Conjugados de los números complejos en la forma módulo argumental

Obtengamos el conjugado de un número complejo (expresado en la forma módulo-argumental) a partir de la forma módulo-argumental de un número complejo.

Sea un número complejo $z = x+yi$, dónde en la forma módulo-argumental es $z = re^{\theta i}$. Es decir que $|z| = r$ y también $\arg z = \theta$

Sabemos que el conjugado del número complejo es $\overline{z} = x-yi$

Sabemos entonces que el módulo de $\overline{z}$ es $\sqrt{x^2+y^2}$ que es lo mismo que el módulo de $z$, por lo tanto $|\overline{z}|=r$.

Notamos también que el patrón de los conjugados es que se reflejan con el eje-x, el resultado de esto es que el argumento se cambia por el correspondiente valor negativo.

Para todo número el valor del argumento del conjugado corresponde con el valor negativo del ángulo

También se cumple con números con un argumento dentro del cuadrante III o el cuadrante IV

Con este patrón podemos llegar a la conclusión que $\arg \overline{z} = -\theta$.

Finalmente juntamos la información anterior para llegar a la conclusión que:

$$\textrm{Si }z=re^{\theta i} \textrm{ entonces } \overline{z}=re^{-\theta i}$$

Esta expresión cumple la propiedad que la multiplicación de un número complejo con su conjugado resulta al módulo elevado al cuadrado:

$$z\overline{z}=re^{\theta i}re^{-\theta i}=r^2e^{(\theta-\theta)i}=r^{2}e^{0}=r^2$$