El módulo de un número complejo

En álgebra se introdujo el concepto del valor absoluto que es la distancia entre un número y el origen en la recta de los números reales. La notación del valor absoluto de un número \(a\) es la siguiente: \[\left |a\right |\]
De forma muy similar tenemos el concepto de "módulo de un número complejo". El módulo de un número complejo es la distancia entre la coordenada del número en el plano de los números complejos (x,y) y la coordenada del origen en el plano de los números complejos (0,0).

Como sabemos de los conocimientos previos la distancia entre los dos puntos anteriores en un plano cartesiano es: \[\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\]
Por lo anterior, el módulo de un número complejo \(x+yi\) es \(\sqrt{x^2+y^2}\). Para un número puramente real el valor del módulo del número es igual al valor absoluto, por lo que es conveniente usar el mismo símbolo de "valor absoluto" para denotar el módulo de un número complejo: \[\textrm{Si   }\;\;z=x+iy\;\;\textrm{entonces}\;\left |z\right |=\sqrt{x^2+y^2}\]
Otro nombre para decir "módulo de un número complejo" es "magnitud de un número complejo".

El módulo de un número complejo siempre es un número real mayor o igual a cero, es decir, nunca puede ser negativo.

Ejemplos:
\(\left | 5 \right | = 5\)
\(\left | -5 \right | = 5\)
\(\left | 5i \right | = 5\)
\(\left | -5i \right | = 5\)
\(\left | \sqrt{2} \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | \sqrt{2}i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | 1+i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | 1-i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | -1+i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | -1-i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | -1-i \right | = \sqrt{2}\)
\(\left | \frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i \right | = 5\)

Diagramas de Argand mostrando de los ejemplos:

Cuatro números complejos con el mismo módulo. Todos los números complejos con coordenadas en el círculo verde tienen el mismo módulo que el número 5.

Algunos números complejos con el mismo módulo que la raíz de 2.