Propiedades de las combinaciones

Otra forma de escribir las combinaciones de un total de \(n\) objetos diferentes en \(r\) en lugares diferentes donde no importa el orden en que se asignan es con la notación:
\[{{n}\choose{r}}\]
El número de las combinaciones es el mismo número que acompaña los coeficientes de la expansión de un binomio elevado a la n-ésima potencia. Entonces sabemos que:
\[{{n}\choose{r}}=\;\; _{}^{n}C_{r}\]
\[{{n}\choose{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]
Entonces podemos también utilizar el triángulo de Pascal para obtener las combinaciones de objetos sin usar la calculadora y sin calcular todos los factoriales, aunque en la práctica es más fácil trabajar con los factoriales directos y cancelar los factores compartidos:

El triángulo de Pascal.
Se puede construir poniendo 1 en los extremos y sumando los dos números arriba del deseado.

Los valores correspondientes al triángulo de Pascal

Notamos la siguiente propiedad en las combinaciones y el triangulo de pascal:
\[{{n}\choose{0}}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{(1)n!}=\frac{n!}{n!}=1\]

\[{{n}\choose{n}}=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!(0!)}=\frac{n!}{n!(1)}=1\]

Notamos también la siguiente propiedad adicional en las combinaciones y el triangulo de pascal:
\[{{n}\choose{1}}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n!}{(n-1)!}=n\]

\[{{n}\choose{n-1}}=\frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!}=\frac{n!}{(n-1)!}=n\]

Como se pueden observar dentro de las filas tenemos una simetría entre los valores:
\[{{n}\choose{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]

\[{{n}\choose{n-r}}=\frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!}=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\]

\[\textrm{Entonces}\;\;\;{{n}\choose{r}}={{n}\choose{n-r}}\]

También podemos escribir la construcción del triángulo de pascal como una propiedad. Podemos obtener un resultado sumando los dos números de la fila anterior correspondientes:

\[{{n}\choose{r}}={{n-1}\choose{r-1}}+{{n-1}\choose{r}}\] Lo anterior se cumple porque se puede contar el número de formas asignar a \(r\) lugares diferentes un total de \(n\) objetos diferentes sin que importe el orden de elección de la forma siguiente: contar el número de formas donde incluyen un objeto específico (si lo incluimos sólo tenemos que elegir \(r-1\) de un total de \(n-1\) por lo tanto \(_{}^{n-1}C_{r-1}\)) y contar el número de formas donde no se incluye un número en específico (si no lo incluimos sólo tenemos que elegir \(r\) de un total de \(n-1\) por lo tanto \(_{}^{n-1}C_{r}\)), la suma de estos dos números debería ser el total.

Contemos el número de subconjuntos que se pueden hacer con \(n\) objetos esto es equivalente a realizar una actividad con \(n\) pasos donde en cada paso decidimos o no agregar el objeto el conjunto, entonces usando el principio de la multiplicación el número total de formas es \(2^{n}\). Otra forma de contar esto es calculando el número de conjuntos con 0 objetos y sumarlo al número de conjuntos de 1 objeto y sumarlo al número de conjuntos de 2 objetos y sumarlo al siguiente, así hasta que sumamos el número de conjuntos de \(n\) objetos. Como estos números deben de ser iguales tenemos que:

\[{{n}\choose{0}}+{{n}\choose{1}}+{{n}\choose{2}}+{{n}\choose{3}}+\cdots+{{n}\choose{n}}=2^{n}\]

\[\sum_{i=0}^{n}{{n}\choose{i}}=2^{n}\]