El argumento de un número complejo

El argumento de los números complejos nos indica la dirección de la cantidad. El módulo de los números complejos por si mismo sólo nos indica la magnitud de la cantidad, pero no dice nada sobre su dirección.

En el caso de los números reales la "dirección" puede ser positiva o negativa, que corresponden comúnmente con Este y Oeste en la mayoría de los diagramas. Sin embargo, con los números complejos hay un mayor número de "direcciones" posibles. Como los números se encuentran en un plano cartesiano tenemos direcciones como: norte, sur, este, oeste, noreste, sureste, nornoreste, sursuroeste, etc. Hay tantas direcciones posibles que no es práctico nombrar a cada una.

Las direcciones se asignan según el ángulo (en grados o radianes) que se forma entre el rayo del origen a la coordenada del número y el rayo formado por el lado derecho del eje de los números reales.

Tres números complejos con sus argumentos. Se muestran un ángulo negativo y otro positivo para el número 1-i

Los ángulos positivos van al contrario de las manecillas del reloj; los negativos van en la dirección de las manecillas del reloj.

Los valores del ángulo que puede tomar depende de como se definan todas las posibilidades para evitar repeticiones de direcciones, puede variar según el problema, algunas alternativas posibles son:

• \(0 < \theta \le 2\pi\)
• \(0 \le \theta < 2\pi\)
• \(0° < \theta \le 360°\)
• \(0° \le \theta < 360°\)
• \(-\pi < \theta \le \pi\)
• \(-\pi \le \theta < \pi\)
• \(-180° < \theta \le 180°\)
• \(-180° \le \theta < 180°\)

A menos que se indique lo contrario en el problema, cualquier ángulo coterminal equivalente debería de ser suficiente para obtener la respuesta correcta. En estas entradas se usará \(0 \le \theta < 2\pi\).

El argumento de un número complejo se denota: \[\mathrm{arg}\;z\]

El valor del argumento depende del cuadrante dónde se encuentra el número complejo y el ángulo del triángulo formado por la línea origen-coordenada. Para encontrar el ángulo del triángulo deben de utilizar sus conocimientos de trigonometría, utilizando las funciones trigonométricas inversas: arcsen, arccos y arctan. La información del ángulo combinada con la información del cuadrante nos dará la respuesta correcta. 

No hay argumento definido para el número cero ya que se puede describir únicamente con su módulo.

Estos son algunos ejemplos:

\[\mathrm{arg}\;1 = 0\]

\[\mathrm{arg}\;5 = 0\]

\[\mathrm{arg}\;(-1) = \pi\]
\[\mathrm{arg}\;(-5) = \pi\]

\[\mathrm{arg}\;i = \frac{\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;5i = \frac{\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;(-i) = \frac{3\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;(-5i) = \frac{3\pi}{2}\]

\[\mathrm{arg}\;\sqrt{2} = 0\]  

\[\mathrm{arg}\;(-\sqrt{2}) = \pi\]

\[\mathrm{arg}\;(1+i) = \frac{\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(2+2i) = \frac{\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(7+7i) = \frac{\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(-1-i) = \frac{5\pi}{4}\] 

\[\mathrm{arg}\;(-2-2i) = \frac{5\pi}{4}\] 

\[\mathrm{arg}\;(-7-7i) = \frac{5\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;(1-i) = \frac{7\pi}{4}\]  

\[\mathrm{arg}\;(-1+i) = \frac{3\pi}{4}\]

\[\mathrm{arg}\;\left (\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i \right )= \frac{\pi}{6}\]