Conversión de la forma módulo-argumental a la forma cartesiana

Si un número complejo está en la forma módulo-argumental se puede cambiar a la forma cartesiana. Si la calculadora está disponible podemos utilizarla para que realice las conversiones por nosotros.

Convertir de la forma módulo-argumental a la forma cartesiana es más simple que hacer lo contrario. Convertir de módulo-argumental a forma cartesiana sólo consiste en evaluar el valor de las expresiones trigonométricas correspondientes según el argumento y multiplicarlo por el módulo correspondiente.

Veamos varios ejemplos expresados a tres cifras significativas o exactamente:
$$\begin{align*} 8e^{\left (0i\right )} &= 8\left (\cos 0 + i \textrm{ sen } 0 \right )\\ &= \left (8\cos 0\right ) + \left (2 \textrm{ sen } 0\right )i\\ &= (8)(1) + (8)(0)i\\ &= 8 \end{align*}$$

$$\begin{align*} 4e^{\left (i\pi\right )} &= 4\left (\cos \pi + i \textrm{ sen } \pi\right )\\ &= \left (4\cos \pi\right ) + \left (4 \textrm{ sen } \pi\right )i\\ &= (4)(-1) + (4)(0)i\\ &= -4 \end{align*}$$

$$\begin{align*} 2e^{\left (i\frac{\pi}{2}\right )} &= 2\left (\cos \frac{\pi}{2} + i \textrm{ sen } \frac{\pi}{2}\right )\\ &= \left (2\cos \frac{\pi}{2}\right ) + \left (2 \textrm{ sen } \frac{\pi}{2}\right )i\\ &= (2)(0) + (2)(1)i\\ &= 2i \end{align*}$$

$$\begin{align*} 3e^{\left (i\frac{3\pi}{2}\right )} &= 3\left (\cos \frac{3\pi}{2} + i \textrm{ sen } \frac{3\pi}{2}\right )\\ &= \left (3\cos \frac{3\pi}{2}\right ) + \left (3 \textrm{ sen } \frac{3\pi}{2}\right )i\\ &= (3)(0) + (3)(-1)i\\ &= -3i \end{align*}$$

$$\begin{align*} \sqrt{29}e^{\left (0.381i\right )} &= \sqrt{29}\left (\cos 0.381 + i \textrm{ sen } 0.381\right )\\ &= \left (\sqrt{29}\cos 0.381\right ) + \left (\sqrt{29} \textrm{ sen } 0.381\right )i\\ &= (\sqrt{29})(0.928) + (\sqrt{29})(0.372)i\\ &= 5+2i \end{align*}$$

$$\begin{align*} \sqrt{13}e^{\left (-0.588i\right )} &= \sqrt{13}\left (\cos -0.588 + i \textrm{ sen } -0.588\right )\\ &= \left (\sqrt{13}\cos -0.588\right ) + \left (sqrt{13} \textrm{ sen } -0.588\right )i\\ &= (\sqrt{13})(0.832) + (\sqrt{13})(-0.555)i\\ &= 3-2i \end{align*}$$

$$\begin{align*} \sqrt{2}e^{\left (i\frac{5\pi}{4}\right )} &= \sqrt{2}\left (\cos \frac{5\pi}{4} + i \textrm{ sen } \frac{5\pi}{4}\right )\\ &= \left (\sqrt{2}\cos \frac{5\pi}{4}\right ) + \left (\sqrt{2} \textrm{ sen } \frac{5\pi}{4}\right )i\\ &= (\sqrt{2})\left (-\frac{\sqrt{2}}{2}\right ) + (\sqrt{2})\left (-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )i\\ &= -1-1i \end{align*}$$

$$\begin{align*} e^{\left (i\frac{11\pi}{6}\right )} &= \left (\cos \frac{11\pi}{6} + i \textrm{ sen } \frac{11\pi}{6}\right )\\ &= \left (\cos \frac{11\pi}{6}\right ) + \left (\textrm{sen } \frac{11\pi}{6}\right )i\\ &= (1)(-0.260) + (1)(0.966)i\\ &= -0.260 + 0.966i \end{align*}$$