Combinaciones

En algunos casos nos interesa asignar objetos diferentes a una cantidad de lugares distintos pero sin que importe el orden en que los elegimos. Estableceremos el patrón comparándolo con las permutaciones, que son donde sí nos interesa el orden en que los elegimos.

Ejemplos:

• ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 letras de la palabra ALTO (4 letras diferentes) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 4: ALT, ALO, ATO, LTO.
• Consideremos que \(_{}^{4}P_{3}=24\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(24/4=6=3!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 letras de ABC (3 letras diferentes) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 3: AB, AC, BC.
• Consideremos que \(_{}^{3}P_{2}=6\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(6/3=2=2!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 1 letra de ABCDEF (6 letras diferentes) sin importar el orden de eleción? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 6: A, B, C, D, E, F.
• Consideremos que \(_{}^{6}P_{1}=6\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(6/6=1=1!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 personas de un conjunto de 4 (Juan, Ana, Miguel, Edna) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 6: JA, JM, JE, AM, AE, ME.
• Consideremos que \(_{}^{4}P_{2}=12\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(12/6=2=2!\).
• ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 personas de un conjunto de 5 (Beatriz, Carlos, Daniel, Francisco, Gaby) sin importar el orden de elección? Si las enumeramos podemos ver que el número total es 10: BC, BD, BF, BG, CD, CF, CG, DF, DG, FG.
• Consideremos que \(_{}^{5}P_{3}=60\). Notamos que si obtenemos la razón entre las permutaciones y la respuesta real obtenemos el factorial de los lugares a asignar \(60/10=6=3!\).

Vemos entonces que podemos obtener el mismo resultado dividiendo las permutaciones entre el factorial de los lugares en los que se asignan. Lo que hace esto es eliminar los conteos extras que se derivan de las diferentes posiciones, cada combinación aparece "el factorial de los lugares (\(r!\))" veces en el conteo de las permutaciones.

Definiremos las "combinaciones de \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos" es el número de formas de asignar \(n\) objetos diferentes a \(r\) lugares distintos donde no nos importa el orden de elección. Se denota de la siguiente forma:
\[_{}^{n}C_{r} = \frac{_{}^{n}P_{r}}{r!} \]
\[_{}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

Entonces podemos utilizar la formula anterior para calcular las combinaciones de un total de \(n\) objetos asignados a \(r\) lugares, considerando que en las combinaciones el orden no importa al conteo.

También se puede usar la función de la calculadora del programa para calcular estos números. Aparecen el la opciones de probabilidad o llamando la función por el nombre "nCr( )". Sólo hay que insertar los valores de \(n\) y \(r\) en los parámetros.

Ejemplos:

• Hay 10 alumnos diferentes. ¿De cuántas formas se puede asignar un comité de 3 personas? Para este caso no nos interesa el orden, la respuesta es \(_{}^{10}C_{3}=120\)
• Hay 5 temas diferentes en el programa, para este semestre se tienen que ver 2 temas. ¿De cuantas formas diferentes se pueden elegir los 2 temas para ver este semestre? Sin importar el orden que se vean los temas la respuesta es \(_{}^{5}C_{2}=10\)
• ¿De cuántas formas diferentes se crear un conjunto de 7 letras a partir de las letras la palabra PERMUTACION (11 letras diferentes)? Para que un conjunto sea igual no importa el orden, por lo tanto la respuesta es \(_{}^{11}C_{7}=330\)
• ¿Cuantos conjuntos diferentes de 6 números se pueden hacer con los dígitos del número 123456 (6 objetos asignados a 6 lugares)? Para que un conjunto sea igual no importa el orden, por lo tanto la respuesta es \(_{}^{6}C_{6}=1\)

Notamos que en las situaciones anteriores el orden de la asignación de los objetos no importa. Hay que recordar que a estas situaciones de asignación de objetos en lugares diferentes donde el orden no importa les llamaremos combinaciones de objetos.