Conteo directo y conteo indirecto

A veces nos piden contar situaciones condicionadas a que presenten cierta característica, hay dos estrategias básicas que podemos seguir, debemos de elegir la que sea más fácil y rápida de realizar:

Estrategia 1. Conteo directo calculando el número de los casos que cumplen el criterio

No es práctico enumerar todas las opciones y contarlas dentro del examen, hay que ser más elegantes en la forma de contar. Esta estrategia consiste en contar de forma directa usando los principios de conteo y combinatoria de Matemáticas NS. También puede haber problemas donde se puedan utilizar otros conocimientos del programa.

Ejemplos:

• ¿Cuántos números diferentes se pueden hacer usando los dígitos del número 1234? La respuesta es \((4)(3)(2)(1)=24\). Obtenida porque para el primer dígito se puede escoger cualquiera de los 4 dígitos, para el segundo dígito se pueden escoger cualquiera de los 3 que queden, para el tercer dígito se encoje cualquiera de los 2 que queden y para el último dígito sólo hay una opción.
• ¿Cuántos números divisibles entre 3 hay entre el 1 y el 1000? Podemos realizar este conteo considerando que cada 3 números se encuentra un número divisible entre 3, esto es similar a una secuencia aritmética y nos interesa encontrar el número de términos. Realizando la división vemos que \(1000 = 3(333) + 1\) por lo tanto hay 333 números divisibles entre 3 en ese intervalo. Es una secuencia aritmética donde el término inicial es 3 (el primero divisible) y el final es 999 (el último divisible), con diferencia común de 3; esta secuencia tiene 333 términos.
• Las placas se forman con dos letras (de un alfabeto de 26 letras: 'A', 'B', etc.) seguidas por 4 dígitos (del 0 al 9). ¿Cuántas placas empiezan con 'A' y terminan con '0'?¿Cuál es el total de placas posibles? Consideramos que los valores iniciales y finales de la placa ya se encuentran fijos en 'A' y '0' respectivamente, sólo falta realizar la elección de 1 letra y la elección de 3 dígitos, por lo tanto la respuesta es: \((26)(10)(10)(10)=26,000\). El total de placas posibles es \((26)(26)(10)(10)(10)(10)=6,760,000\).

Estrategia 2. Conteo indirecto de los casos que cumplen el criterio: Contando el total y restando los casos que no cumplen el criterio.

Si contamos el número de casos que cumplen el criterio y lo sumamos con el número de casos que no cumplen el criterio debemos de obtener el total de los casos. Por lo tanto podemos realizar la operación:

Número de casos que cumplen + Número de casos que no cumplen = Número total de los casos 

Número de casos que cumplen = Número total de los casos - Número de casos que no cumplen

Esta es la estrategia a seguir si contar directamente es muy difícil mientras que contar todos y contar los que no cumplen es mucho más fácil.

Ejemplos:

• ¿Cuántos números entre el 0 y el 9,999,999 tienen al 7 en alguno de sus dígitos? Es mucho más fácil contar los que no cumplen porque los que no cumplen son los números que no tienen ningún número 7. El total de números que hay en ese intervalo es \(10^{7}\). El total de números que no tienen ningún 7 en ese intervalo es \(9^{7}\). Así que la cantidad de números que tienen algún 7 en sus dígitos en el intervalo son \(10^{7}-9^ {7}\), esto es igual a \(4,782,929\).
• Un código de identificación se encuentre hecho de 6 letras diferentes. Las letras que se encojen sólo pueden ser 'A', 'B', 'C', 'D', 'E' y 'F'. ¿Cuántos códigos tienen las letras 'D" y "E' separadas? Es más fácil contar los que tienen las letras 'D' y 'E' juntas ya que es como si 'DE' fuera una opción para elegir. El total de formas es \((6)(5)(4)(3)(2)(1)=720\). Ahora contemos las veces que 'DE' se encuentra en el código, consideramos que 'DE' es un símbolo llamado 'O', entonces sólo hay 5 símbolos a elegir ('A', 'B', 'C', 'O' y 'F') para poder realizar un código, por lo que las veces en que se encuentra 'DE' son \((5)(4)(3)(2)(1)=120\). Así que la cantidad de códigos donde las letras 'D' y 'E' se encuentran separadas son \(720-120\), esto es igual a \(600\).