Por lo anterior fue conveniente establecer una notación para estos números. Se estableció como función factorial, denotada por '!' después del número a la multiplicación decreciente de los enteros. Por definición estableceremos que 0!=1, entonces tenemos:
0!=1
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
7!=5040
8!=40320
9!=362880
10!=3628800
En general para un número n:
n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(3)(2)(1)
Podemos establecer algunas propiedades del factorial, por ejemplo el factorial de un número n es igual al factorial anterior multiplicado por el número n:
n!=n(n-1)!
n!=n(n-1)(n-2)!
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!
Al realizar divisiones entre factoriales podemos deducir la siguiente propiedad debido a los factores compartidos entre los enteros no negativos a y b:
\frac{a!}{b!}=(a)(a-1)\cdots(b+1)\:\:\:\textrm{ siempre que }a > b
De la misma forma para valores no negativos a y b:
\frac{b!}{a!}=\frac{1}{(a)(a-1)\cdots(b+1)}\:\:\:\textrm{ siempre que }a > b
Aplicándolo al conteo tenemos el siguiente teorema:
"El número de formas de asignar n objetos diferentes a n lugares distintos es n!."
La calculadora del programa puede obtener el valor de la función factorial.
Ejemplos de aplicación en combinatoria:
- ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 9 niños en una fila? La respuesta es 9! = 362880.
- ¿Cuántos códigos se forman usando 5 letras diferentes ABCDE en algún orden. La respuesta es 5!=120.
- ¿De cuantas formas diferentes se pueden ver 7 unidades de una materia? Se tiene que decidir el orden en que ver las unidades, por lo que la respuesta es 7!=5040.
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