Principio de conteo de la multiplicación

Nos interesa contar el número de formas diferentes de hacer cosas, acomodar objetos y/o elegir opciones. El área de las matemáticas que tiene como parte de su estudio el conteo se llama combinatoria.

Tenemos el siguiente principio de conteo de la multiplicación:

"Si actividad consta de 2 pasos, donde el primer paso se puede hacer de \(a\) formas y donde el segundo paso se puede hacer de \(b\) formas entonces el número total de formas en que se pueden realizar la actividad son \(ab\)."

Ejemplos del caso de dos elecciones:

• En un restaurante se pueden elegir 5 refrescos diferentes y 3 platillos diferentes. Entonces el número de formas diferentes de elegir un refresco y un platillo es 15.
• Si se tienen a elegir 10 camisas diferentes y 23 pantalones diferentes. Entonces el número total de formas diferentes de elegir una camisa y un pantalón es \((10)(23)=230\).
• Considerando que hay 26 letras diferentes en un alfabeto ¿Cuántas "palabras" de dos letras se pueden hacer con las 26 letras del alfabeto especificado? Hay que notar que esto equivale a tener 26 formas diferentes de realizar el primer paso, que es asignar la primera letra, luego ha 26 formas diferentes de realizar el segundo paso que es asignar la segunda letra. Por lo tanto la respuesta es \(26^{2}\) palabras, es decir, \(676\) palabras. 

Podemos generalizarlo para considerar más de dos elecciones diferentes:

"Si una actividad consta de \(m\) pasos diferentes, donde el primer paso se puede hacer de \(n_{1}\) formas diferentes, y donde el segundo paso se puede hacer de \(n_{2}\) formas diferentes, y donde el tercer paso se puede hacer de \(n_{3}\) formas diferentes, y así sucesivamente para todos los \(m\) pasos. Entonces la actividad puede ser llevada a cabo de:

\[n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}\cdots n_{m-1}n_{m}\] formas diferentes". La expresión anterior se puede expresar de forma más simple de la siguiente forma:

\[\prod_{i=1}^{m}n_{i}\] 

Donde el símbolo \(\prod\) representa el producto de todos los términos a evaluarse, esto es similar al uso del símbolo para la suma \(\sum\).

Ejemplos del caso de varias elecciones:

• En un restaurante se pueden elegir 5 refrescos diferentes, 2 platillos principales y 3 postres diferentes. Las personas también pueden decidir si quieren o no hielos en la soda. Según lo anterior, el número de formas diferentes de elegir un refresco, un platillo principal, un postre y los hielos es \((5)(2)(3)(2)=60\).
• Se planea vestirse escogiendo un par de calcetines, una camisa, un pantalón y unos zapatos. Si tiene 3 pares pares de calcetines diferentes, 5 camisas diferentes, 2 pantalones diferentes y 4 zapatos diferentes. El número total de formas diferentes de vestirse es \((3)(5)(2)(4)=120\).
• Considerando que hay 26 letras diferentes en un alfabeto ¿Cuántas "palabras" de 5 letras se pueden hacer con las 26 letras del alfabeto especificado? Hay que notar que esto equivale a tener 26 opciones diferentes para el primer paso (la opción de la primera letra), 26 opciones diferentes para el segundo paso (la opción de la segunda letra), 26 opciones diferentes para el tercer paso (la opción de la tercera letra), etc. La respuesta es \(26^{5}\) palabras, es decir \(11,881,376\)