Multiplicación de números complejos en la forma módulo-argumental

La multiplicación de números complejos se puede calcular más fácilmente si los dos números se encuentran en la forma módulo argumental.

Sea \(z_{1}=r_{1}e^{i\theta_{1}}\) y \(z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}\), entonces:
\[

\begin{align*}
 z_{1}z_{2} &= r_{1}e^{i\theta_{1}}r_{2}e^{i\theta_{2}}\\
                    &= r_{1}r_{2}e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}\\
                    &= r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}
\end{align*}

\]
Es decir, si se multiplican dos números complejos el numero complejo resultante tendrá un módulo igual a la multiplicación de los módulos de los números complejos y un argumento igual a la suma de los argumentos de los números complejos (convertido al ángulo correspondiente). Matemáticamente:
\[\left | z_{1}z_{2} \right | = |z_{1}||z_{2}|\]
\[\arg (z_{1}z_{2}) = \theta_{1} + \theta_{2}\]
En los números complejos la multiplicación es una modificación del módulo y un giro de dirección, a menos que el argumento sea 0 y/o si el módulo es 1. Esta propiedad se cumple también si multiplicamos los números en la forma cartesiana.

Ejemplos:
\[r(\cos \theta + i \textrm{sen} \theta)s(\cos \phi + i \textrm{sen} \phi) = rs(\cos (\theta + \phi) + i \textrm{sen} (\theta+\phi))\]
\[\left (e^{i\frac{\pi}{2}}\right )\left (2e^{i\frac{\pi}{3}}\right ) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}\]
\[2(\cos 30° + i \textrm{sen} 30°)3(\cos 27° + i \textrm{sen} 27°) = 6(\cos 57° + i \textrm{sen} 57°)\]