División de números complejos en la forma módulo-argumental

La división también se simplifica mucho en la forma módulo-argumental.

Sea \(z_{1}=r_{1}e^{i\theta_{1}}\) y \(z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}\), entonces:
\[
\begin{align*}
 \frac{z_{1}}{z_{2}} &= \frac{r_{1}e^{i\theta_{1}}}{r_{2}e^{i\theta_{2}}}\\
                               &= \frac{r_{1}}{r_{2}}\frac{e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}}\\
                               &= \frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}
\end{align*}
\]
Es decir, si se dividen dos números complejos el numero complejo resultante tendrá un módulo igual a la división de los módulos de los números complejos y un argumento igual a la resta de los argumentos de los números complejos (convertido al ángulo correspondiente). Matemáticamente:
\[\left | \frac{z_{1}}{z_{2}} \right | = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}\]
\[\arg \left (\frac{z_{1}}{z_{2}}\right ) = \theta_{1} - \theta_{2}\]
En los números complejos la división es una modificación del módulo y un giro de dirección, a menos que el argumento sea 0 y/o si el módulo es 1. Esta propiedad se cumple también si dividimos los números en la forma cartesiana.

Ejemplos:
\[\frac{r(\cos \theta + i \textrm{sen} \theta)}{s(\cos \phi + i \textrm{sen} \phi)} = \frac{r}{s}(\cos (\theta - \phi) + i \textrm{sen} (\theta-\phi))\]
\[\frac{e^{i\frac{\pi}{2}}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}} = \frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}\]
\[\frac{2(\cos 30° + i \textrm{sen} 30°)}{3(\cos 27° + i \textrm{sen} 27°)} = \frac{2}{3}(\cos 3° + i \textrm{sen} 3°)\]