Estableceremos algunas propiedades del conjugado de un número complejo que nos ayudarán a demostrar el teorema de las raíces conjugadas de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales.
Todas las siguientes propiedades se pueden demostrar escribiendo los números en la forma cartesiana y realizando las operaciones correspondientes. La propiedad de potencias se puede demostrar fácilmente con el teorema de de Moivre.
Sean z \in \mathbb{C} y w \in \mathbb{C}, entonces se cumple que:
1. El conjugado de la suma de números complejos es igual a la suma de los conjugados de cada número complejo.
\overline{(z+w)}=\overline{z}+\overline{w}
Podemos generalizar esta propiedad para que aplique en una suma de varios términos. Es fácil demostrar esta generalización gracias a las propiedades de la suma:
\overline{\left (\sum_{i=1}^{n}z_{i} \right )}=\sum_{i=1}^{n}\overline{z_{i}}
2. El conjugado de la resta de dos números complejos es igual a la resta de los conjugados de cada número complejo.
\overline{(z-w)}=\overline{z}-\overline{w}
3. El conjugado de la multiplicación de dos números complejos es igual a la multiplicación de los conjugados de cada número complejo.
\overline{(zw)}=\overline{z}\overline{w}
4. El conjugado de la división de dos números complejos es igual a la división de los conjugados de cada número complejo, siempre que w \ne 0.
\overline{\left (\frac{z}{w}\right )}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}
5. El conjugado del resultado de elevar un número complejo elevado a una potencia entera n es igual al resultado de elevar a una potencia entera el conjugado del número complejo.
\overline{z^{n}}=\overline{z}^{n} \;\textrm{ para cualquier entero }\;n
6. El conjugado de un número real es el número mismo.
\overline{z}=z \;\textrm{ si y sólo si }\;z \in \mathbb{R}
7. El conjugado de un número complejo tiene el mismo módulo que el número complejo.
\left |\overline{z}\right |=\left |{z}\right |
8. La multiplicación de un número complejo por su conjugado resulta en el módulo del número elevado al cuadrado .
\left |z\right |^2=\overline{z}z=z\overline{z}
9. El conjugado del conjugado es el número original.
\overline{\overline{z}}=z
10. El resultado de elevar un número complejo a la -1 potencia resulta en el conjugado dividido entre el módulo del número al cuadrado.
z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\left |z\right |^2}
muy bueno
ResponderBorrarEn la propiedad 4, w tiene que ser distinto de 0 no z. Saludos.
ResponderBorrarMuchas gracias por el comentario. Ya realicé la corrección. Saludos.
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