El factorial de un número

Al realizar conteos de la forma de ordenar objetos (seleccionándolos todos) vemos que aparece mucho la multiplicación descendiente de números enteros (por ejemplo \((6)(5)(4)(3)(2)(1)\), \((4)(3)(2)(1)\), \((3)(2)(1)\), etc.) ya que en los ordenamientos el número de formas de realizar los pasos de elección se decrementa en una unidad mientras avanzamos.

Por lo anterior fue conveniente establecer una notación para estos números. Se estableció como función factorial, denotada por '!' después del número a la multiplicación decreciente de los enteros. Por definición estableceremos que \(0!=1\), entonces tenemos:

\(0!=1\)
\(1!=1\)
\(2!=2\)
\(3!=6\)
\(4!=24\)
\(5!=120\)
\(6!=720\)
\(7!=5040\)
\(8!=40320\)
\(9!=362880\)
\(10!=3628800\)

En general para un número \(n\):
\[n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(3)(2)(1)\]
Podemos establecer algunas propiedades del factorial, por ejemplo el factorial de un número \(n\) es igual al factorial anterior multiplicado por el número \(n\):
\[n!=n(n-1)!\]
\[n!=n(n-1)(n-2)!\]
\[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\]
Al realizar divisiones entre factoriales podemos deducir la siguiente propiedad debido a los factores compartidos entre los enteros no negativos \(a\) y \(b\):
\[\frac{a!}{b!}=(a)(a-1)\cdots(b+1)\:\:\:\textrm{ siempre que }a > b\]
De la misma forma para valores no negativos \(a\) y \(b\):
\[\frac{b!}{a!}=\frac{1}{(a)(a-1)\cdots(b+1)}\:\:\:\textrm{ siempre que }a > b\]

Aplicándolo al conteo tenemos el siguiente teorema:

"El número de formas de asignar \(n\) objetos diferentes a \(n\) lugares distintos es \(n!\)." 

La calculadora del programa puede obtener el valor de la función factorial.

Ejemplos de aplicación en combinatoria:

• ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 9 niños en una fila? La respuesta es \(9! = 362880\).
• ¿Cuántos códigos se forman usando 5 letras diferentes ABCDE en algún orden. La respuesta es \(5!=120\).
• ¿De cuantas formas diferentes se pueden ver 7 unidades de una materia? Se tiene que decidir el orden en que ver las unidades, por lo que la respuesta es \(7!=5040\).