La forma módulo-argumental de un número complejo

Un número complejo se puede definir sin ambigüedad estableciendo el módulo y el argumento del número. Esto se cumple porque el módulo es la distancia al origen y el argumento es la dirección en la que se tiene que recorrer la distancia.

De la misma forma como fue conveniente nombrar los componentes del número complejo \(z\) como \(x\) y \(y\) para hacer referencia a la coordenada \((x,y)\), podemos nombrar los componentes módulo-argumental del número complejo \(z\) como \(r\) y \(\theta\), haciendo referencia a las coordenadas polares. Estableciendo la notación: \[|z|=r\] \[\arg z=\theta\]
En el siguiente diagrama podemos ver como se relaciona el módulo y el argumento de un número complejo con las coordenadas del número complejo.

Lo que mide 'x' es lo mismo que mide 'r por el coseno del ángulo' y lo que mide 'y' es lo mismo que 'r por el seno del ángulo'. Con esto se puede establecer la igualdad. (Imagen: Wikipedia, editada)

Es entonces que se deduce la siguiente fórmula para un número complejo \(z = x + iy\): \[\begin{align*}
z &= x+iy\\
z &= |z|(\cos(\arg z)) + |z|i(\textrm{sen}(\arg z))\\
z &= r(\cos \theta) + ri(\textrm{sen} \theta)\\
z &= r(\cos \theta + i \textrm{sen} \theta)
\end{align*}\]
A la forma \(r(\cos \theta + i \textrm{sen} \theta)\) le llamamos la forma módulo-argumental del número complejo. Otro nombre es "forma polar del número complejo" haciendo referencia al hecho que los valores \(r\) y \(\theta\) son las coordenadas polares del plano cartesiano.

Para ahorrar espacio al escribir la forma módulo-argumental, se puede sustituir la parte dentro de los paréntesis por la expresión \(\textrm{cis }\theta\) que hace referencia al "coseno i seno" del argumento.

Estos son algunos ejemplos de números complejos en la forma módulo argumental:
\[0\]\[3(\cos(30°)+i\textrm{sen}(30°))\]\[3 \textrm{ cis }30°\]\[\textrm{cis } 0°\]\[\textrm{cis } 90°\]\[\textrm{cis } 180°\]\[\textrm{cis } 270°\]\[7\textrm{ cis } 0°\]\[7\textrm{ cis } 90°\]\[7\textrm{ cis } 180°\]\[7\textrm{ cis } 270°\]\[3\left (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right )\]\[3 \textrm{ cis }\frac{\pi}{6}\]\[\textrm{cis } 0\]\[\textrm{cis } \frac{\pi}{2}\]\[\textrm{cis } \pi\]\[\textrm{cis } \frac{3\pi}{2}\]\[7\textrm{ cis } 0\]\[7\textrm{ cis }\frac{\pi}{2}\]\[7\textrm{ cis } \pi\]\[7\textrm{ cis }\frac{3\pi}{2}\]\[\textrm{ cis }2\]\[5\textrm{ cis }1\]