Matemáticas de Nivel Superior: Las raíces n-ésimas de un número complejo

Usando los mismos principios que utilizamos para obtener las raíces de unidad podemos obtener las raíces n-ésimas de un número complejo.

El número de resultados que se obtenen al aplicar la raíz n-ésima siempre serán \(n\) raíces distintas.

El teorema de de Moivre puede ser expandido para considerar potencias racionales, sin embargo esto significa que se debe de obtiener más de una respuesta al elevar un número a una potencia no entera. Para obtener todas las soluciones tenemos que reescribir el número que vamos a aplicarle el teorema.

Reescribiendo números complejos para que consideren ángulos congruentes
Igual que en el caso de las raíces n-ésimas de la unidad hay que considerar los múltiplos de la vuelta completa para obtener todos los números que cumplen la propiedad. Si tenemos \(w = re^{i\theta}\) hay que considerar todos los ángulos que sean equivalentes a este, esto lo podemos expresar como:
\[w = re^{i\theta + 2\pi k i} \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots \]
O usando ángulos en notación trigonométrica
\[w = r \textrm{ cis }(\theta + 360°k) \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots \]
En las expresiones anteriores lo único que se hizo fue escribir una expresión que muestra el mismo número ya que los ángulos obtenidos al sumarle un múltiplo de la vuelta completa resulta en un ángulo congruente con \(\theta\).

Aplicando el teorema de de Moivre extendido
Como debemos de obtener \(n\) raíces distintas nos limitaremos a considerar los valores de \(k = 0, 1, 2, \cdots, n -1 \). Entonces, usando el teorema de de Moivre y la distribución de potencias las raíces n-ésimas las podemos expresar como:
\[z_{k} = \sqrt[n]{r} e^{(i\theta + 2\pi k i)\frac{1}{n}} \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n -1\]
O usando ángulos en notación trigonométrica
\[z_{k} = \sqrt[n]{r} \textrm{ cis }\left ((\theta + 360°k)\frac{1}{n}\right ) \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n -1\]

Ejemplos:
Para los ejemplos se encontrarán las raíces correspondientes \(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\), etc. sustituyendo los valores de \(k = 0, 1, 2, 3\). Lo anterior es con el objetivo de mostrar los puntos graficados en Geogebra con el nombre correcto.

1. Encuentre las raíces cuadradas de \(1\):
\(w = \textrm{ cis }0°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(0°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 0°=1\)

\(z_{2}=\textrm{ cis }[(0°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 180°=-1\)

Esta es la gráfica de las raíces anteriores,
todas las gráficas fueron hechas en Geogebra

2. Encuentre las raíces cuadradas de \(i\):

\(w = \textrm{ cis }90°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 225°=-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

3. Encuentre las raíces cuadradas de \(-1\):

\(w = \textrm{ cis }180°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(180°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 90°=i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(180°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 270°=-i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

4. Encuentre las raíces cuadradas de \(-i\):

\(w = \textrm{ cis }270°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(270°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 135°=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(270°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 315°=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

5. Encuentre las raíces cuadradas de \(1+i\):

\(w = \sqrt{2}\textrm{ cis }45°\)
Entonces
\(z_{1}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(0))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 22.5°\approx 1.099+0.4551i\)
\(z_{2}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(1))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 202.5°\approx -1.099-0.4551i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

6. Encuentre las raíces cuadradas de \(1-i\):
\(w = \sqrt{2}\textrm{ cis }315°\)
Entonces
\(z_{1}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(0))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 157.5°\approx -1.099+0.4451i\)
\(z_{2}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(1))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 337.5°\approx 1.099-0.4451i\)

El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.

7. Encuentre las raíces cubicas de \(i\):
\(w = \textrm{ cis }90°\)
Entonces
\(z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\)
\(z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\)

\(z_{3}=\textrm{ cis }[(90°+360°(2))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 270°=-i\)