La potencia entera negativa de un número complejo puede interpretarse como el recíproco del número complejo elevado a una potencia entera positiva. La operación resulta en un número complejo. Multiplicando las fracciones por un 1 construido con el conjugado del número complejo del denominador convierte la expresión a una forma que no tiene i en el denominador.
El único cálculo no permitido son los que involucren divisiones entre cero.
En general:
\begin{align*}
(a+bi)^{-1}&=\frac{1}{a+bi}\\
&=\frac{1}{a+bi}\frac{a-bi}{a-bi}\\
&=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\\
&=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i
\end{align*}
\begin{align*}
(a+bi)^{-2}&=\frac{1}{(a+bi)(a+bi)}\\
&=\frac{1}{(a+bi)(a+bi)}\frac{(a-bi)(a-bi)}{(a-bi)(a-bi)}\\
&=\frac{(a-bi)^2}{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}\\
&=\frac{a^2-b^2-2abi}{(a^2+b^2)^2}\\
&=\frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2}-\left(\frac{2ab}{(a^2+b^2)^2}\right)i
\end{align*}
Y el patrón continúa así para todo número positivo. El uso de la calculadora del curso facilita el cálculo de estas expresiones. Estos son algunos ejemplos:
1^{-1}=1
1^{-2}=1
1^{-3}=1
(-1)^{-1}=-1
(-1)^{-2}=1
(-1)^{-3}=-1
(-1)^{-4}=1
2^{-1}=\frac{1}{2}
2^{-2}=\frac{1}{4}
2^{-3}=\frac{1}{8}
2^{-4}=\frac{1}{16}
(-2)^{-1}=-\frac{1}{2}
(-2)^{-2}=\frac{1}{4}
(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}
(-2)^{-4}=\frac{1}{16}
i^{-1}=-i
i^{-2}=-1
i^{-3}=i
i^{-4}=1
i^{-5}=-i
i^{-6}=-1
i^{-7}=i
i^{-8}=1
(1+i)^{-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i
(1+i)^{-2}=-\frac{1}{2}i
(1+i)^{-3}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i
(1+i)^{-4}=-\frac{1}{4}
(1+i)^{-5}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}i
(1+i)^{-6}=\frac{1}{8}i
(1+i)^{-7}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}i
(1+i)^{-8}=\frac{1}{16}
(1+i)^{-9}=\frac{1}{32}-\frac{1}{32}i
(1+i)^{-10}=-\frac{1}{32}i
(1+i)^{-11}=-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}i
(1+i)^{-12}=-\frac{1}{64}
(1+i)^{-13}=-\frac{1}{128}+\frac{1}{128}i
¡Genial! gracias por esta excelente infromación :D
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