Propiedades de las combinaciones

Otra forma de escribir las combinaciones de un total de \(n\) objetos diferentes en \(r\) en lugares diferentes donde no importa el orden en que se asignan es con la notación:
\[{{n}\choose{r}}\]
El número de las combinaciones es el mismo número que acompaña los coeficientes de la expansión de un binomio elevado a la n-ésima potencia. Entonces sabemos que:
\[{{n}\choose{r}}=\;\; _{}^{n}C_{r}\]
\[{{n}\choose{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]
Entonces podemos también utilizar el triángulo de Pascal para obtener las combinaciones de objetos sin usar la calculadora y sin calcular todos los factoriales, aunque en la práctica es más fácil trabajar con los factoriales directos y cancelar los factores compartidos:

El triángulo de Pascal.
Se puede construir poniendo 1 en los extremos y sumando los dos números arriba del deseado.

Los valores correspondientes al triángulo de Pascal

Notamos la siguiente propiedad en las combinaciones y el triangulo de pascal:
\[{{n}\choose{0}}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{(1)n!}=\frac{n!}{n!}=1\]

\[{{n}\choose{n}}=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!(0!)}=\frac{n!}{n!(1)}=1\]

Notamos también la siguiente propiedad adicional en las combinaciones y el triangulo de pascal:
\[{{n}\choose{1}}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n!}{(n-1)!}=n\]

\[{{n}\choose{n-1}}=\frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!}=\frac{n!}{(n-1)!}=n\]

Como se pueden observar dentro de las filas tenemos una simetría entre los valores:
\[{{n}\choose{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]

\[{{n}\choose{n-r}}=\frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!}=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]

\[\textrm{Entonces}\;\;\;{{n}\choose{r}}={{n}\choose{n-r}}\]

También podemos escribir la construcción del triángulo de pascal como una propiedad. Podemos obtener un resultado sumando los dos números de la fila anterior correspondientes:

\[{{n}\choose{r}}={{n-1}\choose{r-1}}+{{n-1}\choose{r}}\] Lo anterior se cumple porque se puede contar el número de formas asignar a \(r\) lugares diferentes un total de \(n\) objetos diferentes sin que importe el orden de elección de la forma siguiente: contar el número de formas donde incluyen un objeto específico (si lo incluimos sólo tenemos que elegir \(r-1\) de un total de \(n-1\) por lo tanto \(_{}^{n-1}C_{r-1}\)) y contar el número de formas donde no se incluye un número en específico (si no lo incluimos sólo tenemos que elegir \(r\) de un total de \(n-1\) por lo tanto \(_{}^{n-1}C_{r}\)), la suma de estos dos números debería ser el total.

Contemos el número de subconjuntos que se pueden hacer con \(n\) objetos esto es equivalente a realizar una actividad con \(n\) pasos donde en cada paso decidimos o no agregar el objeto el conjunto, entonces usando el principio de la multiplicación el número total de formas es \(2^{n}\). Otra forma de contar esto es calculando el número de conjuntos con 0 objetos y sumarlo al número de conjuntos de 1 objeto y sumarlo al número de conjuntos de 2 objetos y sumarlo al siguiente, así hasta que sumamos el número de conjuntos de \(n\) objetos. Como estos números deben de ser iguales tenemos que:

\[{{n}\choose{0}}+{{n}\choose{1}}+{{n}\choose{2}}+{{n}\choose{3}}+\cdots+{{n}\choose{n}}=2^{n}\]

\[\sum_{i=0}^{n}{{n}\choose{i}}=2^{n}\]

Combinaciones

En algunos casos nos interesa asignar objetos diferentes a una cantidad de lugares distintos pero sin que importe el orden en que los elegimos. Estableceremos el patrón comparándolo con las permutaciones, que son donde sí nos interesa el orden en que los elegimos.

Ejemplos:

• ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 letras de la palabra ALTO (4 letras diferentes) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 4: ALT, ALO, ATO, LTO.
• Consideremos que \(_{}^{4}P_{3}=24\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(24/4=6=3!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 letras de ABC (3 letras diferentes) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 3: AB, AC, BC.
• Consideremos que \(_{}^{3}P_{2}=6\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(6/3=2=2!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 1 letra de ABCDEF (6 letras diferentes) sin importar el orden de eleción? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 6: A, B, C, D, E, F.
• Consideremos que \(_{}^{6}P_{1}=6\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(6/6=1=1!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 personas de un conjunto de 4 (Juan, Ana, Miguel, Edna) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 6: JA, JM, JE, AM, AE, ME.
• Consideremos que \(_{}^{4}P_{2}=12\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(12/6=2=2!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 personas de un conjunto de 5 (Beatriz, Carlos, Daniel, Francisco, Gaby) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 10: BC, BD, BF, BG, CD, CF, CG, DF, DG, FG.
• Consideremos que \(_{}^{5}P_{3}=60\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(60/10=6=3!\).

Vemos entonces que podemos obtener el mismo resultado dividiendo las permutaciones entre el factorial de los lugares en los que se asignan. Lo que hace esto es eliminar los conteos extras que se derivan de las diferentes posiciones, cada combinación aparece "el factorial de los lugares (\(r!\))" veces en el conteo de las permutaciones.

Definiremos las "combinaciones de \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos" es el número de formas de asignar \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos donde no nos importa el orden de elección. Se denota de la siguiente forma:
\[_{}^{n}C_{r} = \frac{_{}^{n}P_{r}}{r!} \]
\[_{}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

Entonces podemos utilizar la formula anterior para calcular las combinaciones de un total de \(n\) objetos asignados a \(r\) lugares, considerando que en las combinaciones el orden no importa al conteo.

También se puede usar la función de la calculadora del programa para calcular estos números. Aparecen el la opciones de probabilidad o llamando la función por el nombre "nCr( )". Sólo hay que insertar los valores de \(n\) y \(r\) en los parámetros.

Ejemplos:

• Hay 10 alumnos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar un comité de 3 personas? Para este caso no nos interesa el orden, la respuesta es \(_{}^{10}C_{3}=120\)
• Hay 5 temas diferentes en el programa, para este semestre se tienen que ver 2 temas. ¿De cuantas formas diferentes se pueden elegir los 2 temas para ver este semestre? Sin importar el orden que se vean los temas la respuesta es \(_{}^{5}C_{2}=10\)
• ¿De cuántas formas diferentes se crear un conjunto de 7 letras a partir de las letras la palabra PERMUTACION (11 letras diferentes)? Para que un conjunto sea igual no importa el orden, por lo tanto la respuesta es \(_{}^{11}C_{7}=330\)
• ¿Cuantos conjuntos diferentes de 6 números se pueden hacer con los dígitos del número 123456 (6 objetos asignados a 6 lugares)? Para que un conjunto sea igual no importa el orden, por lo tanto la respuesta es \(_{}^{6}C_{6}=1\)

Notamos que en las situaciones anteriores el orden de la asignación de los objetos no importa. Hay que recordar que a estas situaciones de asignación de objetos en lugares diferentes donde el orden no importa les llamaremos combinaciones de objetos.

Permutaciones

Comúnmente al contar la asignación de objetos diferentes a una cantidad de lugares distintos donde el orden es importante obtenemos patrones de números decrecientes que se detienen en algún número o llegan hasta el número uno.

Por ejemplo:

• Hay 10 alumnos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar un presidente, un secretario y un tesorero (3 puestos)? La respuesta es \((10)(9)(8)=720\).
• Hay 5 temas diferentes en el programa, para este semestre se tienen que ver 2 temas. ¿De cuantas formas diferentes se pueden elegir los temas y el orden al ver los 2 temas del semestre? La respuesta es \((5)(4)=20\)
• ¿Cuántas "palabras" de 7 letras se pueden hacer con las letras la palabra PERMUTACION (11 letras diferentes)? La respuesta es \((11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)=1663200\)
• ¿Cuantos números diferentes de 6 dígitos se pueden hacer con los dígitos del número 123456 (6 objetos asignados a 6 lugares)? La respuesta es \((6)(5)(4)(3)(2)(1)=720\)

Notamos que en las situaciones anteriores el orden de la asignación de los objetos sí importa. A estas situaciones de asignación de objetos en lugares diferentes donde el orden importa les llamaremos permutaciones de objetos.

Definiremos las "permutaciones de \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos" como el número de formas de asignar \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos donde sí importa el orden de asignación. Se denotará de la forma:
\[_{}^{n}P_{r}=(n)(n-1)\cdots(n-r+1)\]
Podemos expresarlo por medio del factorial:
\[_{}^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\]
Notamos que si \(r=n\) entonces:
\[_{}^{n}P_{n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!\]
También se puede usar la función de la calculadora del programa para calcular estos números. Aparecen el la opciones de probabilidad o llamando la función por el nombre "nPr( )". Sólo hay que insertar los valores de \(n\) y \(r\) en los parámetros.

En los ejemplos anteriores:

• Hay 10 alumnos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar un presidente, un secretario y un tesorero (3 puestos)? La respuesta es \(_{}^{10}P_{3}=720\).
• Hay 5 temas diferentes en el programa, para este semestre se tienen que ver 2 temas. ¿De cuantas formas diferentes se pueden elegir los temas y el orden al ver los 2 temas del semestre? La respuesta es \(_{}^{5}P_{2}=20\)
• ¿Cuántas "palabras" de 7 letras se pueden hacer con las letras la palabra PERMUTACION (11 letras diferentes)? La respuesta es \(_{}^{11}P_{7}=1663200\)
• ¿Cuantos números diferentes de 6 dígitos se pueden hacer con los dígitos del número 123456 (6 objetos asignados a 6 lugares)? La respuesta es \(_{}^{6}P_{6}=720\)

El factorial de un número

Al realizar conteos de la forma de ordenar objetos (seleccionándolos todos) vemos que aparece mucho la multiplicación descendiente de números enteros (por ejemplo \((6)(5)(4)(3)(2)(1)\), \((4)(3)(2)(1)\), \((3)(2)(1)\), etc.) ya que en los ordenamientos el número de formas de realizar los pasos de elección se decrementa en una unidad mientras avanzamos.

Por lo anterior fue conveniente establecer una notación para estos números. Se estableció como función factorial, denotada por '!' después del número a la multiplicación decreciente de los enteros. Por definición estableceremos que \(0!=1\), entonces tenemos:

\(0!=1\)
\(1!=1\)
\(2!=2\)
\(3!=6\)
\(4!=24\)
\(5!=120\)
\(6!=720\)
\(7!=5040\)
\(8!=40320\)
\(9!=362880\)
\(10!=3628800\)

En general para un número \(n\):
\[n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(3)(2)(1)\]
Podemos establecer algunas propiedades del factorial, por ejemplo el factorial de un número \(n\) es igual al factorial anterior multiplicado por el número \(n\):
\[n!=n(n-1)!\]
\[n!=n(n-1)(n-2)!\]
\[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\]
Al realizar divisiones entre factoriales podemos deducir la siguiente propiedad debido a los factores compartidos entre los enteros no negativos \(a\) y \(b\):
\[\frac{a!}{b!}=(a)(a-1)\cdots(b+1)\:\:\:\textrm{ siempre que }a > b\]
De la misma forma para valores no negativos \(a\) y \(b\):
\[\frac{b!}{a!}=\frac{1}{(a)(a-1)\cdots(b+1)}\:\:\:\textrm{ siempre que }a > b\]

Aplicándolo al conteo tenemos el siguiente teorema:

"El número de formas de asignar \(n\) objetos diferentes a \(n\) lugares distintos es \(n!\)." 

La calculadora del programa puede obtener el valor de la función factorial.

Ejemplos de aplicación en combinatoria:

• ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 9 niños en una fila? La respuesta es \(9! = 362880\).
• ¿Cuántos códigos se forman usando 5 letras diferentes ABCDE en algún orden. La respuesta es \(5!=120\).
• ¿De cuantas formas diferentes se pueden ver 7 unidades de una materia? Se tiene que decidir el orden en que ver las unidades, por lo que la respuesta es \(7!=5040\).

Conteo directo y conteo indirecto

A veces nos piden contar situaciones condicionadas a que presenten cierta característica, hay dos estrategias básicas que podemos seguir, debemos de elegir la que sea más fácil y rápida de realizar:

Estrategia 1. Conteo directo calculando el número de los casos que cumplen el criterio

No es práctico enumerar todas las opciones y contarlas dentro del examen, hay que ser más elegantes en la forma de contar. Esta estrategia consiste en contar de forma directa usando los principios de conteo y combinatoria de Matemáticas NS. También puede haber problemas donde se puedan utilizar otros conocimientos del programa.

Ejemplos:

• ¿Cuántos números diferentes se pueden hacer usando los dígitos del número 1234? La respuesta es \((4)(3)(2)(1)=24\). Obtenida porque para el primer dígito se puede escoger cualquiera de los 4 dígitos, para el segundo dígito se pueden escoger cualquiera de los 3 que queden, para el tercer dígito se encoje cualquiera de los 2 que queden y para el último dígito sólo hay una opción.
• ¿Cuántos números divisibles entre 3 hay entre el 1 y el 1000? Podemos realizar este conteo considerando que cada 3 números se encuentra un número divisible entre 3, esto es similar a una secuencia aritmética y nos interesa encontrar el número de términos. Realizando la división vemos que \(1000 = 3(333) + 1\) por lo tanto hay 333 números divisibles entre 3 en ese intervalo. Es una secuencia aritmética donde el término inicial es 3 (el primero divisible) y el final es 999 (el último divisible), con diferencia común de 3; esta secuencia tiene 333 términos.
• Las placas se forman con dos letras (de un alfabeto de 26 letras: 'A', 'B', etc.) seguidas por 4 dígitos (del 0 al 9). ¿Cuántas placas empiezan con 'A' y terminan con '0'?¿Cuál es el total de placas posibles? Consideramos que los valores iniciales y finales de la placa ya se encuentran fijos en 'A' y '0' respectivamente, sólo falta realizar la elección de 1 letra y la elección de 3 dígitos, por lo tanto la respuesta es: \((26)(10)(10)(10)=26,000\). El total de placas posibles es \((26)(26)(10)(10)(10)(10)=6,760,000\).

Estrategia 2. Conteo indirecto de los casos que cumplen el criterio: Contando el total y restando los casos que no cumplen el criterio.

Si contamos el número de casos que cumplen el criterio y lo sumamos con el número de casos que no cumplen el criterio debemos de obtener el total de los casos. Por lo tanto podemos realizar la operación:

Número de casos que cumplen + Número de casos que no cumplen = Número total de los casos 

Número de casos que cumplen = Número total de los casos - Número de casos que no cumplen

Esta es la estrategia a seguir si contar directamente es muy difícil mientras que contar todos y contar los que no cumplen es mucho más fácil.

Ejemplos:

• ¿Cuántos números entre el 0 y el 9,999,999 tienen al 7 en alguno de sus dígitos? Es mucho más fácil contar los que no cumplen porque los que no cumplen son los números que no tienen ningún número 7. El total de números que hay en ese intervalo es \(10^{7}\). El total de números que no tienen ningún 7 en ese intervalo es \(9^{7}\). Así que la cantidad de números que tienen algún 7 en sus dígitos en el intervalo son \(10^{7}-9^ {7}\), esto es igual a \(4,782,929\).
• Un código de identificación se encuentre hecho de 6 letras diferentes. Las letras que se encojen sólo pueden ser 'A', 'B', 'C', 'D', 'E' y 'F'. ¿Cuántos códigos tienen las letras 'D" y "E' separadas? Es más fácil contar los que tienen las letras 'D' y 'E' juntas ya que es como si 'DE' fuera una opción para elegir. El total de formas es \((6)(5)(4)(3)(2)(1)=720\). Ahora contemos las veces que 'DE' se encuentra en el código, consideramos que 'DE' es un símbolo llamado 'O', entonces sólo hay 5 símbolos a elegir ('A', 'B', 'C', 'O' y 'F') para poder realizar un código, por lo que las veces en que se encuentra 'DE' son \((5)(4)(3)(2)(1)=120\). Así que la cantidad de códigos donde las letras 'D' y 'E' se encuentran separadas son \(720-120\), esto es igual a \(600\).

Principio de conteo de la suma

El otro principio de conteo importante es el principio de la suma. El principio de la multiplicación habla de elegir realizar varios pasos en conjunto, por otra parte el principio de la suma nos habla de opciones que no se pueden tomar juntas, es decir, son alternativas.

El principio de la multiplicación está ligado con el nexo 'y' mientras que el principio de la adición se encuentra ligado con el nexo 'o'.

Tenemos el siguiente principio de conteo de la suma:

"Si una actividad tiene 2 formas alternativas de ser realizada, donde la primera alternativa se puede realizar de \(a\) maneras y la segunda alternativa se puede realizar de \(b\) maneras, entonces el número total de formas en que se pueden realizar la actividad es \(a+b\)."

Ejemplos del caso:

• Se consideran los números del 1 al 10. Se debe de elegir un número par de los 5 posibles (2,4,6,8,10) o alternativamente elegir un número impar de los 5 posibles (1,3,5,7,9). El número total de formas de realizar esta elección es \(5+5=10\).
• Si se tiene la opción de elegir comprar una camisa o alternativamente un pantalón (pero no ambos). Si hay 10 camisas diferentes y 11 pantalones diferentes ¿De cuántas formas se puede realizar esta elección? La respuesta es de \(10+11=21\) formas. 
• Se tiene que elegir entre comprar un carro o alternativamente comprar una motocicleta (no se puede comprar un carro y una motocicleta). Hay 5 tipos carros diferentes y 7 tipos de motocicletas diferentes ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar esta elección? La respuesta es \(5+7=12\).

También podemos generalizarlo para considerar más de dos formas alternativas de realizar la actividad:

"Si una actividad tiene \(m\) formas alternativas de ser realizada, donde la primera alternativa se puede realizar de \(n_{1}\) maneras, donde la segunda alternativa se puede realizar de \(n_{2}\) maneras, donde la tercera alternativa se puede realizar de \(n_{3}\) maneras, y así sucesivamente para todas las formas alternativas \(m\), entonces el número total de formas en que se puede realizar la actividad es:
\[n_{1}+n_{2}+n_{3}+\cdots+n_{m-1}+n_{m}\]
formas diferentes." Se puede escribir de forma compacta con la notación de la sumatoria:
\[\sum_{i=1}^{n}n_{i}\]
Ejemplos del caso:

• Se tiene que elegir entre comprar un carro o alternativamente comprar una motocicleta o alternativamente comprar una bicicleta (sólo se puede comprar un tipo, no se puede elegir comprar dos ni tampoco comprar los tres juntos). Hay 5 tipos carros diferentes, 7 tipos de motocicletas diferentes y 11 tipos de bicicletas diferentes ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar esta elección? La respuesta es \(5+7+11=23\).

Principio de conteo de la multiplicación

Nos interesa contar el número de formas diferentes de hacer cosas, acomodar objetos y/o elegir opciones. El área de las matemáticas que tiene como parte de su estudio el conteo se llama combinatoria.

Tenemos el siguiente principio de conteo de la multiplicación:

"Si actividad consta de 2 pasos, donde el primer paso se puede hacer de \(a\) formas y donde el segundo paso se puede hacer de \(b\) formas entonces el número total de formas en que se pueden realizar la actividad son \(ab\)."

Ejemplos del caso de dos elecciones:

• En un restaurante se pueden elegir 5 refrescos diferentes y 3 platillos diferentes. Entonces el número de formas diferentes de elegir un refresco y un platillo es 15.
• Si se tienen a elegir 10 camisas diferentes y 23 pantalones diferentes. Entonces el número total de formas diferentes de elegir una camisa y un pantalón es \((10)(23)=230\).
• Considerando que hay 26 letras diferentes en un alfabeto ¿Cuántas "palabras" de dos letras se pueden hacer con las 26 letras del alfabeto especificado? Hay que notar que esto equivale a tener 26 formas diferentes de realizar el primer paso, que es asignar la primera letra, luego ha 26 formas diferentes de realizar el segundo paso que es asignar la segunda letra. Por lo tanto la respuesta es \(26^{2}\) palabras, es decir, \(676\) palabras. 

Podemos generalizarlo para considerar más de dos elecciones diferentes:

"Si una actividad consta de \(m\) pasos diferentes, donde el primer paso se puede hacer de \(n_{1}\) formas diferentes, y donde el segundo paso se puede hacer de \(n_{2}\) formas diferentes, y donde el tercer paso se puede hacer de \(n_{3}\) formas diferentes, y así sucesivamente para todos los \(m\) pasos. Entonces la actividad puede ser llevada a cabo de:

\[n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}\cdots n_{m-1}n_{m}\] formas diferentes". La expresión anterior se puede expresar de forma más simple de la siguiente forma:

\[\prod_{i=1}^{m}n_{i}\] 

Donde el símbolo \(\prod\) representa el producto de todos los términos a evaluarse, esto es similar al uso del símbolo para la suma \(\sum\).

Ejemplos del caso de varias elecciones:

• En un restaurante se pueden elegir 5 refrescos diferentes, 2 platillos principales y 3 postres diferentes. Las personas también pueden decidir si quieren o no hielos en la soda. Según lo anterior, el número de formas diferentes de elegir un refresco, un platillo principal, un postre y los hielos es \((5)(2)(3)(2)=60\).
• Se planea vestirse escogiendo un par de calcetines, una camisa, un pantalón y unos zapatos. Si tiene 3 pares pares de calcetines diferentes, 5 camisas diferentes, 2 pantalones diferentes y 4 zapatos diferentes. El número total de formas diferentes de vestirse es \((3)(5)(2)(4)=120\).
• Considerando que hay 26 letras diferentes en un alfabeto ¿Cuántas "palabras" de 5 letras se pueden hacer con las 26 letras del alfabeto especificado? Hay que notar que esto equivale a tener 26 opciones diferentes para el primer paso (la opción de la primera letra), 26 opciones diferentes para el segundo paso (la opción de la segunda letra), 26 opciones diferentes para el tercer paso (la opción de la tercera letra), etc. La respuesta es \(26^{5}\) palabras, es decir \(11,881,376\)

Raíces conjugadas de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales

Una ecuación polinómica con coeficientes reales de grado \(n\) es una ecuación que se puede escribir de la forma:
\[a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\]
Donde \(a_{j}\) son todos números reales, los coeficiente reales. Y \(x\) es la variable que conforma el polinomio de grado \(n\). También podemos escribir la ecuación de la forma:
\[P(x)=0\]
Donde \(P(x)\) la función polinómica correspondiente.

Recordemos que a raíz de un polinomio es un valor que hace que valga cero la expresión.

El teorema de las raíces conjugadas de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales nos dice que: "Si \(P\) es un polinomio de una variable con coeficientes reales y una raíz del polinomio \(P\) es \(x+yi\) entonces el conjugado complejo \(x-yi\) es una raíz de \(P\)."

Ejemplos del teorema:

• Si tenemos un polinomio con coeficientes reales que tiene como raíz \(1+3i\) entonces podemos garantizar que \(1-3i\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales.
• Si tenemos un polinomio con coeficientes reales que tiene como raíz \(4i\) entonces podemos garantizar que \(-4i\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales.
• Si tenemos un polinomio con coeficientes reales que tiene como raíz \(-1-2i\) entonces podemos garantizar que \(-1+2i\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales.
• Si sabemos que en una cuadrática una raíz es \(1-5i\) entonces la otra raíz debe ser \(1+5i\).
• Si sabemos que 100 es una raíz de un polinomio con coeficientes reales entonces podemos garantizar que 100 (su conjugado) es una raíz del polinomio con coeficientes reales. Notar que en este caso el teorema no proporciona información nueva.

Demostración del teorema:
La demostración utiliza propiedades de los conjugados de los números complejos.

Sea \(P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}\)
Donde \(a_{j}\) son todos números reales.

Se puede escribir lo mismo con notación de sumatoria:
\[P(x) =\sum_{j=0}^{n}a_{j}x^{j}\]
Suponga que algún número complejo \(z\) es una raíz del polinomio. Es decir
\[P(z)=\sum_{j=0}^{n}a_{j}z^{j}=0\]
Consideremos la evaluación del conjugado de \(z\) en el polinomio:
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}a_{j}\overline{z}^{j}\]
Como \(j\) es un número entero entonces según la propiedades de los conjugados de que el conjugado elevado a una potencia entera \(n\) es igual al conjugado del resultado de elevar el número a una potencia \(n\):
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}a_{j}\overline{z^{j}}\]
Ahora, como \(a_{j}\) es un número real entonces es lo mismo que \(\overline{a_{j}}\), sustituyendo nos queda:
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}\overline{a_{j}}\overline{z^{j}}\]
Como el resultado de multiplicar cada uno de los conjugados de dos números complejos es igual a obtener el conjugado del resultado de multiplicar los números podemos expresar:
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}\overline{a_{j}z^{j}}\]

Como la suma de los conjugados de números complejos es igual al conjugado del resultado de la suma tenemos ahora:

\[P(\overline{z})=\overline{\sum_{j=0}^{n}a_{j}z^{j}}\]

Sabemos lo que vale la suma ya que es lo mismo que \(P(z)\) que establecimos que vale 0.
\[P(\overline{z})=\overline{P(z)}\]
\[P(\overline{z})=\overline{0}\]
\[P(\overline{z})=0\]
Con lo anterior se establece que \(\overline{z}\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales si se cumple que \(z\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales, esto es lo que se quería demostrar.

Propiedades del conjugado de un número complejo

Estableceremos algunas propiedades del conjugado de un número complejo que nos ayudarán a demostrar el teorema de las raíces conjugadas de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales.

Todas las siguientes propiedades se pueden demostrar escribiendo los números en la forma cartesiana y realizando las operaciones correspondientes. La propiedad de potencias se puede demostrar fácilmente con el teorema de de Moivre.

Sean \(z \in \mathbb{C}\) y \(w \in \mathbb{C}\), entonces se cumple que:

1. El conjugado de la suma de números complejos es igual a la suma de los conjugados de cada número complejo.
\[\overline{(z+w)}=\overline{z}+\overline{w}\]
Podemos generalizar esta propiedad para que aplique en una suma de varios términos. Es fácil demostrar esta generalización gracias a las propiedades de la suma:
\[\overline{\left (\sum_{i=1}^{n}z_{i}  \right )}=\sum_{i=1}^{n}\overline{z_{i}}\]

2. El conjugado de la resta de dos números complejos es igual a la resta de los conjugados de cada número complejo.
\[\overline{(z-w)}=\overline{z}-\overline{w}\]

3. El conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual a la multiplicación de los conjugados de cada número complejo.
\[\overline{(zw)}=\overline{z}\overline{w}\]

4. El conjugado de la división de dos números complejos es igual a la división de los conjugados de cada número complejo, siempre que \(w \ne 0\).
\[\overline{\left (\frac{z}{w}\right )}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}\]

5. El conjugado del resultado de elevar un número complejo elevado a una potencia entera \(n\) es igual al resultado de elevar a una potencia entera el conjugado del número complejo.
\[\overline{z^{n}}=\overline{z}^{n} \;\textrm{  para cualquier entero  }\;n\]

6. El conjugado de un número real es el número mismo.
\[\overline{z}=z \;\textrm{  si y sólo si  }\;z \in \mathbb{R}\]

7. El conjugado de un número complejo tiene el mismo módulo que el número complejo.
\[\left |\overline{z}\right |=\left |{z}\right |\]

8. La multiplicación de un número complejo por su conjugado resulta en el módulo del número elevado al cuadrado .
\[\left |z\right |^2=\overline{z}z=z\overline{z}\]

9. El conjugado del conjugado es el número original.
\[\overline{\overline{z}}=z\]

10. El resultado de elevar un número complejo a la \(-1\) potencia resulta en el conjugado dividido entre el módulo del número al cuadrado.
\[z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\left |z\right |^2}\]

Las raíces n-ésimas de un número complejo

Usando los mismos principios que utilizamos para obtener las raíces de unidad podemos obtener las raíces n-ésimas de un número complejo.

El número de resultados que se obtenen al aplicar la raíz n-ésima siempre serán \(n\) raíces distintas.

El teorema de de Moivre puede ser expandido para considerar potencias racionales, sin embargo esto significa que se debe de obtiener más de una respuesta al elevar un número a una potencia no entera. Para obtener todas las soluciones tenemos que reescribir el número que vamos a aplicarle el teorema.

Reescribiendo números complejos para que consideren ángulos congruentes
Igual que en el caso de las raíces n-ésimas de la unidad hay que considerar los múltiplos de la vuelta completa para obtener todos los números que cumplen la propiedad. Si tenemos \(w = re^{i\theta}\) hay que considerar todos los ángulos que sean equivalentes a este, esto lo podemos expresar como:
\[w = re^{i\theta + 2\pi k i} \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots \]
O usando ángulos en notación trigonométrica
\[w = r \textrm{ cis }(\theta + 360°k) \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots \]
En las expresiones anteriores lo único que se hizo fue escribir una expresión que muestra el mismo número ya que los ángulos obtenidos al sumarle un múltiplo de la vuelta completa resulta en un ángulo congruente con \(\theta\).

Aplicando el teorema de de Moivre extendido
Como debemos de obtener \(n\) raíces distintas nos limitaremos a considerar los valores de \(k = 0, 1, 2, \cdots, n -1 \). Entonces, usando el teorema de de Moivre y la distribución de potencias las raíces n-ésimas las podemos expresar como:
\[z_{k} = \sqrt[n]{r} e^{(i\theta + 2\pi k i)\frac{1}{n}} \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n -1\]
O usando ángulos en notación trigonométrica
\[z_{k} = \sqrt[n]{r} \textrm{ cis }\left ((\theta + 360°k)\frac{1}{n}\right ) \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n -1\]

Ejemplos:
Para los ejemplos se encontrarán las raíces correspondientes \(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\), etc. sustituyendo los valores de \(k = 0, 1, 2, 3\). Lo anterior es con el objetivo de mostrar los puntos graficados en Geogebra con el nombre correcto.

1. Encuentre las raíces cuadradas de \(1\):
\(w = \textrm{ cis }0°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(0°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 0°=1\)

\(z_{2}=\textrm{ cis }[(0°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 180°=-1\)

Esta es la gráfica de las raíces anteriores,
todas las gráficas fueron hechas en Geogebra

2. Encuentre las raíces cuadradas de \(i\):

\(w = \textrm{ cis }90°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 225°=-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

3. Encuentre las raíces cuadradas de \(-1\):

\(w = \textrm{ cis }180°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(180°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 90°=i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(180°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 270°=-i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

4. Encuentre las raíces cuadradas de \(-i\):

\(w = \textrm{ cis }270°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(270°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 135°=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(270°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 315°=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

5. Encuentre las raíces cuadradas de \(1+i\):

\(w = \sqrt{2}\textrm{ cis }45°\)
Entonces
\(z_{1}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(0))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 22.5°\approx 1.099+0.4551i\)
\(z_{2}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(1))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 202.5°\approx -1.099-0.4551i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

6. Encuentre las raíces cuadradas de \(1-i\):
\(w = \sqrt{2}\textrm{ cis }315°\)
Entonces
\(z_{1}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(0))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 157.5°\approx -1.099+0.4451i\)
\(z_{2}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(1))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 337.5°\approx 1.099-0.4451i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

7. Encuentre las raíces cubicas de \(i\):
\(w = \textrm{ cis }90°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\)

\(z_{3}=\textrm{ cis }[(90°+360°(2))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 270°=-i\)

El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.

8. Encuentre las raíces cubicas de \(-i\):

\(w = \textrm{ cis }270°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(270°+360°(0))\frac{1}{3}]=\textrm{ cis } 90°=i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(270°+360°(1))\frac{1}{3}]=\textrm{ cis } 210°=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\)

\(z_{3}=\textrm{ cis }[(270°+360°(2))\frac{1}{3}]=\textrm{ cis } 330°=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\)

El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.

9. Encuentre las raíces cúbicas de \(1+i\):

\(w = \sqrt{2}\textrm{ cis }45°\)
Entonces
\(z_{1}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(0))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 15°\approx 1.084+0.2905i\)
\(z_{2}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(1))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 135°\approx -0.7937+0.7937i\)

\(z_{3}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(2))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 255°\approx -0.2905-1.084i\)

El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.

10. Encuentre las raíces cubicas de \(1-i\):

\(w = \sqrt{2}\textrm{ cis }315°\)
Entonces
\(z_{1}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(0))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 105°\approx -0.2905+1.084i\)
\(z_{2}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(1))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 225°\approx -0.7937-0.7937i\)

\(z_{3}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(2))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 345°\approx 1.084-0.2905i\)

El diagrama de Argand de la situación. z4 es w. 

11. Encuentre las raíces cubicas de \(8 \textrm{cis} 30°\):
\(w = 8\textrm{ cis }30°\)
Entonces
\(z_{1}=2\textrm{ cis }[(30°+360°(0))\frac{1}{3}]=2\textrm{ cis } 10° \approx 1.97+0.3473i\)
\(z_{2}=2\textrm{ cis }[(30°+360°(1))\frac{1}{3}]=2\textrm{ cis } 130° \approx -1.286+1.532i\)

\(z_{3}=2\textrm{ cis }[(30°+360°(2))\frac{1}{3}]=2\textrm{ cis } 250° \approx -0.684 - 1.891i\)

El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.

12. Encuentre las raíces cubicas de \(27 \textrm{cis} 300°\):
\(w = 27\textrm{ cis }300°\)
Entonces
\(z_{1}=3\textrm{ cis }[(300°+360°(0))\frac{1}{3}]=3\textrm{ cis } 100° \approx -0.5209+2.954i\)
\(z_{2}=3\textrm{ cis }[(300°+360°(1))\frac{1}{3}]=3\textrm{ cis } 220° \approx -2.298-1.928i\)

\(z_{3}=3\textrm{ cis }[(300°+360°(2))\frac{1}{3}]=3\textrm{ cis } 340° \approx 2.819-1.026i\)

El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.

13. Encuentre las raíces cuárticas de \(i\):
\(w = \textrm{ cis }90°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 22.5° \approx 0.9239+0.3827i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 112.5° \approx -0.3827+0.9239i\)

\(z_{3}=\textrm{ cis }[(90°+360°(2))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 202.5° \approx -0.9239-0.3827i\)
\(z_{4}=\textrm{ cis }[(90°+360°(3))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 292.5° \approx 0.3827-0.9239i\)

El diagrama de Argand de la situación. z5 es w.

Las raíces n-ésimas de la unidad

Veremos como obtener las raíces n-ésimas de un número complejo cualquiera, pero antes de eso vamos a concentrarnos en obtener las raíces n-ésimas de un único número complejo específico: el número 1. A partir de esto tendremos la intuición para resolver el problema general.

En esta entrada analizaremos la ecuación \(z^{n} = 1\) dónde \(z \in \mathbb{C}\) y \(n \in \mathbb{Z}^{+}\). Los números complejos que cumplen esta ecuación se les llamarán "las raíces n-ésimas de unidad" por ser "las raíces n-ésimas del número 1", en otras palabras son "todos los números complejos que resultan 1 al ser elevados a una potencia entera positiva \(n\)".

Se les dice las raíces n-ésimas de la unidad porque \(z = (1)^{\frac{1}{n}}\). Cuando trabajamos únicamente con los números reales el resultado puede ser \(1\) ó también \(-1\), según si \(n\) es par o impar. Sin embargo, si consideramos el resto de los números complejos, obtendremos más resultados.

El teorema de de Moivre nos puede servir para determinar cuántos y cuáles números son las n-ésimas raíces de la unidad. Podemos deducir las siguientes propiedades de las raíces n-ésimas de la unidad a partir del teorema de de Moivre:

• Todas las raíces n-ésimas de la unidad deben de tener un módulo de 1, ya que si no cumplen esto el módulo de la potencia al elevarse a la \(n\) no será 1. Esto se cumple ya que el único número real positivo \(r\) (módulo de un número complejo) que al elevarse a una potencia entera positiva se obtiene 1 es el número 1.
• Todas las raíces n-ésimas de la unidad deben de tener un argumento diferente cada uno. Esto se debe de cumplir para considerar sólo los números complejos que sean diferentes. Si el argumento es el mismo (o un ángulo equivalente) entonces será un número repetido porque todos tienen el mismo módulo.
• El número 1 siempre es una de las raíces n-ésimas de unidad. Demostración: \(1^n = (\textrm{ cis }0°)^n = \textrm { cis } (n(0°)) = \textrm{ cis } 0° = 1\) para todos los casos.
• La multiplicación del argumento en grados de una raíz n-ésima de unidad por la potencia \(n\) resulta en un múltiplo de 360°  (ejemplos: -360°, 0°, 360°, 720°, 1080°, etc.) Esto se cumple ya que al aplicar el teorema de de Moivre se tiene que obtener 1. El argumento resultante de aplicar el teorema es \(n \times \theta\), este número debe de ser un múltiplo de 360° para que sea el argumento del número 1.
• La multiplicación del argumento en radianes de una raíz n-ésima de unidad por la potencia \(n\) resulta en un múltiplo de \(2\pi \) (ejemplos: \(-2\pi\), \(0\), \(2\pi\), \(4\pi\), \(6\pi\), etc.) Esto se cumple ya que al aplicar el teorema de de Moivre se tiene que obtener 1. El argumento resultante de aplicar el teorema es \(n \times \theta\), este número debe de ser un múltiplo de \(2\pi\) para que sea el argumento del número 1. 

1. Caso \(n = 1\): \(z = 1\)

El único número complejo que cumple la igualdad \(z = 1\) es el número 1. Por lo tanto tendremos:
\[z_{1} = 1\]
En forma polar vemos que:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0°\]
Y podemos graficar el resultado en el Diagrama de Argand:

Caso n = 1
[Todas las gráficas de esta entrada fueron hechas en Geogebra]

2. Caso \(n = 2\): \(z^2 = 1\)

Hay dos números complejos que cumplen \(z^2 = 1\), estos son \(z=\pm 1\). Por lo tanto tendremos:
\[z_{1} = 1\]
\[z_{2} = -1\]

En forma polar vemos que:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0°\]
\[z_{2} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180°\]
Podemos utilizar el teorema de de Moivre para confirmar este hecho:
\((z_{1})^2= ( \textrm{ cis } 0°)^2 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^2= (\textrm{ cis } 180°)^2 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
Y podemos graficar el resultado en el Diagrama de Argand:

Caso n = 2

3. Caso \(n = 3\): \(z^3 = 1\)

Al aplicar las propiedades de arriba vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 120° y 240°, entonces:

\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]

\[z_{2} = e^{\frac{2\pi}{3}i} = \textrm{ cis } 120° = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 240° = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]

Podemos utilizar el teorema de de Moivre para confirmar este hecho:
\((z_{1})^3= ( \textrm{ cis } 0°)^3 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^3= (\textrm{ cis } 120°)^3 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^3= (\textrm{ cis } 240°)^3 = \textrm{ cis } 720° = 1\)

Graficando en el diagrama de Argand vemos que toman una forma muy familiar, un triángulo:

Caso n = 3

4. Caso \(n = 4\): \(z^4 = 1\)
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 90°, 180° y 270°:

\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]

\[z_{2} = e^{\frac{\pi}{2}i} = \textrm{ cis } 90° = i\]
\[z_{3} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{4} = e^{\frac{3\pi}{2} i} = \textrm{ cis } 270° = -i\]

Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^4= ( \textrm{ cis } 0°)^4 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^4= (\textrm{ cis } 90°)^4 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^4= (\textrm{ cis } 180°)^4 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^4= (\textrm{ cis } 270°)^4 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)

Si los graficamos obtenemos una figura familiar, un cuadrado:

Caso n = 4 

5. Caso \(n = 5\): \(z^5 = 1\)

Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 72°, 144°, 216° y 288°:

\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]

\[z_{2} = e^{\frac{2\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 72° \approx 0.309 + 0.951i\]
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 144° \approx -0.809 + 0.588i\]
\[z_{4} = e^{\frac{6\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 216° \approx -0.809 - 0.588i\]

\[z_{5} = e^{\frac{8\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 288° \approx  0.309 - 0.951i\]

Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^5= ( \textrm{ cis } 0°)^5 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^5= (\textrm{ cis } 72°)^5 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^5= (\textrm{ cis } 144°)^5 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^5= (\textrm{ cis } 216°)^5 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^5= (\textrm{ cis } 288°)^5 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)

Si graficamos obtenemos un pentagono:

El caso n = 5

6. Caso \(n = 6\): \(z^6 = 1\)

Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 60°, 120°, 180°, 240° y 300°:

\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]

\[z_{2} = e^{\frac{\pi}{3}i} = \textrm{ cis } 60° = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i  \]
\[z_{3} = e^{\frac{2\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 120° = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[z_{4} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{5} = e^{\frac{4\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 240° = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[z_{6} = e^{\frac{5\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 300° = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]

Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^6= ( \textrm{ cis } 0°)^6 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^6= (\textrm{ cis } 60°)^6 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^6= (\textrm{ cis } 120°)^6 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^6= (\textrm{ cis } 180°)^6 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^6= (\textrm{ cis } 240°)^6 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
\((z_{6})^6= (\textrm{ cis } 300°)^6 = \textrm{ cis } 1800° = 1\)

Si graficamos obtenemos un hexagono:

El caso n = 6

7. Caso \(n = 7\): \(z^7 = 1\)

Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son (aproximadamente) 51.4°, 102.9°, 154.3°, 205.7°, 257.1° y 308.6°:

\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]

\[z_{2} = e^{\frac{2\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 51.\overline{428571}° \approx 0.623 + 0.782i\]
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 102.\overline{857142}° \approx -0.223 + 0.975i\]
\[z_{4} = e^{\frac{6\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 154.\overline{285714}° \approx -0.901 + 0.434i\]
\[z_{5} = e^{\frac{8\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 205.\overline{714285}° \approx -0.901 - 0.434i\]
\[z_{6} = e^{\frac{10\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 257.\overline{142857}° \approx -0.223 - 0.975i\]
\[z_{7} = e^{\frac{12\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 308.\overline{571428}° \approx 0.623 - 0.782i\]

Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^7= ( \textrm{ cis } 0°)^7 = \textrm{cis} 0° = 1\)
\((z_{2})^7= (\textrm{ cis } 51.\overline{428571}°)^7 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^7= (\textrm{ cis } 102.\overline{857142}°)^7 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^7= (\textrm{ cis } 154.\overline{285714}°)^7 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^7= (\textrm{ cis } 205.\overline{714285}°)^7 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
\((z_{6})^7= (\textrm{ cis } 257.\overline{142857}°)^7 = \textrm{ cis } 1800° = 1\)
\((z_{7})^7= (\textrm{ cis } 308.\overline{571428}°)^7 = \textrm{ cis } 2160° = 1\)

Si graficamos obtenemos un heptagono:

El caso n = 7

8. Caso \(n = 8\): \(z^8 = 1\)

Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° y 315°:

\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]

\[z_{2} = e^{\frac{\pi}{4}i} = \textrm{ cis } 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{3} = e^{\frac{\pi}{2}i} = \textrm{ cis } 90° = i\]
\[z_{4} = e^{\frac{3\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{5} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{6} = e^{\frac{5\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 225° = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{7} = e^{\frac{3\pi}{2} i} = \textrm{ cis } 270° = -i\]
\[z_{8} = e^{\frac{7\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 315° = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\]

Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^8= ( \textrm{cis} 0°)^8 = \textrm{cis} 0° = 1\)
\((z_{2})^8= (\textrm{cis} 45°)^8 = \textrm{cis} 360° = 1\)
\((z_{3})^8= (\textrm{cis} 90°)^8 = \textrm{cis} 720° = 1\)
\((z_{4})^8= (\textrm{cis} 135°)^8 = \textrm{cis} 1080° = 1\)
\((z_{5})^8= (\textrm{cis} 180°)^8 = \textrm{cis} 1440° = 1\)
\((z_{6})^8= (\textrm{cis} 225°)^8 = \textrm{cis} 1800° = 1\)
\((z_{7})^8= (\textrm{cis} 270°)^8 = \textrm{cis} 2160° = 1\)
\((z_{7})^8= (\textrm{cis} 315°)^8 = \textrm{cis} 2520° = 1\)

Si graficamos obtenemos un octagono:

Caso n = 8

Conclusión:
Las raíces n-ésimas de unidad son los números complejos solución a \(z^{n} = 1\) para \( n = 1,2,3,4,5,6,\cdots\). Se pueden expresar como:
\[e^{2\pi i k/n} \textrm{           donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n-1\]
O alternativamente de la forma:
\[\textrm{ cis } [(360°)k/n] \textrm{          donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n-1\]
Si se grafican en el diagrama de Argand se obtiene un polígono regular de \(n\) lados con un vértice en el número 1 para los casos \( n \ge 3\).
Notamos también que si aparece un número no real como una raíz n-ésima de la unidad entonces aparece también su conjugado como una raíz n-ésima de la unidad.

Aplicación del teorema de de Moivre para encontrar potencias enteras

Si un número está en la forma módulo-argumental podemos aplicar el teorema de de Moivre para encontrar el resultado de elevar el número a una potencia que sea entera \(n\):
\[\left ( r \textrm{ cis }\theta \right )^{n} = r^n \textrm{ cis }n\theta\]
Si el número no se encuentra en la fórmula módulo-argumental se tiene que convertir la forma del número complejo a la forma módulo-argumental.

Con este método se puede encontrar el resultado de elevar un número complejo a una potencia entera sin necesidad de realizar una expansión binomial de la forma cartesiana del número complejo. Ahorrar estos pasos es muy útil en el caso que sea una potencia muy grande. El resultado será obtenido en la forma módulo-argumental por lo que será necesaria la conversión de vuelta a la forma cartesiana si se le exige expresar el resultado de esa forma.

Ejemplos:

1. \(2^{3} = \left ( 2 \textrm{ cis } 0 \right )^{3} = 2^3 \textrm{ cis }(3)(0) = 8\)
2. \((-2)^{3} = \left ( 2 \textrm{ cis } \pi \right )^{3} = 2^3 \textrm{ cis }(3\pi) = -8\)
3. \((-2)^{4} = \left ( 2 \textrm{ cis } \pi \right )^{4} = 2^4 \textrm{ cis }(4\pi) = 16\)
4. \((i)^{10} = \left ( 1\textrm{ cis } \frac{\pi}{2} \right )^{10} = 1^{10} \textrm{ cis }(5\pi) = -1\)
5. \((-i)^{10} = \left ( 1\textrm{ cis }\frac{3 \pi}{2} \right )^{10} = 1^{10}\textrm{ cis }(15\pi) = -1\)
6. \((i)^{9} = \left ( 1\textrm{ cis } \frac{\pi}{2} \right )^{9} = 1^9 \textrm{ cis }(\frac{9\pi}{2}) = i\)
7. \((-i)^{9} = \left ( 1\textrm{ cis }\frac{3 \pi}{2} \right )^{9} = 1^9 \textrm{ cis }(\frac{27\pi}{2}i) = -i\)
8. \((3 \textrm{ cis } 5°)^{-2} = \frac{1}{9} \textrm{ cis }(10°) = 16\)
9. \((2 \textrm{ cis } 1)^{-1} = \frac{1}{2} \textrm{ cis }(-1) \approx  0.270 - 0.421i \)
10. \((7 \textrm{ cis } 10°)^{3} = 343 \textrm{ cis }(30°) = \frac{343\sqrt{3}}{2}+\frac{343}{2}i\)
11. \((2 \textrm{ cis } 45°)^{2} = 4 \textrm{ cis }(90°) = 4i\)
12. \((\textrm{ cis } 90°)^{2} = \textrm{ cis }(180°) = -1\)
13. \((1 + i)^2 = (\sqrt{2} \textrm{ cis } 45°)^2 = 2 \textrm{ cis } 90° = 2i\)
14. \((1 + i)^{20} = (\sqrt{2} \textrm{ cis } 45°)^{20} = 1024 \textrm{ cis } 900° = -1024\)

El teorema de de Moivre

Considerando la forma de Euler de \(z \in \mathbb{C}\), usando las propiedades de los exponentes y tomando en cuenta que \(n \in \mathbb{Z}\) es fácil ver que:
\[z^{n}=\left (re^{i\theta}\right )^n=r^{n}e^{i\theta n}\]
Otra forma de ver este resultado es en la forma polar:
\[
\begin{align*}

z^{n} &= \left (r(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)\right )^n \\
 &=\left (r^n(\cos (n\theta) + i \textrm{sen } (n\theta)\right )
\end{align*}

\]
El teorema de de Moivre nos dice que para todo \(n \in \mathbb{Z}\) se cumplirá que:
\[\left (\cos \theta + i \textrm{sen} \theta \right)^{n}=\cos (n\theta) + i \textrm{sen } (n\theta)\]
El teorema de de Moivre se puede demostrar fácilmente para todos los enteros positivos utilizando inducción matemática. Esta es la demostración:

1. Demostración del caso base:
Notamos que, por un lado: \[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^1 = \cos \theta + i \textrm{sen } \theta \]
Por el otro lado:
\[(\cos (1\theta) + i \textrm{sen } (1\theta)) = \cos \theta + i \textrm{sen } \theta \]
Como por ambos lados es lo mismo queda demostrado el caso base \(n = 1\).

2. El paso inductivo
Supongamos que se cumple para algún enero \(n = k\), entonces: \[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^k = (\cos k\theta + i \textrm{sen } k\theta)\]
Consideremos ahora el caso \(n = k+1\): \[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^k(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)\]
Usando la hipótesis de inducción tenemos:
\[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} = (\cos k\theta + i \textrm{sen } k\theta)(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)\] Multiplicando tenemos las expresiones:
\[
\begin{align*}
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= (\cos k\theta)(\cos \theta) + (\cos k\theta)(i \textrm{sen } \theta) \\
 &  + (i \textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + (i \textrm{sen } k\theta)(i \textrm{sen } \theta) \\
& \\
&= (\cos k\theta)(\cos \theta) + i(\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& +  i(\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + i^2(\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& \\
&= (\cos k\theta)(\cos \theta) + i(\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& +  i(\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) - (\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta)
\end{align*}
\]
Acomodando según parte real y parte imaginaria tenemos:
\[
\begin{align*}
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= (\cos k\theta)(\cos \theta) - (\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& +  i\left [ (\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + (\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \right ]
\end{align*}
\]
Podemos ver en el formulario de Matemáticas NS del Bachillerato Internacional dos identidades trigonométricas útiles para simplificar la expresión anterior, las identidades del coseno y seno de suma de ángulos:
\[\cos (A + B) = \cos A \cos B - \textrm{sen }A\textrm{sen }B\]\[\textrm{sen}(A + B) = \textrm{sen }A \cos B - \cos A \textrm{sen }B\]
Lo anterior se cumple para cualquier ángulo \(A\) y \(B\), consideremos el caso más específico con las variables \(\theta\) y \(k\theta\):
\[\cos k\theta \cos \theta - \textrm{sen }k\theta \textrm{ sen }\theta = \cos (k\theta + \theta)\]\[\textrm{sen }k \theta \cos \theta + \cos k \theta \textrm{ sen }\theta = \textrm{sen}(k\theta + \theta)\]
Utilizando las dos identidades anteriores llegamos a lo siguiente:
\[
\begin{align*}
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= \cos (k\theta + \theta) + i \textrm{sen }(k\theta + \theta)\\
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= \cos ((k+1)\theta) + i \textrm{sen }((k+1)\theta)
\end{align*}
\]
Lo anterior está en la forma de lo que se quería demostrar. Entonces se cumple para \(n = k + 1\) si se cumple para \(n = k\). Como se cumple para \(n = 1\) entonces se cumple para todo entero positivo por inducción matemática.

Ejemplos de aplicación del teorema de de Moivre:

1. \((\cos 30° + i \textrm{sen } 30°)^{2} = \cos 60° + i \textrm{sen } 60°\)
2. \((\cos 10° + i \textrm{sen } 10°)^{300} = \cos 3000° + i \textrm{sen } 3000°\)
3. \((\cos \frac{\pi}{2} + i \textrm{sen } \frac{\pi}{2})^{-2} = \cos (-\pi) + i \textrm{sen } (-\pi)\)
4. \((\cos \frac{\pi}{3} + i \textrm{sen } \frac{\pi}{3})^{6} = \cos (2\pi) + i \textrm{sen } (2\pi)\)
5. \((e^{i\pi})^{-3} = e^{-3i\pi}\)
6. \((e^{2i})^{7} = e^{14i}\)
7. \(( \textrm{cis } 1.5\pi)^0 = \textrm{cis }(0) \)
8. \((\textrm{cis } 30°)^2 = \textrm{cis } (60°)\)
9. \((\textrm{cis } \frac{\pi}{4})^2 = \textrm{cis } (\frac{\pi}{2}) \)
10. \((\textrm{cis } \pi)^1 = \textrm{cis }(\pi) \)

Demostración por inducción matemática

Una de las técnicas más útiles para demostrar una cadena de hechos \(S(n)\) para \(n \in \mathbb{Z}^{+}\) es la demostración por inducción matemática.

Hay dos pasos principales para demostrar una cadena de hechos por inducción matemática:

1. Demostración del caso base
Demostramos que se cumple el hecho para un número entero inicial, comúnmente es el número \(1\), pero puede ser otro valor. Éste es el paso más fácil.

En este paso hay que demostrar directamente que el hecho se cumple para \(n=a\) dónde \(a\) es el entero inicial. Como parte de la inducción matemática se demostrará que la propiedad se cumple para este valor (demostración directa) y para todos los enteros arriba de este valor (demostración indirecta).

Para demostrar el caso base basta con mostrar que \(S(a)\) se cumple. Como ya se mencionó, lo más común es que se tenga que demostrar \(S(1)\). Sin embargo, puede que se le pida que empiece con otros valores como por ejemplo: \(S(0)\), \(S(2)\), \(S(-1)\), \(S(4)\), etc.

2. El paso inductivo
El paso inductivo es el paso más complicado. En este paso se tiene que demostrar que: "Si el hecho se cumple para algún valor \(n = k\) entonces el hecho se cumplirá para el siguiente valor \(n = k+1\)".

Consiste en demostrar que:
\[\textrm{Si } S(k) \textrm{ se cumple, entonces } S(k+1) \textrm{ se cumple}\]
\[S(k) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(k+1) \textrm{ se cumple}\]

Es decir:

1. Tomamos como hipótesis que el hecho es verdadero para algún número \(k\), sin justificación. Esta parte comúnmente se llama hipótesis de inducción.
2. Demostramos que si se cumple para algún número \(k\), entonces podemos asegurar que se cumplirá para  el número que sigue después de ese "algún" número \(k\), el número que sigue después de \(k\) es el número \(k+1\).

3. Conclusión

Juntando los dos hechos demostrados del caso baso y el paso inductivo llegamos a la conclusión que el hecho se deber de cumplir para todos los números enteros \(n \ge a\).

Por ejemplo, si demostramos 1. "\(S(1) \textrm{ se cumple}\)" y 2. "\(S(k) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(k+1) \textrm{ se cumple}\)" entonces usando los dos hechos podemos deducir que: "\(S(1) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(2) \textrm{ se cumple}\)". Luego usando este nuevo hecho con el paso inductivo tenemos que: \(S(2) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(3) \textrm{ se cumple}\), continuando: \(S(3) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(4) \textrm{ se cumple}\), \(S(4) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(5) \textrm{ se cumple}\), \(S(5) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(6) \textrm{ se cumple}\), \(S(6) \textrm{ se cumple} \Rightarrow S(7) \textrm{ se cumple}\),etc.

Para demostrarle al evaluador que entiendes la lógica de la inducción es útil practicar escribir el siguiente párrafo dónde el valor de \(a\) correspondería con el término inicial. "Entonces el hecho se cumple para \(n = k+1\) si se cumple para algún entero \(n = k\), como se cumple para \(n = a\) entonces se cumple para todo entero mayor o igual a \(a\) por inducción matemática." 

Ejemplos:

Problema 1. Demuestre usando inducción matemática que \(A(n)=6+3n\) es un múltiplo de 3 para todo valor \(n \in \mathbb{Z}^{+}\).

1.1 Demostración del caso base
\[A(1)=6+3(1)=9\] El resultado es un múltiplo de 3 ya que \((3)(3) = 9\)

1.2 El paso inductivo
Supongamos que se cumple para algún valor \(n = k\), entonces:
\[A(k)=6+3k=3a \;\;\; a \in \mathbb{Z}\]Observando el caso \(n=k+1\):
\[A(k+1)=6+3(k+1)=6+3k+3=(6+3k)+3=A(k)+3\]Aplicando la hipótesis de inducción vemos que:
\[A(k+1)=3a+3=3(a+1)\]Como \((a+1) \in \mathbb{Z}\) entonces se cumple el hecho para \(A(k+1)\) si se cumple para \(A(k)\).

1.3 Conclusión
"Entonces el hecho se cumple para \(n = k+1\) si se cumple para algún entero \(n = k\), como se cumple para \(n = 1\) entonces se cumple para todo entero mayor o igual a \(1\) por inducción matemática."

Problema 2.  Demuestre usando inducción matemática que \(a_{n}=3(4^{n})\) es divisible entre 4 para todo valor \(n \in \mathbb{Z}^{+}\).

2.1 Demostración del caso base
\[a_{1}=3(4^{1})=3(4)=12\] El resultado es un múltiplo de 4 ya que \((4)(3) = 12\)

2.2 El paso inductivo
Supongamos que se cumple para algún valor \(n = k\), entonces:
\[a_{k}=3(4^{k})=4b \;\;\; b \in \mathbb{Z}\]Observando el caso \(n=k+1\):
\[a_{k+1}=3(4^{k+1})=3(4^{k})(4)=(a_{k})(4)\]Aplicando la hipótesis de inducción vemos que:
\[a_{k+1}=(4b)(4)=4(4b)\]Como \((4b) \in \mathbb{Z}\) entonces se cumple el hecho para \(a_{k+1}\) si se cumple para \(a_{k}\).

2.3 Conclusión
"Entonces el hecho se cumple para \(n = k+1\) si se cumple para algún entero \(n = k\), como se cumple para \(n = 1\) entonces se cumple para todo entero mayor o igual a \(1\) por inducción matemática."

Problema 3. Demuestre usando inducción matemática que la suma de los primeros \(n\) enteros enteros para \(n \in \mathbb{Z}^{+}\) es igual a:\[\frac{n(n+1)}{2}\]
3.1 Demostración del caso base
Vemos que la suma del primer entero positivo es igual a 1.
Vemos que: \[\frac{1(1+1)}{2}=1\]Por lo anterior hemos demostrado que el caso base se cumple.

3.2 El paso inductivo
Supongamos que se cumple para algún valor \(n = k\), entonces:
\[\textrm{Suma de primeros } k \textrm{ enteros positivos } = \sum_{i=1}^{k}i= \frac{k(k+1)}{2}\]Observando el caso \(n=k+1\):
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ enteros positivos } = \sum_{i=1}^{k+1}i\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ enteros positivos } = \left (\sum_{i=1}^{k}i\right ) + (k+1) \]
Aplicando la hipótesis de inducción vemos que:
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ enteros positivos }= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ enteros positivos }= \frac{k^2+k}{2} + \frac{2k+2}{2}\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ enteros positivos }= \frac{k^2+3k+2}{2}\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ enteros positivos }= \frac{(k+1)(k+2)}{2}\]Como tiene la forma del hecho que queremos probar entonces sí se cumple el hecho para el caso donde \(n = k+1\) si se cumple para el caso \(n = k\).

3.3 Conclusión
"Entonces el hecho se cumple para \(n = k+1\) si se cumple para algún entero \(n = k\), como se cumple para \(n = 1\) entonces se cumple para todo entero mayor o igual a \(1\) por inducción matemática."

Problema 4. Demuestre usando inducción matemática que la suma de los primeros \(n\) términos (\(n \in \mathbb{Z}^{+}\)) de una secuencia geométrica con \(r = 0.5\) y término inicial \(u_{1}=4\) es igual a:
\[8(1-(0.5)^n)\]
4.1 Demostración del caso base
Vemos que la suma del primer término es igual a 4.
Vemos que: \[8(1-(0.5)^1)=8(0.5)=4\]Por lo anterior hemos demostrado que el caso base se cumple.

4.2 El paso inductivo
Supongamos que se cumple para algún valor \(n = k\), entonces:
\[\textrm{Suma de primeros } k \textrm{ términos } = \sum_{i=1}^{k}4(0.5)^{i-1} =  8(1-(0.5)^k)\]Observando el caso \(n=k+1\):
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos } = \sum_{i=1}^{k+1}4(0.5)^{i-1}\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos } = \left (\sum_{i=1}^{k}4(0.5)^{i-1}\right ) + 4(0.5)^k\]Aplicando la hipótesis de inducción vemos que:
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos }= 8(1-(0.5)^{k}) + 4(0.5)^{k}\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos }= 8-8(0.5)^k + 4(0.5)^k\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos }= 8-4(0.5)^k\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos }= 8-\frac{8}{2}(0.5)^k\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos }= 8-8(0.5)^{k+1}\]
\[\textrm{Suma de primeros } k+1 \textrm{ términos }= 8(1-(0.5)^{k+1})\]Como tiene la forma del hecho que queremos probar entonces sí se cumple el hecho para el caso donde \(n = k+1\) si se cumple para el caso \(n = k\).

4.3 Conclusión
"Entonces el hecho se cumple para \(n = k+1\) si se cumple para algún entero \(n = k\), como se cumple para \(n = 1\) entonces se cumple para todo entero mayor o igual a \(1\) por inducción matemática."