El "conjugado complejo" o "conjugado" de un número complejo
z\in\mathbb{C} es un número
\overline{z}\in\mathbb{C} tal que tiene la misma parte real de
z y la misma magnitud de la parte imaginaria de
z. La diferencia es que la parte imaginaria de
\overline{z} tiene el signo opuesto de la parte imaginaria de
z. La notación es la siguiente:
\textrm{Si }z=a+bi\textrm{ entonces el conjugado complejo es }\overline{z}=a-bi
El resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado:
\begin{align*}
z\overline{z} &= (a+bi)(a-bi)\\
&= aa-abi+abi-bbii\\
&= a^2 - b^2i^2\\
&= a^2 - b^2(-1)\\
&= a^2 + b^2
\end{align*}
Estos son algunos ejemplos de números complejos y sus conjugados:
El conjugado de
1+i es
1-i. Al multiplicarlos obtenemos
2.
El conjugado de 1-i es 1+i. Al multiplicarlos obtenemos 2.
El conjugado de -1+i es -1-i. Al multiplicarlos obtenemos 2.
El conjugado de -1-i es -1+i. Al multiplicarlos obtenemos 2.
El conjugado de 5 es 5. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de -5 es -5. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de 5i es -5i. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de -5i es 5i. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de 0 es 0. Al multiplicarlos obtenemos 0.
El conjugado de \pi-\sqrt{3}i es \pi+\sqrt{3}i. Al multiplicarlos obtenemos \pi^{2}+3.
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