La derivada con respecto a x de una función de y

Sea $u = g(y)$, es decir, la cantidad $u$ es una función de $y$. Queremos obtener la derivada de $u$ con respecto a $x$. Podemos utilizar la regla de la cadena para expresar la solución en términos de la derivada de $y$ con respecto a $x$:
$$\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$

Aquí $\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}$ representa la razón de cambio de $u$ con respecto a $x$. Es decir, tenemos que multiplicar la razón de cambio de $u$ con respecto a $y$, que es $\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}$, por la razón de cambio de $y$ con respecto a $x$, que es $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$.

Ejemplos:

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$
$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$
$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$$

Lo que resulta es parecido a la derivada común con respecto a $x$, como si en vez de funciones de $y$ fueran funciones de $x$, multiplicada por $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$.

Usaremos este resultado más adelante para calcular derivadas de expresiones sin necesidad de despejar para la variable $y$.

También puede resultar útil simplificar la notación de $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}$ a $y'$ para así ahorrar tiempo en el examen y facilitar procedimientos algebraicos, es decir:

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2yy'$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)y'$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)y'$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2 y'$$
$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y y'$$
$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2} y'$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y) y'$$

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y} y'$$