Principio de conteo de la suma

El otro principio de conteo importante es el principio de la suma. El principio de la multiplicación habla de elegir realizar varios pasos en conjunto, por otra parte el principio de la suma nos habla de opciones que no se pueden tomar juntas, es decir, son alternativas.

El principio de la multiplicación está ligado con el nexo 'y' mientras que el principio de la adición se encuentra ligado con el nexo 'o'.

Tenemos el siguiente principio de conteo de la suma:

"Si una actividad tiene 2 formas alternativas de ser realizada, donde la primera alternativa se puede realizar de \(a\) maneras y la segunda alternativa se puede realizar de \(b\) maneras, entonces el número total de formas en que se pueden realizar la actividad es \(a+b\)."

Ejemplos del caso:

• Se consideran los números del 1 al 10. Se debe de elegir un número par de los 5 posibles (2,4,6,8,10) o alternativamente elegir un número impar de los 5 posibles (1,3,5,7,9). El número total de formas de realizar esta elección es \(5+5=10\).
• Si se tiene la opción de elegir comprar una camisa o alternativamente un pantalón (pero no ambos). Si hay 10 camisas diferentes y 11 pantalones diferentes ¿De cuántas formas se puede realizar esta elección? La respuesta es de \(10+11=21\) formas. 
• Se tiene que elegir entre comprar un carro o alternativamente comprar una motocicleta (no se puede comprar un carro y una motocicleta). Hay 5 tipos carros diferentes y 7 tipos de motocicletas diferentes ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar esta elección? La respuesta es \(5+7=12\).

También podemos generalizarlo para considerar más de dos formas alternativas de realizar la actividad:

"Si una actividad tiene \(m\) formas alternativas de ser realizada, donde la primera alternativa se puede realizar de \(n_{1}\) maneras, donde la segunda alternativa se puede realizar de \(n_{2}\) maneras, donde la tercera alternativa se puede realizar de \(n_{3}\) maneras, y así sucesivamente para todas las formas alternativas \(m\), entonces el número total de formas en que se puede realizar la actividad es:
\[n_{1}+n_{2}+n_{3}+\cdots+n_{m-1}+n_{m}\]
formas diferentes." Se puede escribir de forma compacta con la notación de la sumatoria:
\[\sum_{i=1}^{n}n_{i}\]
Ejemplos del caso:

• Se tiene que elegir entre comprar un carro o alternativamente comprar una motocicleta o alternativamente comprar una bicicleta (sólo se puede comprar un tipo, no se puede elegir comprar dos ni tampoco comprar los tres juntos). Hay 5 tipos carros diferentes, 7 tipos de motocicletas diferentes y 11 tipos de bicicletas diferentes ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar esta elección? La respuesta es \(5+7+11=23\).