Propiedades de los exponentes

Las propiedades de los exponentes que se ven en álgebra también se extienden a los números complejos. Según lo ya visto en las entradas pasadas las reglas que se cumplen son las mismas que con los reales.

Considerando que $z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ y además $n, m \in \mathbb{R}$:

• $z^{0}=1$ siempre que $z \ne 0$
• $zz^{-1} = 1$ siempre que $z \ne 0$
• $z^{1}=z$ para todo número complejo

Siempre que no lleve a una "división entre cero" o a "cero a la cero potencia" se cumplen las siguientes propiedades también:

• $z^{m}z^{n}=z^{m+n}$
• $(z^{m})^{n} = z^{mn}$
• $(z_{1}z_{2})^{n} = z_{1}^{n}z_{2}^{n}$
• $$z^{-n} = \frac{1}{z^{n}}$$

Las propiedades se pueden combinar para crear problemas más complejos. Algunos ejemplos de las propiedades anteriores.

$(10-23i)^{0}=1$

$(i)^{0}=1$

$(10-23i)(10-23i)^{-1}=1$

$(i)(i)^{-1}=1$

$(10-23i)^{1}=10-23i$

$i^{1}=i$

$(10-23i)^{2}(10-23i)^{-3}=(10-23i)^{-1}=\frac{10}{629}+\frac{23}{629}i$

$(i)^{2}(i)^{5}=i^{7}=-i$

$((10-23i)^{-1})^{-2}=(10-23i)^{2}=-429-460i$

$(i^{2})^{3}=i^{6}=-1$

$[(i)(10-23i)]^{2}=(i)^{2}(10-23i)^{2}=429+460i$

$[(1+i)(-2-i)]^{-2}=(1+i)^{-2}(-2-i)^{-2}=-\frac{2}{25}-\frac{3}{50}i$