Funciones que coinciden con su inversa

Hay algunas funciones \(f\) que sí tienen una función inversa \(f^{-1}\) que cumplen la siguiente ecuación para todos los valores del dominio:
\[f(x) = f^{-1}(x)\]
Llamamos a este tipo de funciones "funciones que coinciden con su inversa" ya que la función misma sirve como la función inversa de la función misma.

Sabemos que una función \(f\) y su correspondiente función inversa \(f^{-1}(x)\) cumple las siguientes propiedades de funciones compuestas:
\[f(f^{-1}(x))=x\]
\[f^{-1}(f(x))=x\]
\[(f \circ f^{-1})(x)=x\]
\[(f^{-1} \circ f)(x)=x\]
Entonces, si agregamos el hecho que \(f(x) = f^{-1}(x)\) podemos decir que las "funciones que coinciden con su inversa" tienen las siguientes propiedades de funciones compuestas:
\[f(f(x))=x\]
\[(f \circ f)(x)=x\]
Como la gráfica de una función se convierte en la gráfica de la función inversa si se refleja a través de la línea generada por la gráfica de la relación \(y=x\). Entonces podemos deducir que las funciones que coinciden con su inversa serán funciones que sean simétricas con respecto a la línea generada por la gráfica de la relación \(y = x\).

Podemos usar cualquiera de las propiedades anteriores para demostrar que una función es una función que coincide con su inversa.

Veamos algunos ejemplos de funciones que coinciden con su inversa:

Ejemplo 1: \(f(x)=x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = y\), así que llegamos a lo mismo que empezamos.
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(x)=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función queda justo en la línea 'y = x' por lo que es simétrica con respecto a ésta.
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Ejemplo 2: \(f(x)=-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = -y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(-x = y\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-x)=-(-x)=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función es perpendicular a la línea 'y = x' por lo que queda simétrica a ella.

Ejemplo 3: \(f(x)=5-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = 5-x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = 5-y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = 5-x\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(5-x)=5-(5-x)=5-5+x=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

También es una línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 4: \(f(x)=-100-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -100-x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = -100-y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = -100 - x\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-100-x)=-100-(-100-x)=-100+100+x=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 5: \(f(x)=\frac{1}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{1}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{1}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{1}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(\frac{1}{x})=\frac{1}{(1/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Vemos que es simétrica con respecto a la línea 'y=x'.

Ejemplo 6: \(f(x)=-\frac{1}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -\frac{1}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = -\frac{1}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = -\frac{1}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-\frac{1}{x})=-\frac{1}{(-1/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 7: \(f(x)=\frac{4}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{4}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{4}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{4}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(\frac{4}{x})=\frac{4}{(4/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La simetría con respecto a la línea 'y = x' nos indica que es una función que coincide con su inversa.

Ejemplo 8: \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{x}{x-1}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{y}{y-1}\), despejando tenemos \(x(y-1)-y=0\), distribuyendo la \(x\) tenemos \(xy-x-y=0\), agrupando las \(y\)'s tenemos \(y(x-1)-x=0\), despejando la \(y\) llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{x}{x-1}\).
• Vemos que si cumple la propiedad:

\[f(f(x))=f\left (\frac{x}{x-1}\right )=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}\]

\[f(f(x))=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}}=x\]

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Simétrica con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 9: \(f(x)=\frac{-3x}{x+3}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{-3x}{x+3}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{-3y}{y+3}\), despejando tenemos \(x(y+3)+3y=0\), distribuyendo la \(x\) tenemos \(xy+3x+3y=0\), agrupando las \(y\)'s tenemos \(y(x+3)+3x=0\), despejando la \(y\) llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{-3x}{x+3}\).
• Vemos que si cumple la propiedad:

\[f(f(x))=f\left (\frac{-3x}{x+3}\right )=\frac{-3\frac{-3x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+3}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+\frac{3x+9}{x+3}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x+3}}\]

\[f(f(x))=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x-1}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{9}{x+3}}=x\]

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.