Número complejo elevado a una potencia entera negativa

La potencia entera negativa de un número complejo puede interpretarse como el recíproco del número complejo elevado a una potencia entera positiva. La operación resulta en un número complejo. Multiplicando las fracciones por un 1 construido con el conjugado del número complejo del denominador convierte la expresión a una forma que no tiene \(i\) en el denominador.

El único cálculo no permitido son los que involucren divisiones entre cero.

En general:
\[
\begin{align*}
(a+bi)^{-1}&=\frac{1}{a+bi}\\
&=\frac{1}{a+bi}\frac{a-bi}{a-bi}\\
&=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\\
&=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
 (a+bi)^{-2}&=\frac{1}{(a+bi)(a+bi)}\\
 &=\frac{1}{(a+bi)(a+bi)}\frac{(a-bi)(a-bi)}{(a-bi)(a-bi)}\\
 &=\frac{(a-bi)^2}{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}\\
 &=\frac{a^2-b^2-2abi}{(a^2+b^2)^2}\\
&=\frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2}-\left(\frac{2ab}{(a^2+b^2)^2}\right)i
\end{align*}
\]
Y el patrón continúa así para todo número positivo. El uso de la calculadora del curso facilita el cálculo de estas expresiones. Estos son algunos ejemplos:
\(1^{-1}=1\)
\(1^{-2}=1\)
\(1^{-3}=1\)
\((-1)^{-1}=-1\)
\((-1)^{-2}=1\)
\((-1)^{-3}=-1\)
\((-1)^{-4}=1\)
\(2^{-1}=\frac{1}{2}\)
\(2^{-2}=\frac{1}{4}\)
\(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
\(2^{-4}=\frac{1}{16}\)
\((-2)^{-1}=-\frac{1}{2}\)
\((-2)^{-2}=\frac{1}{4}\)
\((-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\)
\((-2)^{-4}=\frac{1}{16}\)
\(i^{-1}=-i\)
\(i^{-2}=-1\)
\(i^{-3}=i\)
\(i^{-4}=1\)
\(i^{-5}=-i\)
\(i^{-6}=-1\)
\(i^{-7}=i\)
\(i^{-8}=1\)
\((1+i)^{-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\)
\((1+i)^{-2}=-\frac{1}{2}i\)
\((1+i)^{-3}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i\)
\((1+i)^{-4}=-\frac{1}{4}\)
\((1+i)^{-5}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}i\)
\((1+i)^{-6}=\frac{1}{8}i\)
\((1+i)^{-7}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}i\)
\((1+i)^{-8}=\frac{1}{16}\)
\((1+i)^{-9}=\frac{1}{32}-\frac{1}{32}i\)
\((1+i)^{-10}=-\frac{1}{32}i\)
\((1+i)^{-11}=-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}i\)
\((1+i)^{-12}=-\frac{1}{64}\)
\((1+i)^{-13}=-\frac{1}{128}+\frac{1}{128}i\)