La derivada como una operación

Podemos interpretar el paso de obtener la derivada de una expresión como "una operación que se aplica a una expresión para convertirla en otra expresión". No es una operación binaria como la suma, ni la resta, ni la multiplicación, ni la división; porque las operaciones binarias requieren de dos cantidades para obtener una respuesta. Es más parecido a la operación de multiplicar por \(-1\) una cantidad o obtener el recíproco de una cantidad \(\frac{1}{x}\), estas son operaciones unarias, donde sólo requerimos de un valor para realizar la operación. En este caso sólo requerimos una expresión para poder realizar la operación.

El símbolo del "operador" será \(\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\) seguido por unos paréntesis que rodean la expresión que afectan. Ejemplos:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2\right) = 2x\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 + 3x - 1\right) = 2x+3\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(x)\right) = \textrm{cos}(x)\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7x+3)^3 \right)= -21(-7x+3)^2\]

Propiedades de la operación de obtener la derivada:

Si \(u\) y \(v\) son cantidades que dependen de \(x\), y además \(c\) es una constante, entonces:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u + v\right)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)+\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u - v\right)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (cu\right)=c\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (c\right)=0\]

Podemos ahorrar espacio en la notación cuando estemos obteniendo la derivada de una cantidad representada por una letra si colocamos la variable justo a lado de la \(\textrm{d}\). Ejemplos:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)=\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (y\right)=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Entonces las propiedades anteriores quedan:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u + v\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}+\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u - v\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}-\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (cu\right)=c\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\]