Raíces conjugadas de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales

Una ecuación polinómica con coeficientes reales de grado \(n\) es una ecuación que se puede escribir de la forma:
\[a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\]
Donde \(a_{j}\) son todos números reales, los coeficiente reales. Y \(x\) es la variable que conforma el polinomio de grado \(n\). También podemos escribir la ecuación de la forma:
\[P(x)=0\]
Donde \(P(x)\) la función polinómica correspondiente.

Recordemos que a raíz de un polinomio es un valor que hace que valga cero la expresión.

El teorema de las raíces conjugadas de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales nos dice que: "Si \(P\) es un polinomio de una variable con coeficientes reales y una raíz del polinomio \(P\) es \(x+yi\) entonces el conjugado complejo \(x-yi\) es una raíz de \(P\)."

Ejemplos del teorema:

• Si tenemos un polinomio con coeficientes reales que tiene como raíz \(1+3i\) entonces podemos garantizar que \(1-3i\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales.
• Si tenemos un polinomio con coeficientes reales que tiene como raíz \(4i\) entonces podemos garantizar que \(-4i\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales.
• Si tenemos un polinomio con coeficientes reales que tiene como raíz \(-1-2i\) entonces podemos garantizar que \(-1+2i\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales.
• Si sabemos que en una cuadrática una raíz es \(1-5i\) entonces la otra raíz debe ser \(1+5i\).
• Si sabemos que 100 es una raíz de un polinomio con coeficientes reales entonces podemos garantizar que 100 (su conjugado) es una raíz del polinomio con coeficientes reales. Notar que en este caso el teorema no proporciona información nueva.

Demostración del teorema:
La demostración utiliza propiedades de los conjugados de los números complejos.

Sea \(P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}\)
Donde \(a_{j}\) son todos números reales.

Se puede escribir lo mismo con notación de sumatoria:
\[P(x) =\sum_{j=0}^{n}a_{j}x^{j}\]
Suponga que algún número complejo \(z\) es una raíz del polinomio. Es decir
\[P(z)=\sum_{j=0}^{n}a_{j}z^{j}=0\]
Consideremos la evaluación del conjugado de \(z\) en el polinomio:
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}a_{j}\overline{z}^{j}\]
Como \(j\) es un número entero entonces según la propiedades de los conjugados de que el conjugado elevado a una potencia entera \(n\) es igual al conjugado del resultado de elevar el número a una potencia \(n\):
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}a_{j}\overline{z^{j}}\]
Ahora, como \(a_{j}\) es un número real entonces es lo mismo que \(\overline{a_{j}}\), sustituyendo nos queda:
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}\overline{a_{j}}\overline{z^{j}}\]
Como el resultado de multiplicar cada uno de los conjugados de dos números complejos es igual a obtener el conjugado del resultado de multiplicar los números podemos expresar:
\[P(\overline{z})=\sum_{j=0}^{n}\overline{a_{j}z^{j}}\]

Como la suma de los conjugados de números complejos es igual al conjugado del resultado de la suma tenemos ahora:

\[P(\overline{z})=\overline{\sum_{j=0}^{n}a_{j}z^{j}}\]

Sabemos lo que vale la suma ya que es lo mismo que \(P(z)\) que establecimos que vale 0.
\[P(\overline{z})=\overline{P(z)}\]
\[P(\overline{z})=\overline{0}\]
\[P(\overline{z})=0\]
Con lo anterior se establece que \(\overline{z}\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales si se cumple que \(z\) es una raíz del polinomio con coeficientes reales, esto es lo que se quería demostrar.