En esta entrada analizaremos la ecuación \(z^{n} = 1\) dónde \(z \in \mathbb{C}\) y \(n \in \mathbb{Z}^{+}\). Los números complejos que cumplen esta ecuación se les llamarán "las raíces n-ésimas de unidad" por ser "las raíces n-ésimas del número 1", en otras palabras son "todos los números complejos que resultan 1 al ser elevados a una potencia entera positiva \(n\)".
Se les dice las raíces n-ésimas de la unidad porque \(z = (1)^{\frac{1}{n}}\). Cuando trabajamos únicamente con los números reales el resultado puede ser \(1\) ó también \(-1\), según si \(n\) es par o impar. Sin embargo, si consideramos el resto de los números complejos, obtendremos más resultados.
El teorema de de Moivre nos puede servir para determinar cuántos y cuáles números son las n-ésimas raíces de la unidad. Podemos deducir las siguientes propiedades de las raíces n-ésimas de la unidad a partir del teorema de de Moivre:
- Todas las raíces n-ésimas de la unidad deben de tener un módulo de 1, ya que si no cumplen esto el módulo de la potencia al elevarse a la \(n\) no será 1. Esto se cumple ya que el único número real positivo \(r\) (módulo de un número complejo) que al elevarse a una potencia entera positiva se obtiene 1 es el número 1.
- Todas las raíces n-ésimas de la unidad deben de tener un argumento diferente cada uno. Esto se debe de cumplir para considerar sólo los números complejos que sean diferentes. Si el argumento es el mismo (o un ángulo equivalente) entonces será un número repetido porque todos tienen el mismo módulo.
- El número 1 siempre es una de las raíces n-ésimas de unidad. Demostración: \(1^n = (\textrm{ cis }0°)^n = \textrm { cis } (n(0°)) = \textrm{ cis } 0° = 1\) para todos los casos.
- La multiplicación del argumento en grados de una raíz n-ésima de unidad por la potencia \(n\) resulta en un múltiplo de 360° (ejemplos: -360°, 0°, 360°, 720°, 1080°, etc.) Esto se cumple ya que al aplicar el teorema de de Moivre se tiene que obtener 1. El argumento resultante de aplicar el teorema es \(n \times \theta\), este número debe de ser un múltiplo de 360° para que sea el argumento del número 1.
- La multiplicación del argumento en radianes de una raíz n-ésima de unidad por la potencia \(n\) resulta en un múltiplo de \(2\pi \) (ejemplos: \(-2\pi\), \(0\), \(2\pi\), \(4\pi\), \(6\pi\), etc.) Esto se cumple ya que al aplicar el teorema de de Moivre se tiene que obtener 1. El argumento resultante de aplicar el teorema es \(n \times \theta\), este número debe de ser un múltiplo de \(2\pi\) para que sea el argumento del número 1.
1. Caso \(n = 1\): \(z = 1\)
El único número complejo que cumple la igualdad \(z = 1\) es el número 1. Por lo tanto tendremos:
\[z_{1} = 1\]
En forma polar vemos que:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0°\]
Y podemos graficar el resultado en el Diagrama de Argand:
\[z_{1} = 1\]
En forma polar vemos que:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0°\]
Y podemos graficar el resultado en el Diagrama de Argand:
 |
| Caso n = 1 [Todas las gráficas de esta entrada fueron hechas en Geogebra] |
2. Caso \(n = 2\): \(z^2 = 1\)
Hay dos números complejos que cumplen \(z^2 = 1\), estos son \(z=\pm 1\). Por lo tanto tendremos:
\[z_{1} = 1\]
\[z_{2} = -1\]
3. Caso \(n = 3\): \(z^3 = 1\)
\[z_{1} = 1\]
\[z_{2} = -1\]
En forma polar vemos que:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0°\]
\[z_{2} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180°\]
Podemos utilizar el teorema de de Moivre para confirmar este hecho:
\((z_{1})^2= ( \textrm{ cis } 0°)^2 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^2= (\textrm{ cis } 180°)^2 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
Y podemos graficar el resultado en el Diagrama de Argand:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0°\]
\[z_{2} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180°\]
Podemos utilizar el teorema de de Moivre para confirmar este hecho:
\((z_{1})^2= ( \textrm{ cis } 0°)^2 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^2= (\textrm{ cis } 180°)^2 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
Y podemos graficar el resultado en el Diagrama de Argand:
 |
| Caso n = 2 |
Al aplicar las propiedades de arriba vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 120° y 240°, entonces:
Graficando en el diagrama de Argand vemos que toman una forma muy familiar, un triángulo:
4. Caso \(n = 4\): \(z^4 = 1\)
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 90°, 180° y 270°:
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^4= ( \textrm{ cis } 0°)^4 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^4= (\textrm{ cis } 90°)^4 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^4= (\textrm{ cis } 180°)^4 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^4= (\textrm{ cis } 270°)^4 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
Si los graficamos obtenemos una figura familiar, un cuadrado:
5. Caso \(n = 5\): \(z^5 = 1\)
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]
\[z_{2} = e^{\frac{2\pi}{3}i} = \textrm{ cis } 120° = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 240° = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
Podemos utilizar el teorema de de Moivre para confirmar este hecho:
\((z_{1})^3= ( \textrm{ cis } 0°)^3 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^3= (\textrm{ cis } 120°)^3 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^3= (\textrm{ cis } 240°)^3 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 240° = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
Podemos utilizar el teorema de de Moivre para confirmar este hecho:
\((z_{1})^3= ( \textrm{ cis } 0°)^3 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^3= (\textrm{ cis } 120°)^3 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^3= (\textrm{ cis } 240°)^3 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
Graficando en el diagrama de Argand vemos que toman una forma muy familiar, un triángulo:
 |
| Caso n = 3 |
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 90°, 180° y 270°:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]
\[z_{2} = e^{\frac{\pi}{2}i} = \textrm{ cis } 90° = i\]
\[z_{3} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{4} = e^{\frac{3\pi}{2} i} = \textrm{ cis } 270° = -i\]
\[z_{3} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{4} = e^{\frac{3\pi}{2} i} = \textrm{ cis } 270° = -i\]
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^4= ( \textrm{ cis } 0°)^4 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^4= (\textrm{ cis } 90°)^4 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^4= (\textrm{ cis } 180°)^4 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^4= (\textrm{ cis } 270°)^4 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
Si los graficamos obtenemos una figura familiar, un cuadrado:
 |
| Caso n = 4 |
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 72°, 144°, 216° y 288°:
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^5= ( \textrm{ cis } 0°)^5 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^5= (\textrm{ cis } 72°)^5 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^5= (\textrm{ cis } 144°)^5 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^5= (\textrm{ cis } 216°)^5 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^5= (\textrm{ cis } 288°)^5 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
Si graficamos obtenemos un pentagono:
6. Caso \(n = 6\): \(z^6 = 1\)
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]
\[z_{2} = e^{\frac{2\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 72° \approx 0.309 + 0.951i\]
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 144° \approx -0.809 + 0.588i\]
\[z_{4} = e^{\frac{6\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 216° \approx -0.809 - 0.588i\]
\[z_{5} = e^{\frac{8\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 288° \approx 0.309 - 0.951i\]\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 144° \approx -0.809 + 0.588i\]
\[z_{4} = e^{\frac{6\pi}{5}i} = \textrm{ cis } 216° \approx -0.809 - 0.588i\]
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^5= ( \textrm{ cis } 0°)^5 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^5= (\textrm{ cis } 72°)^5 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^5= (\textrm{ cis } 144°)^5 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^5= (\textrm{ cis } 216°)^5 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^5= (\textrm{ cis } 288°)^5 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
Si graficamos obtenemos un pentagono:
 |
| El caso n = 5 |
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 60°, 120°, 180°, 240° y 300°:
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^6= ( \textrm{ cis } 0°)^6 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^6= (\textrm{ cis } 60°)^6 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^6= (\textrm{ cis } 120°)^6 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^6= (\textrm{ cis } 180°)^6 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^6= (\textrm{ cis } 240°)^6 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
\((z_{6})^6= (\textrm{ cis } 300°)^6 = \textrm{ cis } 1800° = 1\)
Si graficamos obtenemos un hexagono:
7. Caso \(n = 7\): \(z^7 = 1\)
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son (aproximadamente) 51.4°, 102.9°, 154.3°, 205.7°, 257.1° y 308.6°:
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^7= ( \textrm{ cis } 0°)^7 = \textrm{cis} 0° = 1\)
\((z_{2})^7= (\textrm{ cis } 51.\overline{428571}°)^7 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^7= (\textrm{ cis } 102.\overline{857142}°)^7 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^7= (\textrm{ cis } 154.\overline{285714}°)^7 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^7= (\textrm{ cis } 205.\overline{714285}°)^7 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
\((z_{6})^7= (\textrm{ cis } 257.\overline{142857}°)^7 = \textrm{ cis } 1800° = 1\)
\((z_{7})^7= (\textrm{ cis } 308.\overline{571428}°)^7 = \textrm{ cis } 2160° = 1\)
Si graficamos obtenemos un heptagono:
8. Caso \(n = 8\): \(z^8 = 1\)
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° y 315°:
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^8= ( \textrm{cis} 0°)^8 = \textrm{cis} 0° = 1\)
\((z_{2})^8= (\textrm{cis} 45°)^8 = \textrm{cis} 360° = 1\)
\((z_{3})^8= (\textrm{cis} 90°)^8 = \textrm{cis} 720° = 1\)
\((z_{4})^8= (\textrm{cis} 135°)^8 = \textrm{cis} 1080° = 1\)
\((z_{5})^8= (\textrm{cis} 180°)^8 = \textrm{cis} 1440° = 1\)
\((z_{6})^8= (\textrm{cis} 225°)^8 = \textrm{cis} 1800° = 1\)
\((z_{7})^8= (\textrm{cis} 270°)^8 = \textrm{cis} 2160° = 1\)
\((z_{7})^8= (\textrm{cis} 315°)^8 = \textrm{cis} 2520° = 1\)
Si graficamos obtenemos un octagono:
Conclusión:
Las raíces n-ésimas de unidad son los números complejos solución a \(z^{n} = 1\) para \( n = 1,2,3,4,5,6,\cdots\). Se pueden expresar como:
\[e^{2\pi i k/n} \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n-1\]
O alternativamente de la forma:
\[\textrm{ cis } [(360°)k/n] \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n-1\]
Si se grafican en el diagrama de Argand se obtiene un polígono regular de \(n\) lados con un vértice en el número 1 para los casos \( n \ge 3\).
Notamos también que si aparece un número no real como una raíz n-ésima de la unidad entonces aparece también su conjugado como una raíz n-ésima de la unidad.
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]
\[z_{2} = e^{\frac{\pi}{3}i} = \textrm{ cis } 60° = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[z_{3} = e^{\frac{2\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 120° = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[z_{4} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{5} = e^{\frac{4\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 240° = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[z_{6} = e^{\frac{5\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 300° = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
\[z_{3} = e^{\frac{2\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 120° = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[z_{4} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{5} = e^{\frac{4\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 240° = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[z_{6} = e^{\frac{5\pi}{3} i} = \textrm{ cis } 300° = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\]
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^6= ( \textrm{ cis } 0°)^6 = \textrm{ cis } 0° = 1\)
\((z_{2})^6= (\textrm{ cis } 60°)^6 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^6= (\textrm{ cis } 120°)^6 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^6= (\textrm{ cis } 180°)^6 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^6= (\textrm{ cis } 240°)^6 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
\((z_{6})^6= (\textrm{ cis } 300°)^6 = \textrm{ cis } 1800° = 1\)
Si graficamos obtenemos un hexagono:
 |
| El caso n = 6 |
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son (aproximadamente) 51.4°, 102.9°, 154.3°, 205.7°, 257.1° y 308.6°:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]
\[z_{2} = e^{\frac{2\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 51.\overline{428571}° \approx 0.623 + 0.782i\]
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 102.\overline{857142}° \approx -0.223 + 0.975i\]
\[z_{4} = e^{\frac{6\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 154.\overline{285714}° \approx -0.901 + 0.434i\]
\[z_{5} = e^{\frac{8\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 205.\overline{714285}° \approx -0.901 - 0.434i\]
\[z_{6} = e^{\frac{10\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 257.\overline{142857}° \approx -0.223 - 0.975i\]
\[z_{7} = e^{\frac{12\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 308.\overline{571428}° \approx 0.623 - 0.782i\]
\[z_{3} = e^{\frac{4\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 102.\overline{857142}° \approx -0.223 + 0.975i\]
\[z_{4} = e^{\frac{6\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 154.\overline{285714}° \approx -0.901 + 0.434i\]
\[z_{5} = e^{\frac{8\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 205.\overline{714285}° \approx -0.901 - 0.434i\]
\[z_{6} = e^{\frac{10\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 257.\overline{142857}° \approx -0.223 - 0.975i\]
\[z_{7} = e^{\frac{12\pi}{7}i} = \textrm{ cis } 308.\overline{571428}° \approx 0.623 - 0.782i\]
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^7= ( \textrm{ cis } 0°)^7 = \textrm{cis} 0° = 1\)
\((z_{2})^7= (\textrm{ cis } 51.\overline{428571}°)^7 = \textrm{ cis } 360° = 1\)
\((z_{3})^7= (\textrm{ cis } 102.\overline{857142}°)^7 = \textrm{ cis } 720° = 1\)
\((z_{4})^7= (\textrm{ cis } 154.\overline{285714}°)^7 = \textrm{ cis } 1080° = 1\)
\((z_{5})^7= (\textrm{ cis } 205.\overline{714285}°)^7 = \textrm{ cis } 1440° = 1\)
\((z_{6})^7= (\textrm{ cis } 257.\overline{142857}°)^7 = \textrm{ cis } 1800° = 1\)
\((z_{7})^7= (\textrm{ cis } 308.\overline{571428}°)^7 = \textrm{ cis } 2160° = 1\)
Si graficamos obtenemos un heptagono:
 |
| El caso n = 7 |
Al aplicar las propiedades de las raínces n-ésimas de la unidad vemos que los únicos ángulos candidatos en \(0° \le \theta < 360°\) son 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° y 315°:
\[z_{1} = e^{0i} = \textrm{ cis } 0° = 1\]
\[z_{2} = e^{\frac{\pi}{4}i} = \textrm{ cis } 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{3} = e^{\frac{\pi}{2}i} = \textrm{ cis } 90° = i\]
\[z_{4} = e^{\frac{3\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{5} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{6} = e^{\frac{5\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 225° = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{7} = e^{\frac{3\pi}{2} i} = \textrm{ cis } 270° = -i\]
\[z_{8} = e^{\frac{7\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 315° = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{3} = e^{\frac{\pi}{2}i} = \textrm{ cis } 90° = i\]
\[z_{4} = e^{\frac{3\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{5} = e^{\pi i} = \textrm{ cis } 180° = -1\]
\[z_{6} = e^{\frac{5\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 225° = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
\[z_{7} = e^{\frac{3\pi}{2} i} = \textrm{ cis } 270° = -i\]
\[z_{8} = e^{\frac{7\pi}{4} i} = \textrm{ cis } 315° = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\]
Usando el teorema de de Moivre:
\((z_{1})^8= ( \textrm{cis} 0°)^8 = \textrm{cis} 0° = 1\)
\((z_{2})^8= (\textrm{cis} 45°)^8 = \textrm{cis} 360° = 1\)
\((z_{3})^8= (\textrm{cis} 90°)^8 = \textrm{cis} 720° = 1\)
\((z_{4})^8= (\textrm{cis} 135°)^8 = \textrm{cis} 1080° = 1\)
\((z_{5})^8= (\textrm{cis} 180°)^8 = \textrm{cis} 1440° = 1\)
\((z_{6})^8= (\textrm{cis} 225°)^8 = \textrm{cis} 1800° = 1\)
\((z_{7})^8= (\textrm{cis} 270°)^8 = \textrm{cis} 2160° = 1\)
\((z_{7})^8= (\textrm{cis} 315°)^8 = \textrm{cis} 2520° = 1\)
Si graficamos obtenemos un octagono:
 |
| Caso n = 8 |
Las raíces n-ésimas de unidad son los números complejos solución a \(z^{n} = 1\) para \( n = 1,2,3,4,5,6,\cdots\). Se pueden expresar como:
\[e^{2\pi i k/n} \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n-1\]
O alternativamente de la forma:
\[\textrm{ cis } [(360°)k/n] \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n-1\]
Si se grafican en el diagrama de Argand se obtiene un polígono regular de \(n\) lados con un vértice en el número 1 para los casos \( n \ge 3\).
Notamos también que si aparece un número no real como una raíz n-ésima de la unidad entonces aparece también su conjugado como una raíz n-ésima de la unidad.
Gracias, muy buen artículo.
ResponderBorrarGracias, muy buen artículo.
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