Permutaciones

Comúnmente al contar la asignación de objetos diferentes a una cantidad de lugares distintos donde el orden es importante obtenemos patrones de números decrecientes que se detienen en algún número o llegan hasta el número uno.

Por ejemplo:

• Hay 10 alumnos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar un presidente, un secretario y un tesorero (3 puestos)? La respuesta es \((10)(9)(8)=720\).
• Hay 5 temas diferentes en el programa, para este semestre se tienen que ver 2 temas. ¿De cuantas formas diferentes se pueden elegir los temas y el orden al ver los 2 temas del semestre? La respuesta es \((5)(4)=20\)
• ¿Cuántas "palabras" de 7 letras se pueden hacer con las letras la palabra PERMUTACION (11 letras diferentes)? La respuesta es \((11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)=1663200\)
• ¿Cuantos números diferentes de 6 dígitos se pueden hacer con los dígitos del número 123456 (6 objetos asignados a 6 lugares)? La respuesta es \((6)(5)(4)(3)(2)(1)=720\)

Notamos que en las situaciones anteriores el orden de la asignación de los objetos sí importa. A estas situaciones de asignación de objetos en lugares diferentes donde el orden importa les llamaremos permutaciones de objetos.

Definiremos las "permutaciones de \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos" como el número de formas de asignar \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos donde sí importa el orden de asignación. Se denotará de la forma:
\[_{}^{n}P_{r}=(n)(n-1)\cdots(n-r+1)\]
Podemos expresarlo por medio del factorial:
\[_{}^{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\]
Notamos que si \(r=n\) entonces:
\[_{}^{n}P_{n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!\]
También se puede usar la función de la calculadora del programa para calcular estos números. Aparecen el la opciones de probabilidad o llamando la función por el nombre "nPr( )". Sólo hay que insertar los valores de \(n\) y \(r\) en los parámetros.

En los ejemplos anteriores:

• Hay 10 alumnos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar un presidente, un secretario y un tesorero (3 puestos)? La respuesta es \(_{}^{10}P_{3}=720\).
• Hay 5 temas diferentes en el programa, para este semestre se tienen que ver 2 temas. ¿De cuantas formas diferentes se pueden elegir los temas y el orden al ver los 2 temas del semestre? La respuesta es \(_{}^{5}P_{2}=20\)
• ¿Cuántas "palabras" de 7 letras se pueden hacer con las letras la palabra PERMUTACION (11 letras diferentes)? La respuesta es \(_{}^{11}P_{7}=1663200\)
• ¿Cuantos números diferentes de 6 dígitos se pueden hacer con los dígitos del número 123456 (6 objetos asignados a 6 lugares)? La respuesta es \(_{}^{6}P_{6}=720\)