El argumento de un número complejo

El argumento de los números complejos nos indica la dirección de la cantidad. El módulo de los números complejos por si mismo sólo nos indica la magnitud de la cantidad, pero no dice nada sobre su dirección.

En el caso de los números reales la "dirección" puede ser positiva o negativa, que corresponden comúnmente con Este y Oeste en la mayoría de los diagramas. Sin embargo, con los números complejos hay un mayor número de "direcciones" posibles. Como los números se encuentran en un plano cartesiano tenemos direcciones como: norte, sur, este, oeste, noreste, sureste, nornoreste, sursuroeste, etc. Hay tantas direcciones posibles que no es práctico nombrar a cada una.

Las direcciones se asignan según el ángulo (en grados o radianes) que se forma entre el rayo del origen a la coordenada del número y el rayo formado por el lado derecho del eje de los números reales.

Tres números complejos con sus argumentos. Se muestran un ángulo negativo y otro positivo para el número 1-i

Los ángulos positivos van al contrario de las manecillas del reloj; los negativos van en la dirección de las manecillas del reloj.

Los valores del ángulo que puede tomar depende de como se definan todas las posibilidades para evitar repeticiones de direcciones, puede variar según el problema, algunas alternativas posibles son:

• \(0 < \theta \le 2\pi\)
• \(0 \le \theta < 2\pi\)
• \(0° < \theta \le 360°\)
• \(0° \le \theta < 360°\)
• \(-\pi < \theta \le \pi\)
• \(-\pi \le \theta < \pi\)
• \(-180° < \theta \le 180°\)
• \(-180° \le \theta < 180°\)

A menos que se indique lo contrario en el problema, cualquier ángulo coterminal equivalente debería de ser suficiente para obtener la respuesta correcta. En estas entradas se usará \(0 \le \theta < 2\pi\).

El argumento de un número complejo se denota: \[\mathrm{arg}\;z\]

El valor del argumento depende del cuadrante dónde se encuentra el número complejo y el ángulo del triángulo formado por la línea origen-coordenada. Para encontrar el ángulo del triángulo deben de utilizar sus conocimientos de trigonometría, utilizando las funciones trigonométricas inversas: arcsen, arccos y arctan. La información del ángulo combinada con la información del cuadrante nos dará la respuesta correcta. 

No hay argumento definido para el número cero ya que se puede describir únicamente con su módulo.

Estos son algunos ejemplos:

\[\mathrm{arg}\;1 = 0\]

\[\mathrm{arg}\;5 = 0\]

\[\mathrm{arg}\;(-1) = \pi\]
\[\mathrm{arg}\;(-5) = \pi\]

\[\mathrm{arg}\;i = \frac{\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;5i = \frac{\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;(-i) = \frac{3\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;(-5i) = \frac{3\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;\sqrt{2} = 0\]  

\[\mathrm{arg}\;(-\sqrt{2}) = \pi\]

\[\mathrm{arg}\;(1+i) = \frac{\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(2+2i) = \frac{\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(7+7i) = \frac{\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(-1-i) = \frac{5\pi}{4}\] 

\[\mathrm{arg}\;(-2-2i) = \frac{5\pi}{4}\] 

\[\mathrm{arg}\;(-7-7i) = \frac{5\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(1-i) = \frac{7\pi}{4}\]  

\[\mathrm{arg}\;(-1+i) = \frac{3\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;\left (\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i \right )= \frac{\pi}{6}\]  

El módulo de un número complejo

En álgebra se introdujo el concepto del valor absoluto que es la distancia entre un número y el origen en la recta de los números reales. La notación del valor absoluto de un número \(a\) es la siguiente: \[\left |a\right |\]
De forma muy similar tenemos el concepto de "módulo de un número complejo". El módulo de un número complejo es la distancia entre la coordenada del número en el plano de los números complejos (x,y) y la coordenada del origen en el plano de los números complejos (0,0).

Como sabemos de los conocimientos previos la distancia entre los dos puntos anteriores en un plano cartesiano es: \[\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\]
Por lo anterior, el módulo de un número complejo \(x+yi\) es \(\sqrt{x^2+y^2}\). Para un número puramente real el valor del módulo del número es igual al valor absoluto, por lo que es conveniente usar el mismo símbolo de "valor absoluto" para denotar el módulo de un número complejo: \[\textrm{Si   }\;\;z=x+iy\;\;\textrm{entonces}\;\left |z\right |=\sqrt{x^2+y^2}\]
Otro nombre para decir "módulo de un número complejo" es "magnitud de un número complejo".

El módulo de un número complejo siempre es un número real mayor o igual a cero, es decir, nunca puede ser negativo.

Ejemplos:
\(\left | 5 \right | = 5\)
\(\left | -5 \right | = 5\)
\(\left | 5i \right | = 5\)
\(\left | -5i \right | = 5\)
\(\left | \sqrt{2} \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | \sqrt{2}i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | 1+i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | 1-i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | -1+i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | -1-i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | -1-i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | \frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i \right | = 5\)

Diagramas de Argand mostrando de los ejemplos:

Cuatro números complejos con el mismo módulo. Todos los números complejos con coordenadas en el círculo verde tienen el mismo módulo que el número 5.

Algunos números complejos con el mismo módulo que la raíz de 2.

La forma cartesiana de un número complejo

Decimos que un número complejo está expresado en "su forma cartesiana" si se escribe de la forma \(x + yi\) dónde \(x\in\mathbb{R}\) y \(y\in\mathbb{R}\). Esta es la forma que hemos estado trabajando.

Al número complejo \(x + yi\)  le corresponde el punto con par coordenado \((x,y)\) dentro del diagrama de Argand. Para facilitar la identificación del punto le podemos poner una leyenda, trazar una línea conectando el punto al origen o trazar las proyecciones del punto a los ejes.

El número 2-i como el punto (2,-1) en el diagrama de Argand

El número -1-i como el punto (-1,-1) en el diagrama de Argand

El número -2+i como el punto (-2,1) en el diagrama de Argand

El plano de los números complejos

Análogo a como se pueden representar a los números reales como los puntos en una recta continua, los números complejos se pueden representar como los puntos en un plano cartesiano.

En este plano cartesiano el eje-x corresponde con la recta de los números puramente reales, el eje-y corresponde a la recta de los números puramente imaginarios.

El plano se llama "plano de los números complejos" o "diagrama de Argand".

El "plano de los números complejos" o "diagrama de Argand"

Propiedades de los exponentes

Las propiedades de los exponentes que se ven en álgebra también se extienden a los números complejos. Según lo ya visto en las entradas pasadas las reglas que se cumplen son las mismas que con los reales.

Considerando que \( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \) y además \( n, m \in \mathbb{R} \):

• \( z^{0}=1 \) siempre que \( z \ne 0 \)
• \( zz^{-1} = 1 \) siempre que \( z \ne 0 \)
• \( z^{1}=z \) para todo número complejo

Siempre que no lleve a una "división entre cero" o a "cero a la cero potencia" se cumplen las siguientes propiedades también:

• \( z^{m}z^{n}=z^{m+n}\)
• \( (z^{m})^{n} = z^{mn}\)
• \( (z_{1}z_{2})^{n} = z_{1}^{n}z_{2}^{n}\)
• \[ z^{-n} = \frac{1}{z^{n}}\]

Las propiedades se pueden combinar para crear problemas más complejos. Algunos ejemplos de las propiedades anteriores.

\((10-23i)^{0}=1\)

\((i)^{0}=1\)

\((10-23i)(10-23i)^{-1}=1\)

\((i)(i)^{-1}=1\)

\((10-23i)^{1}=10-23i\)

\(i^{1}=i\)

\((10-23i)^{2}(10-23i)^{-3}=(10-23i)^{-1}=\frac{10}{629}+\frac{23}{629}i\)

\((i)^{2}(i)^{5}=i^{7}=-i\)

\(((10-23i)^{-1})^{-2}=(10-23i)^{2}=-429-460i\)

\((i^{2})^{3}=i^{6}=-1\)

\([(i)(10-23i)]^{2}=(i)^{2}(10-23i)^{2}=429+460i\)

\([(1+i)(-2-i)]^{-2}=(1+i)^{-2}(-2-i)^{-2}=-\frac{2}{25}-\frac{3}{50}i\)

Número complejo elevado a una potencia entera negativa

La potencia entera negativa de un número complejo puede interpretarse como el recíproco del número complejo elevado a una potencia entera positiva. La operación resulta en un número complejo. Multiplicando las fracciones por un 1 construido con el conjugado del número complejo del denominador convierte la expresión a una forma que no tiene \(i\) en el denominador.

El único cálculo no permitido son los que involucren divisiones entre cero.

En general:
\[
\begin{align*}
(a+bi)^{-1}&=\frac{1}{a+bi}\\
&=\frac{1}{a+bi}\frac{a-bi}{a-bi}\\
&=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\\
&=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
 (a+bi)^{-2}&=\frac{1}{(a+bi)(a+bi)}\\
 &=\frac{1}{(a+bi)(a+bi)}\frac{(a-bi)(a-bi)}{(a-bi)(a-bi)}\\
 &=\frac{(a-bi)^2}{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}\\
 &=\frac{a^2-b^2-2abi}{(a^2+b^2)^2}\\
&=\frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2}-\left(\frac{2ab}{(a^2+b^2)^2}\right)i
\end{align*}
\]
Y el patrón continúa así para todo número positivo. El uso de la calculadora del curso facilita el cálculo de estas expresiones. Estos son algunos ejemplos:
\(1^{-1}=1\)
\(1^{-2}=1\)
\(1^{-3}=1\)
\((-1)^{-1}=-1\)
\((-1)^{-2}=1\)
\((-1)^{-3}=-1\)
\((-1)^{-4}=1\)
\(2^{-1}=\frac{1}{2}\)
\(2^{-2}=\frac{1}{4}\)
\(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
\(2^{-4}=\frac{1}{16}\)
\((-2)^{-1}=-\frac{1}{2}\)
\((-2)^{-2}=\frac{1}{4}\)
\((-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\)
\((-2)^{-4}=\frac{1}{16}\)
\(i^{-1}=-i\)
\(i^{-2}=-1\)
\(i^{-3}=i\)
\(i^{-4}=1\)
\(i^{-5}=-i\)
\(i^{-6}=-1\)
\(i^{-7}=i\)
\(i^{-8}=1\)
\((1+i)^{-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\)
\((1+i)^{-2}=-\frac{1}{2}i\)
\((1+i)^{-3}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i\)
\((1+i)^{-4}=-\frac{1}{4}\)
\((1+i)^{-5}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}i\)
\((1+i)^{-6}=\frac{1}{8}i\)
\((1+i)^{-7}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}i\)
\((1+i)^{-8}=\frac{1}{16}\)
\((1+i)^{-9}=\frac{1}{32}-\frac{1}{32}i\)
\((1+i)^{-10}=-\frac{1}{32}i\)
\((1+i)^{-11}=-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}i\)
\((1+i)^{-12}=-\frac{1}{64}\)
\((1+i)^{-13}=-\frac{1}{128}+\frac{1}{128}i\)

Número complejo elevado a una potencia entera positiva

La potencia entera positiva puede interpretarse como el número de veces que se multiplica un número complejo por si mismo. La propiedad asociativa de la multiplicación nos permite resolverla de varias formas y llegar al mismo resultado. En general:
\[(a+bi)^1=a+bi\]
\[
\begin{align*}
 (a+bi)^2&=(a+bi)(a+bi)\\
 &=a^2+2iab+(b^2i^2)\\
 &=(a^2-b^2)+(2ab)i
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
 (a+bi)^3&=(a+bi)(a+bi)(a+bi)\\
&=(a+bi)(a+bi)^2\\
&=[a+bi][(a^2-b^2)+(2ab)i]\\
&=(a)(a^2-b^2)+(a)(2abi)+(bi)(a^2-b^2)+(bi)(2abi)\\
 &=a^3-ab^2+2a^2bi+a^2bi-b^3i+2ab^2i^2\\
 &=a^3-ab^2+2a^2bi+a^2bi-b^3i-2ab^2\\
 &=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i
\end{align*}
\]
Y el patrón continúa así para todo número positivo. El uso de la calculadora del curso facilita el cálculo de estas expresiones. Estos son algunos ejemplos:
\(1^1=1\)
\(1^2=1\)
\(1^3=1\)
\((-1)^1=-1\)
\((-1)^2=1\)
\((-1)^3=-1\)
\((-1)^4=1\)
\(2^1=2\)
\(2^2=4\)
\(2^3=8\)
\(2^4=16\)
\((-2)^1=-2\)
\((-2)^2=4\)
\((-2)^3=-8\)
\((-2)^4=16\)
\(i^1=i\)
\(i^2=ii=-1\)
\(i^3=iii=i^2i=(-1)i=-i\)
\(i^4=iiii=i^2i^2=(-1)(-1)=1\)
\(i^5=iiiii=i^2i^2i=(-1)(-1)i=i\)
\(i^6=iiiiii=i^2i^2i^2=(-1)(-1)(-1)=-1\)
\(i^7=iiiiiii=i^2i^2i^2i=(-1)(-1)(-1)i=-i\)
\(i^8=iiiiiiii=i^2i^2i^2i^2=(-1)(-1)(-1)(-1)=1\)
\((1+i)^1=1+i\)
\((1+i)^2=2i\)
\((1+i)^3=-2+2i\)
\((1+i)^4=-4\)
\((1+i)^5=-4-4i\)
\((1+i)^6=-8i\)
\((1+i)^7=8-8i\)
\((1+i)^8=16\)
\((1+i)^9=16+16i\)
\((1+i)^{10}=32i\)
\((1+i)^{11}=-32+32i\)
\((1+i)^{12}=-64\)
\((1+i)^{13}=-64-64i\)