Conversión de forma cartesiana a forma módulo-argumental

Si un número complejo está en la forma cartesiana se puede cambiar a la forma módulo-argumental. Si la calculadora está disponible podemos utilizarla para que realice las conversiones por nosotros.

Realizaremos un ejemplo con los siguientes números:
a. \(7\)
b. \(-3\)
c. \(5i\)
d. \(-2i\)
e. \(1+i\)
f. \(2-3i\)
g. \(-5+2i\)
h. \(-3-7i\)

Paso 1. Obtener el módulo del número complejo

Recordemos que si \( z = x + yi \) entonces el módulo será \(\left |z\right |=\sqrt{x^2+y^2}\). Con esto ya tenemos la mitad de lo que necesitamos, ya que \(\left |z\right |= r\).

a1. \(\left |7\right | = 7\)
b1. \(\left |-3\right | = 3\)
c1. \(\left |5i\right | = 5\)
d1. \(\left |-2i\right | = 2\)
e1. \(\left |1+i\right | = \sqrt{2}\)
f1. \(\left |2-3i\right | = \sqrt{13}\)
g1. \(\left |-5+2i\right | = \sqrt{29}\)
h1. \(\left |-3-7i\right | = \sqrt{58}\)

Paso 2. Obtener el argumento del número complejo cuidando que coincida con el cuadrante del número complejo.

Consideremos \( z = x + yi \). Para obtener el ángulo del triángulo generado por el número complejo, el origen y el eje-x podemos utilizar la función inversa de tangente.

La función inversa de tangente, con notación \(\textrm{arctg}\), es una función que le insertas una proporción entre \(y\) y \(x\) para que te regrese el ángulo correspondiente si esta razón entre catetos del triangulo se encontrara en el cuadrante I o el cuadrante IV del diagrama de Argand (como si fuera un plano cartesiano). Lo anterior aplica para la calculadora del curso, sin embargo, se pueden encontrar diferentes definiciones de la función \(\textrm{arctg}\).

Es decir, usamos \(\textrm{arctg}\) para obtener un ángulo auxiliar y después usamos ese ángulo auxiliar junto con el conocimiento del cuadrante del número para encontrar el verdadero ángulo que corresponde al argumento del número complejo.

\[\theta_{\textrm{auxiliar}}=\textrm{arctg}\left (\frac{y}{x}\right )\]

La fórmula anterior no puede hacer una división entre 0. Para el caso de los números que son puramente imaginarios podemos obtener el argumento de forma directa. Sabemos que el argumento de los números puramente imaginarios positivos tiene que ser \(\frac{\pi}{2}\). Sabemos también que el argumento de los números puramente imaginarios negativos tiene que ser \(\frac{3\pi}{2}\).

Para el caso de los números que son puramente reales podemos obtener el argumento de forma directa. Sabemos que el argumento de los números puramente reales positivos tiene que ser \(0\). Sabemos también que el argumento de los números puramente reales negativos tiene que ser \(\pi\).

En los exámenes sin calculadora los valores serán sencillos, de forma que se podrá calcular el ángulo usando los triángulos básicos que nos dan las funciones trigonométricas de 30°, 60° y 90°, junto con los múltiplos de estos valores.

Estos son los valores que regresa la calculadora del curso:

a2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}} = 0\), este argumento es para un número real positivo y el número sí es un número real positivo.
b2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}} = 0\), este argumento es para un número real positivo, pero el número es en realidad un número real negativo.
c2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}}\) realiza una división entre 0, pero sabemos que para un número imaginario positivo el argumento tiene que ser \(\frac{\pi}{2}\).
d2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}}\) realiza una división entre 0, pero sabemos que para un número imaginario negativo el argumento tiene que ser \(\frac{3\pi}{2}\).
e2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}} = \frac{\pi}{4}\), este argumento es para un número en el cuadrante I y el número sí se encuentra en el cuadrante I.
f2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}}= -0.982794\), este argumento es para un número que se encuentra en el cuadrante IV, el número sí se encuentra en el cuadrante IV. Podemos dejarlo así o escribirlo en la forma positiva sumándole \(2\pi\) (se suma 360° en caso que se trabaje con grados).
g2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}} = -0.380506\), este argumento es para un número que se encuentra en el cuadrante IV, sin embargo sabemos por las coordenadas que el número se encuentra en el cuadrante II.
h2. \(\theta_{\textrm{auxiliar}} = 1.165905\), este argumento es para un número que se encuentra en el cuadrante I, sin embargo sabemos por las coordenadas que el número se encuentra en el cuadrante III.

A los números puramente imaginarios tampoco se les puede calcular \(\textrm{arctg}\), pero sabemos cual es el valor que les corresponde. Los números que van a estar incorrectos son los que se encuentren en: cuadrante II, cuadrante III y en los números reales negativos. Para corregir los valores incorrectos tenemos que sumar \(\pi\) al ángulo auxiliar (se suma 180° en el caso que se trabaje con grados).

Entonces, a tres cifras significativas o exactamente y decidiendo expresar los ángulos  \( 0 \le \theta < 2\pi\):

a2. \(\theta = 0\)

b2. \(\theta = \pi\)
c2. \(\theta = \frac{\pi}{2}\)
d2. \(\theta = \frac{3\pi}{2}\)

e2. \(\theta = \frac{\pi}{4}\)

f2. \(\theta= 5.30\), escribiéndolo en la forma positiva

g2. \(\theta = 2.76\)

h2. \(\theta = 4.31\)

Con lo anterior ya tenemos lo suficiente para escribirlos en la forma módulo-argumental.

Paso 3. Escribir el número usando el módulo y el argumento obtenido

Lo último que falta es escribirlo todo junto, puede ser con las funciones trigonométricas:

a3. \(7(\cos 0 + i \textrm{sen} 0\)
b3. \(3(\cos \pi + i \textrm{sen} \pi)\)

c3. \(5(\cos \frac{\pi}{2} + i \textrm{sen}\frac{\pi}{2})\)
d3. \(2(\cos \frac{3\pi}{2} + i \textrm{sen} \frac{3\pi}{2})\)
e3. \(\sqrt(2)(\cos \frac{\pi}{4} + i \textrm{sen} \frac{\pi}{4})\)
f3. \(\sqrt{13}(\cos -0.983 + i \textrm{sen} -0.983)\)
g3. \(\sqrt{29}(\cos 2.76 + i \textrm{sen} 2.76)\)
h3. \(\sqrt{58}(\cos 4.31 + i \textrm{sen} 4.31)\)

También puede ser en la forma de Euler:

a3. \(7e^{0i}\)
b3. \(3e^{\pi i}\)
c3. \(5e^{\frac{\pi}{2}i}\)
d3. \(2e^{ \frac{3\pi}{2}i}\)
e3. \(\sqrt{2}e^{ \frac{\pi}{4}i}\)
f3. \(\sqrt{13}e^{5.30i}\)
g3. \(\sqrt{29}e^{2.76i}\)
h3. \(\sqrt{58}e^{4.31i}\)