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miércoles, 27 de noviembre de 2013

Las raíces n-ésimas de un número complejo

Usando los mismos principios que utilizamos para obtener las raíces de unidad podemos obtener las raíces n-ésimas de un número complejo.

El número de resultados que se obtenen al aplicar la raíz n-ésima siempre serán n raíces distintas.

El teorema de de Moivre puede ser expandido para considerar potencias racionales, sin embargo esto significa que se debe de obtiener más de una respuesta al elevar un número a una potencia no entera. Para obtener todas las soluciones tenemos que reescribir el número que vamos a aplicarle el teorema.

Reescribiendo números complejos para que consideren ángulos congruentes
Igual que en el caso de las raíces n-ésimas de la unidad hay que considerar los múltiplos de la vuelta completa para obtener todos los números que cumplen la propiedad. Si tenemos w = re^{i\theta} hay que considerar todos los ángulos que sean equivalentes a este, esto lo podemos expresar como:
w = re^{i\theta + 2\pi k i} \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots
O usando ángulos en notación trigonométrica
w = r \textrm{ cis }(\theta + 360°k) \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots 
En las expresiones anteriores lo único que se hizo fue escribir una expresión que muestra el mismo número ya que los ángulos obtenidos al sumarle un múltiplo de la vuelta completa resulta en un ángulo congruente con \theta.

Aplicando el teorema de de Moivre extendido
Como debemos de obtener n raíces distintas nos limitaremos a considerar los valores de k = 0, 1, 2, \cdots, n -1 . Entonces, usando el teorema de de Moivre y la distribución de potencias las raíces n-ésimas las podemos expresar como:
z_{k} = \sqrt[n]{r} e^{(i\theta + 2\pi k i)\frac{1}{n}} \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n -1
O usando ángulos en notación trigonométrica
z_{k} = \sqrt[n]{r} \textrm{ cis }\left ((\theta + 360°k)\frac{1}{n}\right ) \;\;\; \textrm{ donde }k = 0, 1, 2, \cdots, n -1

Ejemplos:
Para los ejemplos se encontrarán las raíces correspondientes z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, etc. sustituyendo los valores de k = 0, 1, 2, 3. Lo anterior es con el objetivo de mostrar los puntos graficados en Geogebra con el nombre correcto.

1. Encuentre las raíces cuadradas de 1:
w = \textrm{ cis }0°
Entonces
z_{1}=\textrm{ cis }[(0°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 0°=1
z_{2}=\textrm{ cis }[(0°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 180°=-1

Esta es la gráfica de las raíces anteriores,
todas las gráficas fueron hechas en Geogebra
2. Encuentre las raíces cuadradas de i:
w = \textrm{ cis }90°
Entonces
z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i
z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 225°=-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i
El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.
3. Encuentre las raíces cuadradas de -1:
w = \textrm{ cis }180°
Entonces
z_{1}=\textrm{ cis }[(180°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 90°=i
z_{2}=\textrm{ cis }[(180°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 270°=-i
El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.
4. Encuentre las raíces cuadradas de -i:
w = \textrm{ cis }270°
Entonces
z_{1}=\textrm{ cis }[(270°+360°(0))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 135°=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i
z_{2}=\textrm{ cis }[(270°+360°(1))\frac{1}{2}]=\textrm{ cis } 315°=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i
El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.
5. Encuentre las raíces cuadradas de 1+i:
w = \sqrt{2}\textrm{ cis }45°
Entonces
z_{1}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(0))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 22.5°\approx 1.099+0.4551i
z_{2}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(1))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 202.5°\approx -1.099-0.4551i
El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.
6. Encuentre las raíces cuadradas de 1-i:
w = \sqrt{2}\textrm{ cis }315°
Entonces
z_{1}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(0))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 157.5°\approx -1.099+0.4451i
z_{2}=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(1))\frac{1}{2}]=\sqrt[4]{2}\textrm{ cis } 337.5°\approx 1.099-0.4451i
El diagrama de Argand de la situación. z3 es w.
7. Encuentre las raíces cubicas de i:
w = \textrm{ cis }90°
Entonces
z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i
z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i
z_{3}=\textrm{ cis }[(90°+360°(2))\frac{1}{3}] = \textrm{ cis } 270°=-i
El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.
8. Encuentre las raíces cubicas de -i:
w = \textrm{ cis }270°
Entonces
z_{1}=\textrm{ cis }[(270°+360°(0))\frac{1}{3}]=\textrm{ cis } 90°=i
z_{2}=\textrm{ cis }[(270°+360°(1))\frac{1}{3}]=\textrm{ cis } 210°=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i
z_{3}=\textrm{ cis }[(270°+360°(2))\frac{1}{3}]=\textrm{ cis } 330°=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i
El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.
9. Encuentre las raíces cúbicas de 1+i:
w = \sqrt{2}\textrm{ cis }45°
Entonces
z_{1}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(0))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 15°\approx 1.084+0.2905i
z_{2}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(1))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 135°\approx -0.7937+0.7937i
z_{3}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(45°+360°(2))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 255°\approx -0.2905-1.084i
El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.
10. Encuentre las raíces cubicas de 1-i:
w = \sqrt{2}\textrm{ cis }315°
Entonces
z_{1}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(0))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 105°\approx -0.2905+1.084i
z_{2}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(1))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 225°\approx -0.7937-0.7937i
z_{3}=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis }[(315°+360°(2))\frac{1}{3}]=\sqrt[6]{2}\textrm{ cis } 345°\approx 1.084-0.2905i
El diagrama de Argand de la situación. z4 es w. 
11. Encuentre las raíces cubicas de 8 \textrm{cis} 30°:
w = 8\textrm{ cis }30°
Entonces
z_{1}=2\textrm{ cis }[(30°+360°(0))\frac{1}{3}]=2\textrm{ cis } 10° \approx 1.97+0.3473i
z_{2}=2\textrm{ cis }[(30°+360°(1))\frac{1}{3}]=2\textrm{ cis } 130° \approx -1.286+1.532i
z_{3}=2\textrm{ cis }[(30°+360°(2))\frac{1}{3}]=2\textrm{ cis } 250° \approx -0.684 - 1.891i
El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.
12. Encuentre las raíces cubicas de 27 \textrm{cis} 300°:
w = 27\textrm{ cis }300°
Entonces
z_{1}=3\textrm{ cis }[(300°+360°(0))\frac{1}{3}]=3\textrm{ cis } 100° \approx -0.5209+2.954i
z_{2}=3\textrm{ cis }[(300°+360°(1))\frac{1}{3}]=3\textrm{ cis } 220° \approx -2.298-1.928i
z_{3}=3\textrm{ cis }[(300°+360°(2))\frac{1}{3}]=3\textrm{ cis } 340° \approx 2.819-1.026i
El diagrama de Argand de la situación. z4 es w.
13. Encuentre las raíces cuárticas de i:
w = \textrm{ cis }90°
Entonces
z_{1}=\textrm{ cis }[(90°+360°(0))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 22.5° \approx 0.9239+0.3827i
z_{2}=\textrm{ cis }[(90°+360°(1))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 112.5° \approx -0.3827+0.9239i
z_{3}=\textrm{ cis }[(90°+360°(2))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 202.5° \approx -0.9239-0.3827i
z_{4}=\textrm{ cis }[(90°+360°(3))\frac{1}{4}]=\textrm{ cis } 292.5° \approx 0.3827-0.9239i
El diagrama de Argand de la situación. z5 es w.

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