División de números complejos

El resultado de dividir un número complejo entre otro número complejo siempre será un número complejo. El procedimiento para expresar el cociente de dos números complejos como un único número complejo involucra quitar \(i\) del denominador de la expresión. El procedimiento se describe a continuación.

Recordemos que cualquier número complejo multiplicado por uno (1) se mantiene igual. Combinando esta propiedad del uno con la idea del complejo conjugado podemos convertir fracciones complejas a una forma donde ya no tengan números imaginarios en el denominador. Esto involucra multiplicar el denominador por su conjugado, para hacer esto se tiene que multiplicar el numerador también. El procedimiento sería el siguiente:

Si se tiene dos números complejos \(z_{1}=a+bi\) y \(z_{2}=c+di\) entonces podemos simplificar su división de la siguiente forma:
\[
\begin{align*}
\frac{z_{1}}{z_{2}} &= \frac{z_{1}}{z_{2}}(1)\\
 &= \frac{z_{1}}{z_{2}}\left (\frac{\overline{z}_{2}}{\overline{z}_{2}}\right )\\
 &= \frac{a+bi}{c+di}\left (\frac{c-di}{c-di}\right )\\
 &= \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\\
 &= \frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2+d^2}\\
 &= \frac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2}\\
 &= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\\
 &= \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i
\end{align*}
\]

Algunos ejemplos de divisiones:
\[\frac{4+3i}{1}=4+3i\]
\[\frac{4+3i}{-1}=-4-3i\]
\[\frac{4+3i}{7}=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}i\]
\[\frac{4+3i}{7i}=\frac{3}{7}-\frac{4}{7}i\]
\[\frac{1}{i}=-i\]
\[\frac{3}{i}=-3i\]
\[\frac{1}{-i}=i\]
\[\frac{1}{2i}=-\frac{1}{2}i\]
\[\frac{1+i}{i}=1-i\]
\[\frac{1+i}{1-i}=i\]
\[\frac{1-i}{1+i}=-i\]
\[\frac{2+7i}{3-5i}=-\frac{29}{34}+\frac{31}{34}i\]
\[\frac{4+3i}{4-3i}=\frac{7}{25}+\frac{24}{25}i\]
\[\frac{4-3i}{4+3i}=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i\]
\[\frac{0}{4+3i}=0\]