Funciones que coinciden con su inversa

Hay algunas funciones $f$ que sí tienen una función inversa $f^{-1}$ que cumplen la siguiente ecuación para todos los valores del dominio:
$$f(x) = f^{-1}(x)$$
Llamamos a este tipo de funciones "funciones que coinciden con su inversa" ya que la función misma sirve como la función inversa de la función misma.

Sabemos que una función $f$ y su correspondiente función inversa $f^{-1}(x)$ cumple las siguientes propiedades de funciones compuestas:
$$f(f^{-1}(x))=x$$
$$f^{-1}(f(x))=x$$
$$(f \circ f^{-1})(x)=x$$
$$(f^{-1} \circ f)(x)=x$$
Entonces, si agregamos el hecho que $f(x) = f^{-1}(x)$ podemos decir que las "funciones que coinciden con su inversa" tienen las siguientes propiedades de funciones compuestas:
$$f(f(x))=x$$
$$(f \circ f)(x)=x$$
Como la gráfica de una función se convierte en la gráfica de la función inversa si se refleja a través de la línea generada por la gráfica de la relación $y=x$. Entonces podemos deducir que las funciones que coinciden con su inversa serán funciones que sean simétricas con respecto a la línea generada por la gráfica de la relación $y = x$.

Podemos usar cualquiera de las propiedades anteriores para demostrar que una función es una función que coincide con su inversa.

Veamos algunos ejemplos de funciones que coinciden con su inversa:

Ejemplo 1: $f(x)=x$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = x$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos $x = y$, así que llegamos a lo mismo que empezamos.
• Vemos que si cumple la propiedad $f(f(x))=f(x)=x$, esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

La función queda justo en la línea 'y = x' por lo que es simétrica con respecto a ésta.
[Todas las gráficas de esta entrada fueron hechas en "Desmos Graphing Calculator"]

Ejemplo 2: $f(x)=-x$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = -x$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos $x = -y$, llegamos a lo mismo que empezamos $-x = y$.
• Vemos que si cumple la propiedad $f(f(x))=f(-x)=-(-x)=x$, esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

La función es perpendicular a la línea 'y = x' por lo que queda simétrica a ella.

Ejemplo 3: $f(x)=5-x$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = 5-x$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos $x = 5-y$, llegamos a lo mismo que empezamos $y = 5-x$.
• Vemos que si cumple la propiedad $f(f(x))=f(5-x)=5-(5-x)=5-5+x=x$, esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

También es una línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 4: $f(x)=-100-x$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = -100-x$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa $x = -100-y$, llegamos a lo mismo que empezamos $y = -100 - x$.
• Vemos que si cumple la propiedad $f(f(x))=f(-100-x)=-100-(-100-x)=-100+100+x=x$, esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

Línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 5: $f(x)=\frac{1}{x}$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = \frac{1}{x}$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa $x = \frac{1}{y}$, llegamos a lo mismo que empezamos $y = \frac{1}{x}$.
• Vemos que si cumple la propiedad $f(f(x))=f(\frac{1}{x})=\frac{1}{(1/x)}=x$, esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

Vemos que es simétrica con respecto a la línea 'y=x'.

Ejemplo 6: $f(x)=-\frac{1}{x}$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = -\frac{1}{x}$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa $x = -\frac{1}{y}$, llegamos a lo mismo que empezamos $y = -\frac{1}{x}$.
• Vemos que si cumple la propiedad $f(f(x))=f(-\frac{1}{x})=-\frac{1}{(-1/x)}=x$, esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 7: $f(x)=\frac{4}{x}$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = \frac{4}{x}$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa $x = \frac{4}{y}$, llegamos a lo mismo que empezamos $y = \frac{4}{x}$.
• Vemos que si cumple la propiedad $f(f(x))=f(\frac{4}{x})=\frac{4}{(4/x)}=x$, esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

La simetría con respecto a la línea 'y = x' nos indica que es una función que coincide con su inversa.

Ejemplo 8: $f(x)=\frac{x}{x-1}$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = \frac{x}{x-1}$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa $x = \frac{y}{y-1}$, despejando tenemos $x(y-1)-y=0$, distribuyendo la $x$ tenemos $xy-x-y=0$, agrupando las $y$'s tenemos $y(x-1)-x=0$, despejando la $y$ llegamos a lo mismo que empezamos $y = \frac{x}{x-1}$.
• Vemos que si cumple la propiedad:

$$f(f(x))=f\left (\frac{x}{x-1}\right )=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}$$

$$f(f(x))=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}}=x$$

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

Simétrica con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 9: $f(x)=\frac{-3x}{x+3}$

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos $y = \frac{-3x}{x+3}$, luego cambiamos las x's por y's y viceversa $x = \frac{-3y}{y+3}$, despejando tenemos $x(y+3)+3y=0$, distribuyendo la $x$ tenemos $xy+3x+3y=0$, agrupando las $y$'s tenemos $y(x+3)+3x=0$, despejando la $y$ llegamos a lo mismo que empezamos $y = \frac{-3x}{x+3}$.
• Vemos que si cumple la propiedad:

$$f(f(x))=f\left (\frac{-3x}{x+3}\right )=\frac{-3\frac{-3x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+3}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+\frac{3x+9}{x+3}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x+3}}$$

$$f(f(x))=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x-1}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{9}{x+3}}=x$$

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es $(f \circ f)(x)=x$.
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea $y = x$.

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.