Multiplicación de números complejos

Las propiedades algebraicas de la multiplicación que se vieron en el curso de álgebra también se cumplen con los números complejos como por ejemplo la propiedad conmutativa, la propiedad distributiva sobre la suma y la propiedad asociativa. Consideremos la propiedad:
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \] Aplicando la propiedad anterior y recordando que \( i^2 = -1 \) podemos resolver multiplicaciones de números complejos. El resultado de multiplicar dos números complejos siempre será un número complejo:
\[ \begin{align*} (1 + 2i)(3 + 5i) &= (1)(3) + (1)(5i) + (2i)(3) + (2i)(5i)\\ &= 3 + 5i + 6i + 10i^2\\ &= 3 + 5i + 6i + 10(-1)\\ &= 3 + 5i + 6i - 10\\ &= -7 + 11i \end{align*} \] Estos son otros ejemplos:
\((5)(3)=15\)
\((1)(3-2i)=3-2i\)
\((3-2i)(1)=3-2i\)
\((-1)(3-2i)=-3+2i\)
\((3-2i)(-1)=-3+2i\)
\((5i)(3i)=-15\)
\((3i)(5i)=-15\)
\((1+i)[(2-i)(3-2i)]=(1+i)[4-7i]=11-3i\)
\([(1+i)(2-i)](3-2i)=[3+i](3-2i)=11-3i\)
\(ii=i^2=-1\)
\(iii=i(ii)=i(i^2)=i(-1)=-i\)
\(iii=(ii)i=(i^2)i=(-1)i=-i\)
\(iiii=(ii)(ii)=(i^2)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=i(ii)i=i(i^2)i=i(-1)i=(-1)ii=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=i(iii)=i(i^3)=i(-i)=i(-1)i=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\(iiii=(iii)i=(i^3)(i)=(-i)(i)=(-1)ii=(-1)(i^2)=(-1)(-1)=1\)
\( (10i)(10i)=-100\)
\( (1+i)(1+i)=2i\)
\( (-1-i)(1+i)=-2i\)
\( (1+i)(-1-i)=-2i\)
\( (1+i)(1-i)=2\)
\( (1+i)(-i+1)=2\)
\( (i+1)(1-i)=2\)
\( (i+1)(-i+1)=2\)
\( (4+5i)(4-5i)=41\)
\( (-4+5i)(-4-5i)=41\)
\( (-4-5i)(4-5i)=-41\)