Secuencias infinitas de proposiciones

Una proposición es una variable que sólo puede tomar dos valores posibles: V (verdadero) y F (falso). Una secuencia infinita es un conjunto de variables que puden ser indexadas sin fin por números enteros positivos \(\mathbb{Z}^{+}\) o por números naturales \(\mathbb{N}\). Una secuencia infinita de proposiciones es una secuencia infinita en donde cada variable es una proposición. Veamos los siguientes ejemplos se secuencias infinitas de proposiciones:

• \(p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{5}, p_{6}, \cdots\), donde cada \(p_{n}\) donde \(n \in \mathbb{N}\) son proposiciones. Algunas pueden ser falsas y otras verdaderas, pero desconocemos cuales en específico. De hecho puede ser que todas sean falsas o todas sean verdaderas.
• \(q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5}, q_{6}, q_{7}, \cdots\), donde cada \(q_{x}\) donde \(x \in \mathbb{Z}^{+}\) son proposiciones. Es similar al caso anterior pero empezamos a indexar desde el uno en vez del cero.
• \(r_{5}, r_{6}, r_{7}, r_{8}, r_{9}, r_{10}, r_{11}, \cdots\), donde cada \(r_{k}\) donde \(\left \{ k \in \mathbb{N} | k \ge 5\right \} \) son proposiciones. También es similar al caso anterior pero iniciamos en el índice 5.
• \(s_{-1}, s_{-2}, s_{-3}, s_{-4}, s_{-5}, s_{-6}, s_{-7}, \cdots\), donde cada \(s_{x}\) donde \(x \in \mathbb{Z}^{-}\) son proposiciones. Similar a los casos anteriores, pero ahora indexamos utilizando los números enteros negativos, pero puede ser equivalentemente indexada utilizando números enteros positivos.
• Las siguientes expresiones: \[\begin{align*} 1+1 &= 2\\ 1+1+1 &= 3\\ \vdots\\ 1+1+\cdots +1 &=n \\ \vdots\end{align*}\] donde cada expresión matemática en cada línea es una proposición diferente. Puede que todas las proposiciones en la secuencia infinita sean verdaderas. En este caso no hay índices explícitos, pero podemos asignarlos.
• Las siguientes expresiones: \[\begin{align*} 1+1 &= 1\\ 1+1+1 &= 1\\ \vdots\\ 1+1+\cdots +1 &=1 \\ \vdots\end{align*}\] donde cada expresión matemática es una proposición. Puede que todas las proposiciones en la secuencia infinita sean falsas.
• "10 es divisible entre 2", "20 es divisible entre 2", "30 es divisible entre 2" , etc. Podemos expresar toda la secuencia definiendo a "\(p_{k}\)" como la proposición "\(k*10\) es divisible entre 2". A partir de esto tenemos entonces la secuencia infinita de proposiciones \(p_{1}, p_{2}, p_{3}, \cdots\) 

Para facilidad de entendimiento podemos representar una secuencia infinita de proposiciones como una lista de letras que pueden ser V o F, o podemos desconocer su valor (?). De esta forma podemos representar las secuencias infinitas de proposiciones.

• VVVVVVVVVV.... repitiendose la V sin fin.
• FVFVFVFVFV.... repitiendose el patrón V y F sin fin.
• FFFFFFFFFF.... repitiendose la F sin fin.
• FFFFFFFVVV... repitiendose la V sin fin.
• VVVVVFFFFF.... repitiendose F sin fin
• VVV???????.... desonocemos si los siguientes son V o F.
• FFF???????... desconocemos si los siguientes son V o F.

Uno puede intuitivamente inferir que intentar determinar el estado de cada una de las infinitas proposiciones desconocidas (con símbolo '?') de una secuencia infinita de proposiciones requiere una cantidad infinita de demostraciones. Hacer una infinidad de demostraciones no parece ser posible intuitivamente ya que si consideramos que nos tarda 1 minuto demostrar cada una, requerimos una infinidad de tiempo para demostrar todas. Sin embargo, hay situaciones donde no es así, en cierto sentido estricto.

Sí es posible demostrar una infinidad de proposiciones en una cantidad finita de pasos para algunas secuencias de proposiciones (no todas). Es decir, hay ciertas secuencias infinitas de proposiciones que cuentan con la propiedad de que al demostrar una cantidad finita de hechos se termina demostrando indirectamente el estado de una infinidad de proposiciones. O mejor dicho, con sólo demostrar una cantidad finita de hechos terminamos creando las herramientas necesarias que en teoría podríamos utilizar para extender sin fin nuestra demostración. La existencia de las herramientas es lo único que se necesita demostrar cualquier proposición en una posición finita en un tiempo finito (pero tal vez muy grande). Si alguien lo duda puede utilizar las herramientas para determinar la verdad de cualquier proposición \(p_{j}\) para algún \(j\) finito, entonces la creación de las herramientas constituyen la demostración de todas las proposiciones. Éste es el principio de las demostraciones por inducción matemática.

En su forma usual las demostraciones por inducción matemática logran demostrar que una secuencia infinita de proposiciones esta compuesta de proposiciones verdaderas sin fin. Y lo hacen demostrando sólo dos hechos: el caso base y el paso inductivo.

El caso base es una demostración de primer orden, es decir, determinamos si una proposición \(p\) con estado desconocido ('?') es 'V' o 'F'. En cambio el paso inductivo es un poco más difícil de comprender, ya que constituye una demostración de segundo orden, es decir, determinamos si una proposición \(q\) con estado desconocido ('?') es 'V' o 'F', pero esta proposición \(q\) al mismo tiempo determina la relación del estado de dos preposiciones \(p_{1}\) y \(p_{2}\) de primer orden.

Esto es más fácil de comprender con un ejemplo, consideremos la secuencia infinita de proposiciones:

•  ??????????...

El caso base consiste en tomarnos nuestro tiempo para demostrar la proposición con el índice inicial, suponemos que esta proposición tiene valor 'V'. Entonces ahora sabemos:

• V?????????..

El paso inductivo consiste en demostrar que 'Si una proposición en alguna posición fija con índice \(k\) es V, entonces el estado de la proposición siguiente a esta proposición con índice \(k+1\) también es V' para cualquier \(k \ge 1\). Hay que reconocer que el paso inductivo no nos demuestra que toda proposición fija con índice \(k\) es 'V', sino nos dice que "si" (condicional) es 'V' entonces el siguiente también tiene que ser 'V'. Si demostramos esto entonces podemos combinar este hecho con el caso base para obtener:

• VV????????...

Luego podemos aplicar la proposición del paso inductivo otra vez:

• VVV???????...

De hecho podemos aplicar el paso inductivo una y otra vez:

• VVVV??????...
• VVVVV?????...
• VVVVVV????...
• VVVVVVV???...
• VVVVVVVV??...
• VVVVVVVVV?...
• VVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...
• VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV...

Y podemos realizar esto indefinidamente para cualquier índice finito, como podemos extenderlo sin fin, la demostración de estos dos hechos: el caso base y el paso inductivo es suficiente para decir que toda la secuencia infinita de proposiciones es 'V'.

Proposiciones matemáticas

Recordemos lo que es una variable. Una variable es un objeto matemático que puede tomar un valor dentro de un conjunto posible de valores. Cuando fuimos introducidos al álgebra estos valores eran comúnmente \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) o un subconjunto de éstos. De la misma forma podemos definir operaciones entre variables y estudiar las propiedades que surgen de estas operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potencias, igualdad, etc. Ahora trabajaremos con otro tipo de variable que sólo puede tomar 2 valores posibles y estos no son valores numéricos (a menos que los relacionamos directamente con un valor numérico como 0 y 1), a pesar de esto también definiremos "operaciones" que podemos hacer relacionadas con estos valores.

Sea \(p\) una variable que sólo puede tomar dos valores posibles: "verdadero" o "falso". Denotado por "V" y "F" para ahorrar espacio. Decimos que \(p\) es un objeto matemático llamado proposición.

Considere las siguientes situaciones:

• \(p\) es V y también \(p\) es F. 
• Entonces \(p\) no es una proposición matemática ya que es "V" y "F" al mismo tiempo.
• \(p\) no es V y también \(p\) no es F. 
• Entonces \(p\) no es una proposición matemática ya que no es "V" ni "F".
• \(p\) no es V y \(p\) es F. 
• Entonces \(p\) sí es una  proposición matemática y vale "F".
• \(p\) es V y \(p\) no es F. 
• Entonces \(p\) sí es una  proposición matemática y vale "V".

Las proposiciones pueden ser estudiadas como objetos matemáticos en si mismos o como valores desconocidos los cuales intentamos encontrar su valor. Podemos tener varias proposiciones con diferentes estados "V" o "F", podemos establecer operaciones entre ellas y encontrar propiedades entre ellas. Las operaciones y propiedades pueden ser consideradas también como proposiciones que intentamos definir y demostrar. Incluso podemos construir proposiciones cuyo valor depende de otras proposiciones. El estudio de la lógica matemática formal no es parte del programa de matemáticas nivel superior pero es útil para entender el tema de demostraciones por inducción matemática que sí es parte del programa.

En términos informales, una proposición matemática es una "variable matemática" (comúnmente denotada por una letra), "expresión matemática" o "frase matemática" que puede ser verdadera o falsa según criterios matemáticos, pero que no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo en términos matemáticos consistentes. De la misma forma, una proposición matemática tampoco puede ser una expresión o frase que no se le pueda asignar el estado de verdadero ni falso en términos matemáticos consistentes.

Estos son algunos ejemplos de proposiciones encerradas entre comillas (" "):

• "\(p\)", siempre que sólo pueda valer V o F.
• "\(q\)", siempre que sólo pueda valer V o F.
• "\(r\)", siempre que sólo pueda valer V o F.
• "\(p\) es V o \(p\) es F"
• Si \(p\) es una proposición entonces esta proposición es siempre verdadera. A estas proposiciones que son siempre verdaderas les llamamos tautologías.
• "\(p\) es V y al mismo tiempo \(p\) es F"
• Si \(p\) es una proposición entonces esta proposición es siempre falsa. A estas proposiciones que son siempre falsas las llamamos contradicciones. Es deseable que un sistema matemático consistente no tenga contradicciones.
• "\(p\) es V"
• Esta proposición será V cuando \(p\) sea V y será F cuando \(p\) sea F. Otra forma de decir esto es que "\(p\) es V" si y sólo si \(p\) es V. Es decir, toman los mismos estados siempre, son equivalentes una a otra, si sabes el estado de una sabes el estado de la otra.
• "\(r\) es F"
• Esta proposición será V cuando \(r\) sea F y será V cuando \(r\) sea F. A estas proposiciones que toman valores contrarios les decimos negaciones. Es decir, \(r\) es la negación de \(p\).
• "Si \(p\) es V entonces \(q\) es V también".
• Esta proposición será importante en nuestro curso de matemáticas ya que si es V y sabemos que \(p\) también es V entonces sabemos automáticamente que \(q\) es V. Sin embargo, si sabemos que esta proposición es V y sabemos que \(p\) es F entonces esto no nos dice nada sobre el valor de \(q\), es decir, \(q\) puede ser V o F sin contradicción.
• "Si \(q\) es F entonces \(p\) es F también".
• "Siempre que \(p\) es V tenemos que \(q\) es V y además: Siempre que \(p\) es F tenemos que \(q\) es F."
• "\(p\) tienen el mismo estado siempre \(q\)"
• "\(p\) es V si y sólo si \(q\) es V"
• "\(p\) es F si y sólo si \(q\) es F"
• "Si \(p\) es V entonces \(q\) es F."
• "Si \(q\) es F entonces \(p\) es V."
• "\(p\) y \(q\) son ambos V".
• "Considerando \(p\) y \(q\), al menos uno de estos dos es V".
• "\(1+2=3\)".
• "\(1+2+3=6\)".
• "\(1+2+3+4=10\)".
• "\(1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)".
• "\(1+1=3\)".
• "\(1+1=0\)". 
• Bajo las definiciones usuales de los símbolos '1', '0', '+' y '='´ es falso. Sin embargo considerando los enteros módulo 2 la expresión es verdadera. Es por esto que es importante definir el significado de los símbolos para que haya criterios matemáticos definidos para determinar la verdad o falsedad de una proposición.
• "Los números primos no tienen fin considerando todos los números naturales".
• "Los números pares son finitos considerando todos los números naturales"
• "120 es divisible entre 2".
• "3 es divisible entre 2".
• "7 es múltiplo de 2".
• "1000 es múltiplo de 10".

En específico sólo serán cuestión de nuestro estudio proposiciones matemáticas referentes a hechos matemáticos que ya existe una demostración (aunque tal vez más allá del nivel del alumno) o que les piden a los alumnos demostrar (demostraciones realizables con los conocimientos del alumno y habilidades del alumno).

Como abstraeremos el concepto de 'proposición' a términos matemáticos rigurosos, no enfocaremos directamente en determinar si son verdaderas o falsas las proposiciones que no son sobre hechos matemáticos como por ejemplo: "El cielo es azul", "El universo es infinito", etc. Sin embargo, sí nos enfocaremos en la abstracción matemática de estos conceptos.

Ejemplos de frases que no son proposiciones matemáticas por ser paradojas donde no se les puede asignar un valor de verdadero o falso:

• "El conjunto que contiene todos los 'conjuntos que se contienen a si mismo' se contiene a si mismo". 
• "Esta fase es falsa." 

Gráfico de funciones y = f(|x|)

Consideremos el gráfico de una función \(y = f(x)\), nuestro objetivo es dibujar la gráfica de una nueva función \(y = f(|x|)\). Es decir, queremos graficar otra función \(y = g(x)\) donde \(g(x) = f(|x|)\). Veamos como podemos dibujar el comportamiento de \(g(x)\) a partir del comportamiento de \(f(x)\).

• Si \(x=0\) entonces \(g(x)=f(|x|)=f(|0|)=f(0)\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición: \(g(0) = f(0)\). 
• Si \(x=c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=f(|x|)=f(|c|)=f(c)\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición para toda \(c > 0\): \(g(c) = f(c)\). 
• Si \(x=-c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=f(|x|)=f(|-c|)=f(c)\) por lo que los puntos de \(f(x)\) del lado izquierdo del eje-y serán borrados. La coordenadas-y serán cambiadas por las coordenadas-y de los puntos del lado derecho del eje-y. 
• Estos tres casos cubren todas las situaciones posibles y ninguna resultó en \(f(-c)\), es decir, la información de los puntos cuando \(x\) es negativo queda borrada: \(g(-c) \ne f(-c)\). Los puntos son cambiados por los correspondientes puntos del lado derecho del eje-x: \(g(-c) = f(c)\).

Es importante mencionar que en términos generales \(|f(x)| \ne f(|x|)\), para la gran mayoría de los casos, queda como ejercicio para el alumno construir funciones que cumplan este criterio. Mentalmente pueden parecer que son lo mismo, parece que sólo estamos cambiando el orden del valor absoluto, sin embargo, son muy diferentes. Es diferente porque \(|f(x)|\) afecta las salidas de la función después de aplicar la función, mientras que \(f(|x|)\) afecta las entradas de la función antes de aplicar la función.

El rango de \(|f(x)|\) son subconjuntos de los números no negativos, es decir, números positivos o cero. Mientras que el rango de \(f(|x|)\) puede incluir subconjuntos de todos los números reales. 

En resumen, el procedimiento para dibujar \(g\) a partir de \(f\) es:

1. Ignorar todo punto \(x < 0\).
2. Poner el punto con coordenada \(x = 0\) en el mismo lugar, si lo hay.
3. Reflejar toda la gráfica \(x > 0\) con respecto al eje-y.

Es muy fácil demostrar que \(f(|x|)\) siempre será una función par si su dominio es simétrico.

Si \(f\) es una función par entonces \(f(|x|)\) también será una función par si el dominio es simétrico. No sólo eso, si \(f\) es una función par entonces \(f(|x|)=f(x)\) para todo valor de \(x\), esto se ve en los ejemplos.

Veamos como se comporta el dominio y el rango de \(g\) según el dominio de \(f\). 

• El rango de \(g\) será el rango que tiene la función \(f\) con el dominio restringido a un subconjunto de los números reales mayores a 0.
• El dominio de \(g\) puede ser diferente que el dominio \(f\). Específicamente el dominio de \(g\) puede abarcar más valores posibles. Por ejemplo, si \(f\) es una función definida únicamente para entradas positivas entonces podemos extenderla a incluir entradas negativas usando el valor absoluto para "forzar" que acepte las entradas negativas.

Veamos algunos ejemplos:

 1. \(y = \textrm{sen}(x)\)

La gráfica de y=sen(x).
Las gráficas fueron hechas usando Desmos.

y = sen ( |x| )

2. \(y = \textrm{cos}(x)\)

y = cos(x)

y = cos(|x|)

3. \(y = \textrm{tg}(x)\)

y = tg(x)

y = tg(|x|)

4. \(y = x^2 - x - 6\)

\(y = x^2 - x - 6\)

\(y=|x|^2 - |x| - 6\)

5. \(y = -x^2 - x - 1\) 

\(y=-x^2-x-1\)

\(y = -|x|^2 - |x| - 1\)

6. \(y = x^3 - x^2 - 6x\)

\(y  = x^3 - x^2 - 6x\)

\(y = |x|^3 - |x|^2 - 6|x|\)

7. \(y = 2x-1\)

\(y=2x-1\)

\(y=2|x|-1\)

9. \(y = -x-7\)

\(y=-x-7\)

\(y=-|x|-7\)

10. \(y = \ln x\)

\(y=\ln{x}\)

\(y=\ln{|x|}\)

11. \(y = e^x\)

\(y=e^{x}\)

\(y=e^{|x|}\)

12. \(y=\frac{1}{x-1}\)

\(y=\frac{1}{x-1}\)

\(y=\frac{1}{|x|-1}\)

Gráfico de las funciones y = |f(x)|

Consideremos el gráfico de una función \(y = f(x)\), lo que queremos hacer es dibujar la gráfica de una nueva función \(y = |f(x)|\). Podemos considerar que lo que queremos graficar es \(y=g(x)\) donde \(g\) es una transformación de \(f\) de forma que \(g(x)=|f(x)|\) para todo valor de \(x\) en el dominio de \(f(x)\). El dominio de \(g\) será el mismo dominio que \(f\). Razonemos lo que va a suceder con la gráfica al realizar esta transformación a la función:

• Si \(f(x)=0\) entonces \(g(x)=|f(x)|=0\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición. 
• Si \(f(x)=c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=|f(x)|=c\) por lo que estos puntos se quedarán en la misma posición. 
• Si \(f(x)=-c\) donde \(c > 0\) entonces \(g(x)=|f(x)|=c\) por lo que esos puntos serán reflejados a través del eje-x. Estos puntos se cambiaran de estar abajo del eje-x a estar sobre el eje-x.

Al obtener el valor absoluto del rango de \(f\) hacemos que el rango de \(g\) sea un subconjunto de los números reales no negativos.

Veamos algunos ejemplos:
 1. \(y = \textrm{sen}(x)\)

La gráfica de y=sen(x).
Las gráficas fueron hechas usando Desmos.

La gráfica de y=|sen(x)|

2. \(y = \textrm{cos}(x)\)

y = cos(x)

y = |cos(x)|

3. \(y = \textrm{tg}(x)\)

y = tg(x)

y=|tg(x)|

4. \(y = x^2 - x - 6\)

\(y = x^2 - x - 6\)

\(y=|x^2 - x - 6|\)

5. \(y = -x^2 - x - 1\)

\(y=-x^2-x-1\)

\(y = \left |-x^2 - x - 1 \right |\)

6. \(y = x^3 - x^2 - 6x\)

\(y  = x^3 - x^2 - 6x\)

\(y = |x^3 - x^2 - 6x|\)

7. \(y = 2x-1\)

\(y=2x-1\)

\(y=|2x-1|\)

9. \(y = -x-7\)

\(y=-x-7\)

\(y=|-x-7|\)

10. \(y = \ln x\)

\(y=\ln{x}\)

\(y=|\ln{x}|\)

11. \(y = e^x\)

\(y=e^x\)

\(y=|e^x|\)

12. \(y=\frac{1}{x-1}\)

\(y=\frac{1}{x-1}\)

\(y=|\frac{1}{x-1}|\)

Límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0.

Un límite que es muy importante es el siguiente:
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sen } x}{x}=1\]
Podemos demostrarlo evaluando números en las expresiones:

\(x\)	\(\frac{\textrm{sen }x}{x}\)
-0.001	0.9999998333333
-0.0001	0.9999999983333
-0.00001	0.9999999999833
0	Indefinido
0.00001	0.9999999999833
0.0001	0.9999999983333
0.001	0.9999998333333

También podemos observar la tendencia del límite utilizando una gráfica. En el punto \(x=0\) la función \(\frac{sen(x)}{x}\) no está definida a causa de producir una división entre cero, sin embargo el límite sí existe, como lo podemos ver en la siguiente gráfica:

Esta es la gráfica de y = sen(x)/x.
Cuando x se acerca a 0 la gráfica tiende a 1 por ambos lados, por lo tanto el límite sí existe y vale 1.

El límite es usado comúnmente en física como la aproximación de seno para ángulos pequeños, es decir:
\(\textrm{sen } x\approx x\) cuando \(x\) está muy cercana a 0.

En rojo está graficado y=sen(x).
En azúl está graficado y=x.
Las gráficas se aproximan cuando x está cerca de cero.

Derivación implícita

La derivada se puede ver como una operación que se puede aplicar a ambos lados de una ecuación sin cambiar la igualdad. Es decir, podemos calcular la razón de cambio entre dos variables \(x\) y \(y\) sin necesidad que estas se encuentren despejadas. Las funciones de \(y\) quedarán con un término \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\) que podemos agrupar y después despejar.

Después de despejar nos puede quedar una expresión que dependa de \(x\) y \(y\). Si es posible podemos sustituir puntos \((x,y)\) de la función directamente en esta expresión para evaluar la derivada. También podemos decidir sustituir \(y\) por una función de \(x\), aunque esto no siempre es posible sin dejar de considerar algunos puntos, esto se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplos:

1. \[x^2+y^2=25\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 + y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (25\right ) \]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 \right) + \frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (25\right ) \]
   \[2x + 2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=0 \]
   \[2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=-2x\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=\frac{-2x}{2y}\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=-\frac{x}{y}\]
   \[y'=-\frac{x}{y}\]
   Es decir, la derivada de un círculo la podemos obtener usando las coordenadas de sus puntos \((x,y)\) en el círculo. Hay que notar si sustituimos \(y = \sqrt{25-x^2}\) donde la "raíz cuadrada" es la raíz principal entonces no nos dará el resultado correcto para un punto con coordenadas \((\frac{5\sqrt{2}}{2},-\frac{5\sqrt{2}}{2})\), es por esto que a veces no es posible reemplazar \(y\) por una función de \(x\) y necesitamos las coordenadas para calcular el valor de la derivada, no sólo un valor de \(x\) como estábamos acostumbrados.
2. \[7x^2-2y^2=2\ln{y}\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (7x^2-2y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2\ln{y}\right )\]
   \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (7x^2\right )-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2y^2 \right )=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (2\ln{y}\right )\]
   \[14x-4yy'=\frac{2}{y}y'\]
   \[14x=\frac{2}{y}y'+4yy'\]
   \[14x=\left (\frac{2}{y}+4y\right )y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2}{y}+4y}=y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2}{y}+4\frac{y^2}{y}}=y'\]
   \[\frac{14x}{\frac{2+4y^2}{y}}=y'\]
   \[\frac{14xy}{2+4y^2}=y'\]
   \[y'=\frac{14xy}{2+4y^2}\]
   \[\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}=\frac{14xy}{2+4y^2}\]
   Habrá situaciones donde hay que despejar y agrupar las \(y'\) para poder obtener la derivada. Los problemas no serán más complicados que los mostrados aquí, es sólo aplicar la derivada a cada término utilizando las reglas y fórmulas de las derivadas conocidas. Luego hay que despejar \(y'\) y para esto podemos requerir de poner todas las \(y'\) de un lado de la ecuación y agruparlas para despejarlas dividiendo.

El procedimiento se puede usar la encontrar la pendiente de la recta tangente a una figura que no puede ser expresada de forma explícita (despejada para \(y\)), por lo que la expresión de la derivada quedará de forma implícita (en función de \(x\) y \(y\)).

Aplicar el procedimiento requiere uso de las propiedades y fórmulas de las derivadas así como habilidades algebraicas para despejar las expresiones. Es por esto que es muy común que venga un problema donde se requiera realizar este procedimiento en los exámenes.

La derivada con respecto a x de una función de y

Sea \(u = g(y)\), es decir, la cantidad \(u\) es una función de \(y\). Queremos obtener la derivada de \(u\) con respecto a \(x\). Podemos utilizar la regla de la cadena para expresar la solución en términos de la derivada de \(y\) con respecto a \(x\):
\[\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Aquí \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\) representa la razón de cambio de \(u\) con respecto a \(x\). Es decir, tenemos que multiplicar la razón de cambio de \(u\) con respecto a \(y\), que es \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dy}}\), por la razón de cambio de \(y\) con respecto a \(x\), que es \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\).

Ejemplos:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y)\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Lo que resulta es parecido a la derivada común con respecto a \(x\), como si en vez de funciones de \(y\) fueran funciones de \(x\), multiplicada por \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\).

Usaremos este resultado más adelante para calcular derivadas de expresiones sin necesidad de despejar para la variable \(y\).

También puede resultar útil simplificar la notación de \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\) a \(y'\) para así ahorrar tiempo en el examen y facilitar procedimientos algebraicos, es decir:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2\right) = 2yy'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( y^2 + 3y - 1\right) = \left(2y+3\right)y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(y)\right) = \left(\textrm{cos}(y)\right)y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7y+3)^3 \right)= -21(-7y+3)^2 y'\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( e^y \right)= e^y y'\]
\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{arctg}(y) \right)= \frac{1}{1+y^2} y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sec}(y) \right)= \textrm{sec}(y)\textrm{tg}(y) y'\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{ln}(y) \right)= \frac{1}{y} y'\]

La derivada como una operación

Podemos interpretar el paso de obtener la derivada de una expresión como "una operación que se aplica a una expresión para convertirla en otra expresión". No es una operación binaria como la suma, ni la resta, ni la multiplicación, ni la división; porque las operaciones binarias requieren de dos cantidades para obtener una respuesta. Es más parecido a la operación de multiplicar por \(-1\) una cantidad o obtener el recíproco de una cantidad \(\frac{1}{x}\), estas son operaciones unarias, donde sólo requerimos de un valor para realizar la operación. En este caso sólo requerimos una expresión para poder realizar la operación.

El símbolo del "operador" será \(\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\) seguido por unos paréntesis que rodean la expresión que afectan. Ejemplos:

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2\right) = 2x\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( x^2 + 3x - 1\right) = 2x+3\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( \textrm{sen}(x)\right) = \textrm{cos}(x)\]

\[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left ( (-7x+3)^3 \right)= -21(-7x+3)^2\]

Propiedades de la operación de obtener la derivada:

Si \(u\) y \(v\) son cantidades que dependen de \(x\), y además \(c\) es una constante, entonces:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u + v\right)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)+\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u - v\right)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (cu\right)=c\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (c\right)=0\]

Podemos ahorrar espacio en la notación cuando estemos obteniendo la derivada de una cantidad representada por una letra si colocamos la variable justo a lado de la \(\textrm{d}\). Ejemplos:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (v\right)=\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (y\right)=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}\]

Entonces las propiedades anteriores quedan:

• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u + v\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}+\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (u - v\right)=\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}-\frac{\textrm{d}v}{\textrm{dx}}\]
• \[\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\left (cu\right)=c\frac{\textrm{d}u}{\textrm{dx}}\]

Funciones que coinciden con su inversa

Hay algunas funciones \(f\) que sí tienen una función inversa \(f^{-1}\) que cumplen la siguiente ecuación para todos los valores del dominio:
\[f(x) = f^{-1}(x)\]
Llamamos a este tipo de funciones "funciones que coinciden con su inversa" ya que la función misma sirve como la función inversa de la función misma.

Sabemos que una función \(f\) y su correspondiente función inversa \(f^{-1}(x)\) cumple las siguientes propiedades de funciones compuestas:
\[f(f^{-1}(x))=x\]
\[f^{-1}(f(x))=x\]
\[(f \circ f^{-1})(x)=x\]
\[(f^{-1} \circ f)(x)=x\]
Entonces, si agregamos el hecho que \(f(x) = f^{-1}(x)\) podemos decir que las "funciones que coinciden con su inversa" tienen las siguientes propiedades de funciones compuestas:
\[f(f(x))=x\]
\[(f \circ f)(x)=x\]
Como la gráfica de una función se convierte en la gráfica de la función inversa si se refleja a través de la línea generada por la gráfica de la relación \(y=x\). Entonces podemos deducir que las funciones que coinciden con su inversa serán funciones que sean simétricas con respecto a la línea generada por la gráfica de la relación \(y = x\).

Podemos usar cualquiera de las propiedades anteriores para demostrar que una función es una función que coincide con su inversa.

Veamos algunos ejemplos de funciones que coinciden con su inversa:

Ejemplo 1: \(f(x)=x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = y\), así que llegamos a lo mismo que empezamos.
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(x)=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función queda justo en la línea 'y = x' por lo que es simétrica con respecto a ésta.
[Todas las gráficas de esta entrada fueron hechas en "Desmos Graphing Calculator"]

Ejemplo 2: \(f(x)=-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = -y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(-x = y\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-x)=-(-x)=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función es perpendicular a la línea 'y = x' por lo que queda simétrica a ella.

Ejemplo 3: \(f(x)=5-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = 5-x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa tenemos \(x = 5-y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = 5-x\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(5-x)=5-(5-x)=5-5+x=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

También es una línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 4: \(f(x)=-100-x\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -100-x\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = -100-y\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = -100 - x\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-100-x)=-100-(-100-x)=-100+100+x=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Línea perpendicular a la línea 'y = x'.

Ejemplo 5: \(f(x)=\frac{1}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{1}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{1}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{1}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(\frac{1}{x})=\frac{1}{(1/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Vemos que es simétrica con respecto a la línea 'y=x'.

Ejemplo 6: \(f(x)=-\frac{1}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = -\frac{1}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = -\frac{1}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = -\frac{1}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(-\frac{1}{x})=-\frac{1}{(-1/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 7: \(f(x)=\frac{4}{x}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{4}{x}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{4}{y}\), llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{4}{x}\).
• Vemos que si cumple la propiedad \(f(f(x))=f(\frac{4}{x})=\frac{4}{(4/x)}=x\), esto mismo expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La simetría con respecto a la línea 'y = x' nos indica que es una función que coincide con su inversa.

Ejemplo 8: \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{x}{x-1}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{y}{y-1}\), despejando tenemos \(x(y-1)-y=0\), distribuyendo la \(x\) tenemos \(xy-x-y=0\), agrupando las \(y\)'s tenemos \(y(x-1)-x=0\), despejando la \(y\) llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{x}{x-1}\).
• Vemos que si cumple la propiedad:

\[f(f(x))=f\left (\frac{x}{x-1}\right )=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}\]

\[f(f(x))=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-x+1}{x-1}}=\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}}=x\]

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

Simétrica con respecto a la línea 'y = x'.

Ejemplo 9: \(f(x)=\frac{-3x}{x+3}\)

• Vemos que si obtenemos la función inversa regresamos al mismo resultado: Si tenemos \(y = \frac{-3x}{x+3}\), luego cambiamos las x's por y's y viceversa \(x = \frac{-3y}{y+3}\), despejando tenemos \(x(y+3)+3y=0\), distribuyendo la \(x\) tenemos \(xy+3x+3y=0\), agrupando las \(y\)'s tenemos \(y(x+3)+3x=0\), despejando la \(y\) llegamos a lo mismo que empezamos \(y = \frac{-3x}{x+3}\).
• Vemos que si cumple la propiedad:

\[f(f(x))=f\left (\frac{-3x}{x+3}\right )=\frac{-3\frac{-3x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+3}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x}{x+3}+\frac{3x+9}{x+3}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x+3}}\]

\[f(f(x))=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{-3x+3x+9}{x-1}}=\frac{\frac{9x}{x+3}}{\frac{9}{x+3}}=x\]

• Lo anterior expresado con la notación de composición de funciones es \((f \circ f)(x)=x\).
• En la gráfica podemos ver la simetría presente con respecto a la línea \(y = x\).

La función presenta simetría con respecto a la línea 'y = x'.