Aplicación del teorema de de Moivre para encontrar potencias enteras

Si un número está en la forma módulo-argumental podemos aplicar el teorema de de Moivre para encontrar el resultado de elevar el número a una potencia que sea entera \(n\):
\[\left ( r \textrm{ cis }\theta \right )^{n} = r^n \textrm{ cis }n\theta\]
Si el número no se encuentra en la fórmula módulo-argumental se tiene que convertir la forma del número complejo a la forma módulo-argumental.

Con este método se puede encontrar el resultado de elevar un número complejo a una potencia entera sin necesidad de realizar una expansión binomial de la forma cartesiana del número complejo. Ahorrar estos pasos es muy útil en el caso que sea una potencia muy grande. El resultado será obtenido en la forma módulo-argumental por lo que será necesaria la conversión de vuelta a la forma cartesiana si se le exige expresar el resultado de esa forma.

Ejemplos:

1. \(2^{3} = \left ( 2 \textrm{ cis } 0 \right )^{3} = 2^3 \textrm{ cis }(3)(0) = 8\)
2. \((-2)^{3} = \left ( 2 \textrm{ cis } \pi \right )^{3} = 2^3 \textrm{ cis }(3\pi) = -8\)
3. \((-2)^{4} = \left ( 2 \textrm{ cis } \pi \right )^{4} = 2^4 \textrm{ cis }(4\pi) = 16\)
4. \((i)^{10} = \left ( 1\textrm{ cis } \frac{\pi}{2} \right )^{10} = 1^{10} \textrm{ cis }(5\pi) = -1\)
5. \((-i)^{10} = \left ( 1\textrm{ cis }\frac{3 \pi}{2} \right )^{10} = 1^{10}\textrm{ cis }(15\pi) = -1\)
6. \((i)^{9} = \left ( 1\textrm{ cis } \frac{\pi}{2} \right )^{9} = 1^9 \textrm{ cis }(\frac{9\pi}{2}) = i\)
7. \((-i)^{9} = \left ( 1\textrm{ cis }\frac{3 \pi}{2} \right )^{9} = 1^9 \textrm{ cis }(\frac{27\pi}{2}i) = -i\)
8. \((3 \textrm{ cis } 5°)^{-2} = \frac{1}{9} \textrm{ cis }(10°) = 16\)
9. \((2 \textrm{ cis } 1)^{-1} = \frac{1}{2} \textrm{ cis }(-1) \approx  0.270 - 0.421i \)
10. \((7 \textrm{ cis } 10°)^{3} = 343 \textrm{ cis }(30°) = \frac{343\sqrt{3}}{2}+\frac{343}{2}i\)
11. \((2 \textrm{ cis } 45°)^{2} = 4 \textrm{ cis }(90°) = 4i\)
12. \((\textrm{ cis } 90°)^{2} = \textrm{ cis }(180°) = -1\)
13. \((1 + i)^2 = (\sqrt{2} \textrm{ cis } 45°)^2 = 2 \textrm{ cis } 90° = 2i\)
14. \((1 + i)^{20} = (\sqrt{2} \textrm{ cis } 45°)^{20} = 1024 \textrm{ cis } 900° = -1024\)