La derivada con respecto a x de una función de y

Sea \(u = g(y)\), es decir, la cantidad \(u\) es una función de \(y\). Queremos obtener la derivada de \(u\) con respecto a \(x\). Podemos utilizar la regla de la cadena para expresar la solución en términos de la derivada de \(y\) con respecto a \(x\):
\[\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Aquí \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\) representa la razón de cambio de \(u\) con respecto a \(x\). Es decir, tenemos que multiplicar la razón de cambio de \(u\) con respecto a \(y\), que es \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}\), por la razón de cambio de \(y\) con respecto a \(x\), que es \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\).

Ejemplos:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Lo que resulta es parecido a la derivada común con respecto a \(x\), como si en vez de funciones de \(y\) fueran funciones de \(x\), multiplicada por \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\).

Usaremos este resultado más adelante para calcular derivadas de expresiones sin necesidad de despejar para la variable \(y\).

También puede resultar útil simplificar la notación de \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\) a \(y'\) para así ahorrar tiempo en el examen y facilitar procedimientos algebraicos, es decir:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2yy'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2 y'\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y y'\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2} y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y) y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y} y'\]