El teorema de de Moivre

Considerando la forma de Euler de \(z \in \mathbb{C}\), usando las propiedades de los exponentes y tomando en cuenta que \(n \in \mathbb{Z}\) es fácil ver que:
\[z^{n}=\left (re^{i\theta}\right )^n=r^{n}e^{i\theta n}\]
Otra forma de ver este resultado es en la forma polar:
\[
\begin{align*}

z^{n} &= \left (r(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)\right )^n \\
 &=\left (r^n(\cos (n\theta) + i \textrm{sen } (n\theta)\right )
\end{align*}

\]
El teorema de de Moivre nos dice que para todo \(n \in \mathbb{Z}\) se cumplirá que:
\[\left (\cos \theta + i \textrm{sen} \theta \right)^{n}=\cos (n\theta) + i \textrm{sen } (n\theta)\]
El teorema de de Moivre se puede demostrar fácilmente para todos los enteros positivos utilizando inducción matemática. Esta es la demostración:

1. Demostración del caso base:
Notamos que, por un lado: \[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^1 = \cos \theta + i \textrm{sen } \theta \]
Por el otro lado:
\[(\cos (1\theta) + i \textrm{sen } (1\theta)) = \cos \theta + i \textrm{sen } \theta \]
Como por ambos lados es lo mismo queda demostrado el caso base \(n = 1\).

2. El paso inductivo
Supongamos que se cumple para algún enero \(n = k\), entonces: \[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^k = (\cos k\theta + i \textrm{sen } k\theta)\]
Consideremos ahora el caso \(n = k+1\): \[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^k(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)\]
Usando la hipótesis de inducción tenemos:
\[(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} = (\cos k\theta + i \textrm{sen } k\theta)(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)\] Multiplicando tenemos las expresiones:
\[
\begin{align*}
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= (\cos k\theta)(\cos \theta) + (\cos k\theta)(i \textrm{sen } \theta) \\
 &  + (i \textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + (i \textrm{sen } k\theta)(i \textrm{sen } \theta) \\
& \\
&= (\cos k\theta)(\cos \theta) + i(\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& +  i(\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + i^2(\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& \\
&= (\cos k\theta)(\cos \theta) + i(\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& +  i(\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) - (\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta)
\end{align*}
\]
Acomodando según parte real y parte imaginaria tenemos:
\[
\begin{align*}
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= (\cos k\theta)(\cos \theta) - (\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\
& +  i\left [ (\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + (\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \right ]
\end{align*}
\]
Podemos ver en el formulario de Matemáticas NS del Bachillerato Internacional dos identidades trigonométricas útiles para simplificar la expresión anterior, las identidades del coseno y seno de suma de ángulos:
\[\cos (A + B) = \cos A \cos B - \textrm{sen }A\textrm{sen }B\]\[\textrm{sen}(A + B) = \textrm{sen }A \cos B - \cos A \textrm{sen }B\]
Lo anterior se cumple para cualquier ángulo \(A\) y \(B\), consideremos el caso más específico con las variables \(\theta\) y \(k\theta\):
\[\cos k\theta \cos \theta - \textrm{sen }k\theta \textrm{ sen }\theta = \cos (k\theta + \theta)\]\[\textrm{sen }k \theta \cos \theta + \cos k \theta \textrm{ sen }\theta = \textrm{sen}(k\theta + \theta)\]
Utilizando las dos identidades anteriores llegamos a lo siguiente:
\[
\begin{align*}
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= \cos (k\theta + \theta) + i \textrm{sen }(k\theta + \theta)\\
(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= \cos ((k+1)\theta) + i \textrm{sen }((k+1)\theta)
\end{align*}
\]
Lo anterior está en la forma de lo que se quería demostrar. Entonces se cumple para \(n = k + 1\) si se cumple para \(n = k\). Como se cumple para \(n = 1\) entonces se cumple para todo entero positivo por inducción matemática.

Ejemplos de aplicación del teorema de de Moivre:

1. \((\cos 30° + i \textrm{sen } 30°)^{2} = \cos 60° + i \textrm{sen } 60°\)
2. \((\cos 10° + i \textrm{sen } 10°)^{300} = \cos 3000° + i \textrm{sen } 3000°\)
3. \((\cos \frac{\pi}{2} + i \textrm{sen } \frac{\pi}{2})^{-2} = \cos (-\pi) + i \textrm{sen } (-\pi)\)
4. \((\cos \frac{\pi}{3} + i \textrm{sen } \frac{\pi}{3})^{6} = \cos (2\pi) + i \textrm{sen } (2\pi)\)
5. \((e^{i\pi})^{-3} = e^{-3i\pi}\)
6. \((e^{2i})^{7} = e^{14i}\)
7. \(( \textrm{cis } 1.5\pi)^0 = \textrm{cis }(0) \)
8. \((\textrm{cis } 30°)^2 = \textrm{cis } (60°)\)
9. \((\textrm{cis } \frac{\pi}{4})^2 = \textrm{cis } (\frac{\pi}{2}) \)
10. \((\textrm{cis } \pi)^1 = \textrm{cis }(\pi) \)