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viernes, 29 de noviembre de 2013

Propiedades de las combinaciones

Otra forma de escribir las combinaciones de un total de n objetos diferentes en r en lugares diferentes donde no importa el orden en que se asignan es con la notación:
{{n}\choose{r}}
El número de las combinaciones es el mismo número que acompaña los coeficientes de la expansión de un binomio elevado a la n-ésima potencia. Entonces sabemos que:
{{n}\choose{r}}=\;\; _{}^{n}C_{r}
{{n}\choose{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}
Entonces podemos también utilizar el triángulo de Pascal para obtener las combinaciones de objetos sin usar la calculadora y sin calcular todos los factoriales, aunque en la práctica es más fácil trabajar con los factoriales directos y cancelar los factores compartidos:

El triángulo de Pascal.
Se puede construir poniendo 1 en los extremos y sumando los dos números arriba del deseado.

Los valores correspondientes al triángulo de Pascal

Notamos la siguiente propiedad en las combinaciones y el triangulo de pascal:
{{n}\choose{0}}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{(1)n!}=\frac{n!}{n!}=1
{{n}\choose{n}}=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!(0!)}=\frac{n!}{n!(1)}=1

Notamos también la siguiente propiedad adicional en las combinaciones y el triangulo de pascal:
{{n}\choose{1}}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n!}{(n-1)!}=n
{{n}\choose{n-1}}=\frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!}=\frac{n!}{(n-1)!}=n

Como se pueden observar dentro de las filas tenemos una simetría entre los valores:
{{n}\choose{r}}=\frac{n!}{r!(n-r)!}
{{n}\choose{n-r}}=\frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!}=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

\textrm{Entonces}\;\;\;{{n}\choose{r}}={{n}\choose{n-r}}

También podemos escribir la construcción del triángulo de pascal como una propiedad. Podemos obtener un resultado sumando los dos números de la fila anterior correspondientes:
{{n}\choose{r}}={{n-1}\choose{r-1}}+{{n-1}\choose{r}} Lo anterior se cumple porque se puede contar el número de formas asignar a r lugares diferentes un total de n objetos diferentes sin que importe el orden de elección de la forma siguiente: contar el número de formas donde incluyen un objeto específico (si lo incluimos sólo tenemos que elegir r-1 de un total de n-1 por lo tanto _{}^{n-1}C_{r-1}) y contar el número de formas donde no se incluye un número en específico (si no lo incluimos sólo tenemos que elegir r de un total de n-1 por lo tanto _{}^{n-1}C_{r}), la suma de estos dos números debería ser el total.

Contemos el número de subconjuntos que se pueden hacer con n objetos esto es equivalente a realizar una actividad con n pasos donde en cada paso decidimos o no agregar el objeto el conjunto, entonces usando el principio de la multiplicación el número total de formas es 2^{n}. Otra forma de contar esto es calculando el número de conjuntos con 0 objetos y sumarlo al número de conjuntos de 1 objeto y sumarlo al número de conjuntos de 2 objetos y sumarlo al siguiente, así hasta que sumamos el número de conjuntos de n objetos. Como estos números deben de ser iguales tenemos que:
{{n}\choose{0}}+{{n}\choose{1}}+{{n}\choose{2}}+{{n}\choose{3}}+\cdots+{{n}\choose{n}}=2^{n}
\sum_{i=0}^{n}{{n}\choose{i}}=2^{n}

3 comentarios:

  1. Buenas tardes, así como se sabe que la sumatoria de las combinaciones C(n,i)=2^n.
    Hay alguna forma de probar que si se alternan sumas y restas de las combinaciones, éstas serán igual a 0 ??

    Gracias!

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    1. Encontré en el siguiente vínculo una explicación de la propiedad "si se alternan sumas y restas de las combinaciones, éstas serán igual a 0": http://www.geometer.org/mathcircles/pascal.pdf Consiste en considerar que la suma de la fila n-ésima es igual a: (1+1)^{n}=1+n+...+n+1=2^{n}, hacer que se "alternen" los signos consiste en cambiar el signo: (1-1)^{n}=1-n+...+n-1=0^{n}=0.

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