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martes, 30 de julio de 2013

El conjugado de un número complejo

El "conjugado complejo" o "conjugado" de un número complejo z\in\mathbb{C} es un número \overline{z}\in\mathbb{C} tal que tiene la misma parte real de z y la misma magnitud de la parte imaginaria de z. La diferencia es que la parte imaginaria de \overline{z} tiene el signo opuesto de la parte imaginaria de z. La notación es la siguiente: \textrm{Si }z=a+bi\textrm{ entonces el conjugado complejo es }\overline{z}=a-bi El resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado: \begin{align*} z\overline{z} &= (a+bi)(a-bi)\\ &= aa-abi+abi-bbii\\ &= a^2 - b^2i^2\\ &= a^2 - b^2(-1)\\ &= a^2 + b^2 \end{align*} Estos son algunos ejemplos de números complejos y sus conjugados:

El conjugado de 1+i es 1-i. Al multiplicarlos obtenemos 2.
El conjugado de 1-i es 1+i. Al multiplicarlos obtenemos 2.
El conjugado de -1+i es -1-i. Al multiplicarlos obtenemos 2.
El conjugado de -1-i es -1+i. Al multiplicarlos obtenemos 2.
El conjugado de 5 es 5. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de -5 es -5. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de 5i es -5i. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de -5i es 5i. Al multiplicarlos obtenemos 25.
El conjugado de 0 es 0. Al multiplicarlos obtenemos 0.
El conjugado de \pi-\sqrt{3}i es \pi+\sqrt{3}i. Al multiplicarlos obtenemos \pi^{2}+3.

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