El teorema de de Moivre

Considerando la forma de Euler de $z \in \mathbb{C}$, usando las propiedades de los exponentes y tomando en cuenta que $n \in \mathbb{Z}$ es fácil ver que:
$$z^{n}=\left (re^{i\theta}\right )^n=r^{n}e^{i\theta n}$$
Otra forma de ver este resultado es en la forma polar:
$$\begin{align*} z^{n} &= \left (r(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)\right )^n \\  &=\left (r^n(\cos (n\theta) + i \textrm{sen } (n\theta)\right ) \end{align*}$$
El teorema de de Moivre nos dice que para todo $n \in \mathbb{Z}$ se cumplirá que:
$$\left (\cos \theta + i \textrm{sen} \theta \right)^{n}=\cos (n\theta) + i \textrm{sen } (n\theta)$$
El teorema de de Moivre se puede demostrar fácilmente para todos los enteros positivos utilizando inducción matemática. Esta es la demostración:

1. Demostración del caso base:
Notamos que, por un lado: $$(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^1 = \cos \theta + i \textrm{sen } \theta$$
Por el otro lado:
$$(\cos (1\theta) + i \textrm{sen } (1\theta)) = \cos \theta + i \textrm{sen } \theta$$
Como por ambos lados es lo mismo queda demostrado el caso base $n = 1$.

2. El paso inductivo
Supongamos que se cumple para algún enero $n = k$, entonces: $$(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^k = (\cos k\theta + i \textrm{sen } k\theta)$$
Consideremos ahora el caso $n = k+1$: $$(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^k(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)$$
Usando la hipótesis de inducción tenemos:
$$(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} = (\cos k\theta + i \textrm{sen } k\theta)(\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)$$ Multiplicando tenemos las expresiones:
$$\begin{align*} (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= (\cos k\theta)(\cos \theta) + (\cos k\theta)(i \textrm{sen } \theta) \\  &  + (i \textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + (i \textrm{sen } k\theta)(i \textrm{sen } \theta) \\ & \\ &= (\cos k\theta)(\cos \theta) + i(\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\ & +  i(\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + i^2(\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\ & \\ &= (\cos k\theta)(\cos \theta) + i(\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\ & +  i(\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) - (\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta) \end{align*}$$
Acomodando según parte real y parte imaginaria tenemos:
$$\begin{align*} (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= (\cos k\theta)(\cos \theta) - (\textrm{sen } k\theta)(\textrm{sen } \theta) \\ & +  i\left [ (\textrm{sen } k\theta)(\cos \theta) + (\cos k\theta)(\textrm{sen } \theta) \right ] \end{align*}$$
Podemos ver en el formulario de Matemáticas NS del Bachillerato Internacional dos identidades trigonométricas útiles para simplificar la expresión anterior, las identidades del coseno y seno de suma de ángulos:
$$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \textrm{sen }A\textrm{sen }B$$ $$\textrm{sen}(A + B) = \textrm{sen }A \cos B - \cos A \textrm{sen }B$$
Lo anterior se cumple para cualquier ángulo $A$ y $B$, consideremos el caso más específico con las variables $\theta$ y $k\theta$:
$$\cos k\theta \cos \theta - \textrm{sen }k\theta \textrm{ sen }\theta = \cos (k\theta + \theta)$$ $$\textrm{sen }k \theta \cos \theta + \cos k \theta \textrm{ sen }\theta = \textrm{sen}(k\theta + \theta)$$
Utilizando las dos identidades anteriores llegamos a lo siguiente:
$$\begin{align*} (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= \cos (k\theta + \theta) + i \textrm{sen }(k\theta + \theta)\\ (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta)^{k+1} &= \cos ((k+1)\theta) + i \textrm{sen }((k+1)\theta) \end{align*}$$
Lo anterior está en la forma de lo que se quería demostrar. Entonces se cumple para $n = k + 1$ si se cumple para $n = k$. Como se cumple para $n = 1$ entonces se cumple para todo entero positivo por inducción matemática.

Ejemplos de aplicación del teorema de de Moivre:

1. $(\cos 30° + i \textrm{sen } 30°)^{2} = \cos 60° + i \textrm{sen } 60°$
2. $(\cos 10° + i \textrm{sen } 10°)^{300} = \cos 3000° + i \textrm{sen } 3000°$
3. $(\cos \frac{\pi}{2} + i \textrm{sen } \frac{\pi}{2})^{-2} = \cos (-\pi) + i \textrm{sen } (-\pi)$
4. $(\cos \frac{\pi}{3} + i \textrm{sen } \frac{\pi}{3})^{6} = \cos (2\pi) + i \textrm{sen } (2\pi)$
5. $(e^{i\pi})^{-3} = e^{-3i\pi}$
6. $(e^{2i})^{7} = e^{14i}$
7. $( \textrm{cis } 1.5\pi)^0 = \textrm{cis }(0)$
8. $(\textrm{cis } 30°)^2 = \textrm{cis } (60°)$
9. $(\textrm{cis } \frac{\pi}{4})^2 = \textrm{cis } (\frac{\pi}{2})$
10. $(\textrm{cis } \pi)^1 = \textrm{cis }(\pi)$