La forma módulo-argumental de un número complejo

Un número complejo se puede definir sin ambigüedad estableciendo el módulo y el argumento del número. Esto se cumple porque el módulo es la distancia al origen y el argumento es la dirección en la que se tiene que recorrer la distancia.

De la misma forma como fue conveniente nombrar los componentes del número complejo $z$ como $x$ y $y$ para hacer referencia a la coordenada $(x,y)$, podemos nombrar los componentes módulo-argumental del número complejo $z$ como $r$ y $\theta$, haciendo referencia a las coordenadas polares. Estableciendo la notación: $$|z|=r$$ $$\arg z=\theta$$
En el siguiente diagrama podemos ver como se relaciona el módulo y el argumento de un número complejo con las coordenadas del número complejo.

Lo que mide 'x' es lo mismo que mide 'r por el coseno del ángulo' y lo que mide 'y' es lo mismo que 'r por el seno del ángulo'. Con esto se puede establecer la igualdad. (Imagen: Wikipedia, editada)

Es entonces que se deduce la siguiente fórmula para un número complejo $z = x + iy$: $$\begin{align*} z &= x+iy\\ z &= |z|(\cos(\arg z)) + |z|i(\textrm{sen}(\arg z))\\ z &= r(\cos \theta) + ri(\textrm{sen} \theta)\\ z &= r(\cos \theta + i \textrm{sen} \theta) \end{align*}$$
A la forma $r(\cos \theta + i \textrm{sen} \theta)$ le llamamos la forma módulo-argumental del número complejo. Otro nombre es "forma polar del número complejo" haciendo referencia al hecho que los valores $r$ y $\theta$ son las coordenadas polares del plano cartesiano.

Para ahorrar espacio al escribir la forma módulo-argumental, se puede sustituir la parte dentro de los paréntesis por la expresión $\textrm{cis }\theta$ que hace referencia al "coseno i seno" del argumento.

Estos son algunos ejemplos de números complejos en la forma módulo argumental:
$$0$$ $$3(\cos(30°)+i\textrm{sen}(30°))$$ $$3 \textrm{ cis }30°$$ $$\textrm{cis } 0°$$ $$\textrm{cis } 90°$$ $$\textrm{cis } 180°$$ $$\textrm{cis } 270°$$ $$7\textrm{ cis } 0°$$ $$7\textrm{ cis } 90°$$ $$7\textrm{ cis } 180°$$ $$7\textrm{ cis } 270°$$ $$3\left (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right )$$ $$3 \textrm{ cis }\frac{\pi}{6}$$ $$\textrm{cis } 0$$ $$\textrm{cis } \frac{\pi}{2}$$ $$\textrm{cis } \pi$$ $$\textrm{cis } \frac{3\pi}{2}$$ $$7\textrm{ cis } 0$$ $$7\textrm{ cis }\frac{\pi}{2}$$ $$7\textrm{ cis } \pi$$ $$7\textrm{ cis }\frac{3\pi}{2}$$ $$\textrm{ cis }2$$ $$5\textrm{ cis }1$$