la siguiente forma:
\[ \mathbb{C} = \{ x + iy \textrm{ donde } x \in \mathbb{R} \textrm{ , } y \in \mathbb{R} \} \]
El conjunto de los números complejos será el conjunto de números más general e inclusivo que veremos en este curso. Este conjunto contiene en sí mismo al conjunto de los números reales.
A pesar que el nombre del conjunto es 'números complejos' no hay nada de complejo sobre trabajar con ellos ya que éstos siguen las mismas reglas algebraicas de variables que se trabajaron en cursos anteriores. Adicionales a esas reglas veremos algunas propiedades nuevas que introducen estos números.
El conjunto de los números reales
También hay cantidades que no se pueden escribir como fracciones con números enteros en el numerador y en el denominador pero que completan la continuidad lineal de los números. Con 'la continuidad lineal de los números' se refiere a que rellenan los 'hoyos' generados al poner todos los números racionales como puntos en una continua recta numérica, donde cada punto se encuentra ordenado por la magnitud de la cantidad.
Estas cantidades pueden ser positivas o negativas. Estas cantidades están posicionadas entre números racionales. Algunos ejemplos de estos números son pi (\( \pi \)), la constante de Euler (\( e \)), la constante pitagórica (\( \sqrt{2} \)) y el número áureo (\( \phi \)).
Al conjunto de la continuidad de números, que incluye los números racionales y los que completan la continuidad lineal le llamamos 'el conjunto de los números reales' (\( \mathbb{R} \)). No hay que darle mucho peso al nombre, los números continúan siendo ideas y por lo tanto no son más "reales" que otros tipos de números.
Otro conjunto importante es 'el conjunto de los números reales positivos', se expresa de la siguiente forma:
\[ \mathbb{R}^{+} = \{ x \textrm{ tal que } x \in \mathbb{R}, x > 0 \} \]
El conjunto de los números racionales
El conjunto de números crece aún más con la adición de abstracciones de cantidad que establecen razones (ratios) entre los números enteros. El conjunto que es conformado por todas las fracciones que se pueden construir con números enteros en el numerador y en el denominador, este es el conjunto de los números racionales ( \( \mathbb{Q} \) ). Se puede expresar lo anterior de la siguiente forma con notación de conjuntos: \[ \mathbb{Q} = \left \{ \frac{a}{b} \textrm{ tal que } a \in \mathbb{Z} \textrm{ y } b \in \mathbb{Z} \right \} \]
Las fracciones que se introducen en la educación primaria son 'el conjunto de los números racionales positivos' ( \( \mathbb{Q}^{+} \) ). Se pueden expresar de la siguiente forma: \[ \mathbb{Q}^{+} = \left \{ x \textrm{ tal que } x \in \mathbb{Q}, x > 0 \right \} \]
Es importante mencionar que el conjunto de los números racionales también incluye las fracciones negativas.
El conjunto de los números enteros
El conjunto de números se puede expandir para considerar el conjunto de los números enteros ( \( \mathbb{Z} \) ). Se agregan números negativos enteros que permiten registrar la 'dirección', ya sea positiva o negativa, de una cantidad entera.
El conjunto de los números enteros incluye: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ... y así sucesivamente sin fin.
La notación será: \[ \mathbb{Z} = \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4, \cdots \} \]
Equivalentemente podemos listarlos de forma diferente:
\[ \mathbb{Z} = \{ \cdots,-4,-3,-2 ,-1,0,1,2,3,4, \cdots \} \]
A veces requerimos trabajar con los números naturales pero sin incluir el cero, este conjunto se llamará 'conjunto de los números enteros positivos' ( \( \mathbb{Z}^{+} \) ) expresados de la siguiente forma:
\[ \mathbb{Z}^{+} = \{ 1,2,3,4, \cdots \} \]
La relación entre el conjunto de los números enteros positivos y el conjunto de los números naturales podemos expresarla con operaciones en los conjuntos:
\[ \mathbb{Z}^{+} \cup \{ 0 \} = \mathbb{N} \]
Equivalentemente podemos listarlos de forma diferente:
\[ \mathbb{Z} = \{ \cdots,-4,-3,-2 ,-1,0,1,2,3,4, \cdots \} \]
A veces requerimos trabajar con los números naturales pero sin incluir el cero, este conjunto se llamará 'conjunto de los números enteros positivos' ( \( \mathbb{Z}^{+} \) ) expresados de la siguiente forma:
\[ \mathbb{Z}^{+} = \{ 1,2,3,4, \cdots \} \]
La relación entre el conjunto de los números enteros positivos y el conjunto de los números naturales podemos expresarla con operaciones en los conjuntos:
\[ \mathbb{Z}^{+} \cup \{ 0 \} = \mathbb{N} \]
El conjunto de los números naturales
El primer conjunto de números que la humanidad desarrolló fue creado con el objetivo de contar objetos: ganado, personas, cosechas, etc. A este conjunto lo llamamos el conjunto de los números naturales ( \( \mathbb{N} \) ). A pesar de su nombre debemos de considerar que los números son ideas y éstas no se encuentran de forma explícita en la naturaleza. Los números son una abstracción de cantidad.
Para los fines del programa los números naturales serán: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 99, 100, ... y así sucesivamente sin fin.
La notación de los números naturales será: \[ \mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,\cdots \} \]
Hay que tener cuidado, ya que en algunos en libros de texto o en otros programas la definición de los números naturales no incluye el cero.
Para los fines del programa los números naturales serán: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 99, 100, ... y así sucesivamente sin fin.
La notación de los números naturales será: \[ \mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,\cdots \} \]
Hay que tener cuidado, ya que en algunos en libros de texto o en otros programas la definición de los números naturales no incluye el cero.
sábado, 20 de julio de 2013
Prueba MathJax
Para cumplir con los objetivos se necesita visualizar fórmulas matemáticas. Esta es una prueba usando MathJax : $$ e^{i\pi} = -1 $$
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Bienvenidos este blog de matemáticas nivel superior. En este espacio publicaré problemas, soluciones, estrategias y explicaciones de temas pertinentes a matemáticas nivel superior.
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