Propiedades de los exponentes

Las propiedades de los exponentes que se ven en álgebra también se extienden a los números complejos. Según lo ya visto en las entradas pasadas las reglas que se cumplen son las mismas que con los reales.

Considerando que \( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \) y además \( n, m \in \mathbb{R} \):

• \( z^{0}=1 \) siempre que \( z \ne 0 \)
• \( zz^{-1} = 1 \) siempre que \( z \ne 0 \)
• \( z^{1}=z \) para todo número complejo

Siempre que no lleve a una "división entre cero" o a "cero a la cero potencia" se cumplen las siguientes propiedades también:

• \( z^{m}z^{n}=z^{m+n}\)
• \( (z^{m})^{n} = z^{mn}\)
• \( (z_{1}z_{2})^{n} = z_{1}^{n}z_{2}^{n}\)
• \[ z^{-n} = \frac{1}{z^{n}}\]

Las propiedades se pueden combinar para crear problemas más complejos. Algunos ejemplos de las propiedades anteriores.

\((10-23i)^{0}=1\)

\((i)^{0}=1\)

\((10-23i)(10-23i)^{-1}=1\)

\((i)(i)^{-1}=1\)

\((10-23i)^{1}=10-23i\)

\(i^{1}=i\)

\((10-23i)^{2}(10-23i)^{-3}=(10-23i)^{-1}=\frac{10}{629}+\frac{23}{629}i\)

\((i)^{2}(i)^{5}=i^{7}=-i\)

\(((10-23i)^{-1})^{-2}=(10-23i)^{2}=-429-460i\)

\((i^{2})^{3}=i^{6}=-1\)

\([(i)(10-23i)]^{2}=(i)^{2}(10-23i)^{2}=429+460i\)

\([(1+i)(-2-i)]^{-2}=(1+i)^{-2}(-2-i)^{-2}=-\frac{2}{25}-\frac{3}{50}i\)