Propiedades del conjugado de un número complejo

Estableceremos algunas propiedades del conjugado de un número complejo que nos ayudarán a demostrar el teorema de las raíces conjugadas de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales.

Todas las siguientes propiedades se pueden demostrar escribiendo los números en la forma cartesiana y realizando las operaciones correspondientes. La propiedad de potencias se puede demostrar fácilmente con el teorema de de Moivre.

Sean \(z \in \mathbb{C}\) y \(w \in \mathbb{C}\), entonces se cumple que:

1. El conjugado de la suma de números complejos es igual a la suma de los conjugados de cada número complejo.
\[\overline{(z+w)}=\overline{z}+\overline{w}\]
Podemos generalizar esta propiedad para que aplique en una suma de varios términos. Es fácil demostrar esta generalización gracias a las propiedades de la suma:
\[\overline{\left (\sum_{i=1}^{n}z_{i}  \right )}=\sum_{i=1}^{n}\overline{z_{i}}\]

2. El conjugado de la resta de dos números complejos es igual a la resta de los conjugados de cada número complejo.
\[\overline{(z-w)}=\overline{z}-\overline{w}\]

3. El conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual a la multiplicación de los conjugados de cada número complejo.
\[\overline{(zw)}=\overline{z}\overline{w}\]

4. El conjugado de la división de dos números complejos es igual a la división de los conjugados de cada número complejo, siempre que \(w \ne 0\).
\[\overline{\left (\frac{z}{w}\right )}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}\]

5. El conjugado del resultado de elevar un número complejo elevado a una potencia entera \(n\) es igual al resultado de elevar a una potencia entera el conjugado del número complejo.
\[\overline{z^{n}}=\overline{z}^{n} \;\textrm{  para cualquier entero  }\;n\]

6. El conjugado de un número real es el número mismo.
\[\overline{z}=z \;\textrm{  si y sólo si  }\;z \in \mathbb{R}\]

7. El conjugado de un número complejo tiene el mismo módulo que el número complejo.
\[\left |\overline{z}\right |=\left |{z}\right |\]

8. La multiplicación de un número complejo por su conjugado resulta en el módulo del número elevado al cuadrado .
\[\left |z\right |^2=\overline{z}z=z\overline{z}\]

9. El conjugado del conjugado es el número original.
\[\overline{\overline{z}}=z\]

10. El resultado de elevar un número complejo a la \(-1\) potencia resulta en el conjugado dividido entre el módulo del número al cuadrado.
\[z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\left |z\right |^2}\]