Diremos que una ecuación \(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3} = b_{1}\) es equivalente a otra ecuación \(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3} = d_{1}\) sí y sólo sí existe un número \(k \in \mathbb{R}\) tal que se cumple que \(ka_{i}=c_{i}\) para todo \(i\) y también se cumple que \(kb_{1}=d_{1}\). La única excepción es que \(k \ne 0\).
Dicho de forma más intuitiva una ecuación es equivalente a otra ecuación si se puede transformar una a la otra multiplicando por un número real, siempre que se mantengan las mismas variables. Dicho de otro modo la segunda ecuación no me proporciona información nueva que no pueda deducir a partir de la primera y viceversa.
Ejemplos de ecuaciones equivalentes:
- \(2x=4\) es una ecuación equivalente a \(100x=200\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(50\).
- \(x=\pi\) es una ecuación equivalente a \(-3x=-3\pi\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(-3\).
- \(x+y=0\) es una ecuación equivalente a \(7x+7y=0\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(7\).
- \(2x-3y=1\) es una ecuación equivalente a \(-4x+6y=-2\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(-2\).
- \(x+y-z=0\) es una ecuación equivalente a \(x+y-z=0\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(1\).
- \(x+y-z=0\) es una ecuación equivalente a \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=0\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(\frac{1}{2}\).
- \(x+y-z=\sqrt{2}\) es una ecuación equivalente a \(2x+2y-2z=2\sqrt{2}\). En este caso se puede convertir la primera en la segunda multiplicando por \(2\).
Si un sistema de ecuaciones lineales presenta ecuaciones equivalentes y son fáciles de identificar entonces podemos eliminarlas rápidamente usando las operaciones permitidas de multiplicar por una constante (que no sea 0) y restar la expresión. Así podemos reducir sistemas a sistemas más simples de forma muy rápida.
Ejemplos reduciendo sistemas de ecuaciones lineales:
Ejemplo 1:
Ejemplo 1:
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y una variable" a uno con "una ecuación y una variable". Este sistema tiene una solución única \(x = \frac{1}{2}\).
Ejemplo 2:
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10\\
30x&=15
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y una variable" a uno con "una ecuación y una variable". Este sistema tiene una solución única \(x = \frac{1}{2}\).
Ejemplo 3:
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y una variable" a uno con "dos ecuaciones y una variable". Este sistema no tiene solución ya que las ecuaciones se contradicen, se puede ver más claro reduciendo el sistema más por reducción de filas.
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
0&=-1
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contracción.
Ejemplo 4:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
-7x-7y&=-7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y dos variables" a uno con "una ecuación y dos variables". El sistema tendrá como solución todos los puntos en la recta \(x+y=1\) en el plano cartesiano, son una infinidad de soluciones. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 1 - \lambda \\
y &= \lambda\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 5:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "una ecuación y dos variables". El sistema tendrá como solución todos los puntos en la recta \(x+y=\frac{3}{2}\) en el plano cartesiano, son una infinidad de soluciones. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= \frac{3}{2} - \lambda \\
y &= \lambda\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 6:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "dos ecuaciones y dos variables". Ya que estas dos ecuaciones se contradicen este sistema no tendrá solución única, se puede ver más claro continuando reduciendo el sistema por medio de reducción de filas.
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y una variable" a uno con "una ecuación y una variable". Este sistema tiene una solución única \(x = \frac{1}{2}\).
Ejemplo 2:
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10\\
30x&=15
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y una variable" a uno con "una ecuación y una variable". Este sistema tiene una solución única \(x = \frac{1}{2}\).
Ejemplo 3:
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
20x&=10\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y una variable" a uno con "dos ecuaciones y una variable". Este sistema no tiene solución ya que las ecuaciones se contradicen, se puede ver más claro reduciendo el sistema más por reducción de filas.
\[
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
30x&=14
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
10x&=5\\
0&=0\\
0&=-1
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contracción.
Ejemplo 4:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
-7x-7y&=-7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y&=1\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y dos variables" a uno con "una ecuación y dos variables". El sistema tendrá como solución todos los puntos en la recta \(x+y=1\) en el plano cartesiano, son una infinidad de soluciones. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 1 - \lambda \\
y &= \lambda\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 5:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "una ecuación y dos variables". El sistema tendrá como solución todos los puntos en la recta \(x+y=\frac{3}{2}\) en el plano cartesiano, son una infinidad de soluciones. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= \frac{3}{2} - \lambda \\
y &= \lambda\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 6:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "dos ecuaciones y dos variables". Ya que estas dos ecuaciones se contradicen este sistema no tendrá solución única, se puede ver más claro continuando reduciendo el sistema por medio de reducción de filas.
\[
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
0&=-2
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contracción.
Ejemplo 7:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "dos ecuaciones y dos variables". Estas dos ecuaciones determinan una solución única. Continuando con la reducción de filas llegamos al resultado:
\[
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
y&=4
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x&=\frac{3}{2}-4\\
y&=4
\end{matrix}\right.
\]Entonces la solución única es:
\[
\begin{align*}
x &= -\frac{5}{2}\\
y &= 4
\end{align*}
\]
Ejemplo 8:
\begin{align*}
x &= 3 - \lambda - \mu\\
y &= \lambda\\
z &= \mu\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R} & \mu \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
6x+6y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
0&=-2
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contracción.
Ejemplo 7:
\[
\left\{\begin{matrix}
2x+2y&=3\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y dos variables" a uno con "dos ecuaciones y dos variables". Estas dos ecuaciones determinan una solución única. Continuando con la reducción de filas llegamos al resultado:
\[
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
2x+3y&=7
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x+y&=\frac{3}{2}\\
y&=4
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
0&=0\\
x&=\frac{3}{2}-4\\
y&=4
\end{matrix}\right.
\]Entonces la solución única es:
\[
\begin{align*}
x &= -\frac{5}{2}\\
y &= 4
\end{align*}
\]
Ejemplo 8:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
2x+2y+2z&=6
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y tres variables" a uno con "una ecuación y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma del plano \(x+y+z=3\) en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\[\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
2x+2y+2z&=6
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "dos ecuaciones y tres variables" a uno con "una ecuación y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma del plano \(x+y+z=3\) en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\begin{align*}
x &= 3 - \lambda - \mu\\
y &= \lambda\\
z &= \mu\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R} & \mu \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 9:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
2x+2y+2z&=6\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=0\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "una ecuación y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma del plano \(x+y+z=3\) en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 3 - \lambda - \mu\\
y &= \lambda\\
z &= \mu\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R} & \mu \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
2x+2y+2z&=6\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=0\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "una ecuación y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma del plano \(x+y+z=3\) en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 3 - \lambda - \mu\\
y &= \lambda\\
z &= \mu\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R} & \mu \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 10:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
z&=-7\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
z&=-7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "dos ecuaciones y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma de una línea en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 10 - \lambda\\
y &= \lambda\\
z &= -7\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
z&=-7\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
z&=-7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "dos ecuaciones y tres variables". El sistema tendrá infinitas soluciones en forma de una línea en el espacio tridimensional. Las soluciones se pueden expresar:
\[
\begin{align*}
x &= 10 - \lambda\\
y &= \lambda\\
z &= -7\\
& \textrm{Donde }\lambda \in \mathbb{R}
\end{align*}
\]
Ejemplo 11:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "dos ecuaciones y tres variables". El sistema no tendrá solución ya que las ecuaciones se contradicen. Si reducimos aún más el sistema:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=4\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contradicción.
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
3x+3y+3y&=9
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Reducimos rápidamente el sistema de uno de "tres ecuaciones y tres variables" a uno con "dos ecuaciones y tres variables". El sistema no tendrá solución ya que las ecuaciones se contradicen. Si reducimos aún más el sistema:
\[
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
x+y+z&=7\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x+y+z&=3\\
0&=4\\
0&=0
\end{matrix}\right.
\] Esto hace evidente la contradicción.
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