Número complejo elevado a una potencia entera positiva

La potencia entera positiva puede interpretarse como el número de veces que se multiplica un número complejo por si mismo. La propiedad asociativa de la multiplicación nos permite resolverla de varias formas y llegar al mismo resultado. En general:
\[(a+bi)^1=a+bi\]
\[
\begin{align*}
 (a+bi)^2&=(a+bi)(a+bi)\\
 &=a^2+2iab+(b^2i^2)\\
 &=(a^2-b^2)+(2ab)i
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
 (a+bi)^3&=(a+bi)(a+bi)(a+bi)\\
&=(a+bi)(a+bi)^2\\
&=[a+bi][(a^2-b^2)+(2ab)i]\\
&=(a)(a^2-b^2)+(a)(2abi)+(bi)(a^2-b^2)+(bi)(2abi)\\
 &=a^3-ab^2+2a^2bi+a^2bi-b^3i+2ab^2i^2\\
 &=a^3-ab^2+2a^2bi+a^2bi-b^3i-2ab^2\\
 &=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i
\end{align*}
\]
Y el patrón continúa así para todo número positivo. El uso de la calculadora del curso facilita el cálculo de estas expresiones. Estos son algunos ejemplos:
\(1^1=1\)
\(1^2=1\)
\(1^3=1\)
\((-1)^1=-1\)
\((-1)^2=1\)
\((-1)^3=-1\)
\((-1)^4=1\)
\(2^1=2\)
\(2^2=4\)
\(2^3=8\)
\(2^4=16\)
\((-2)^1=-2\)
\((-2)^2=4\)
\((-2)^3=-8\)
\((-2)^4=16\)
\(i^1=i\)
\(i^2=ii=-1\)
\(i^3=iii=i^2i=(-1)i=-i\)
\(i^4=iiii=i^2i^2=(-1)(-1)=1\)
\(i^5=iiiii=i^2i^2i=(-1)(-1)i=i\)
\(i^6=iiiiii=i^2i^2i^2=(-1)(-1)(-1)=-1\)
\(i^7=iiiiiii=i^2i^2i^2i=(-1)(-1)(-1)i=-i\)
\(i^8=iiiiiiii=i^2i^2i^2i^2=(-1)(-1)(-1)(-1)=1\)
\((1+i)^1=1+i\)
\((1+i)^2=2i\)
\((1+i)^3=-2+2i\)
\((1+i)^4=-4\)
\((1+i)^5=-4-4i\)
\((1+i)^6=-8i\)
\((1+i)^7=8-8i\)
\((1+i)^8=16\)
\((1+i)^9=16+16i\)
\((1+i)^{10}=32i\)
\((1+i)^{11}=-32+32i\)
\((1+i)^{12}=-64\)
\((1+i)^{13}=-64-64i\)