El conjugado de un número complejo

El "conjugado complejo" o "conjugado" de un número complejo \( z\in\mathbb{C} \) es un número \( \overline{z}\in\mathbb{C}\) tal que tiene la misma parte real de \(z\) y la misma magnitud de la parte imaginaria de \(z\). La diferencia es que la parte imaginaria de \(\overline{z}\) tiene el signo opuesto de la parte imaginaria de \(z\). La notación es la siguiente: \[\textrm{Si }z=a+bi\textrm{ entonces el conjugado complejo es }\overline{z}=a-bi\] El resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado: \[\begin{align*} z\overline{z} &= (a+bi)(a-bi)\\ &= aa-abi+abi-bbii\\ &= a^2 - b^2i^2\\ &= a^2 - b^2(-1)\\ &= a^2 + b^2 \end{align*}\] Estos son algunos ejemplos de números complejos y sus conjugados:

El conjugado de \(1+i\) es \(1-i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).

El conjugado de \(1-i\) es \(1+i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).

El conjugado de \(-1+i\) es \(-1-i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).

El conjugado de \(-1-i\) es \(-1+i\). Al multiplicarlos obtenemos \(2\).

El conjugado de \(5\) es \(5\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).

El conjugado de \(-5\) es \(-5\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).

El conjugado de \(5i\) es \(-5i\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).

El conjugado de \(-5i\) es \(5i\). Al multiplicarlos obtenemos \(25\).

El conjugado de \(0\) es \(0\). Al multiplicarlos obtenemos \(0\).

El conjugado de \(\pi-\sqrt{3}i\) es \(\pi+\sqrt{3}i\). Al multiplicarlos obtenemos \(\pi^{2}+3\).